e, respectivamente. Os valores tabelados para a distribuição t-student dependem do número de graus de liberdade ( n 1 e

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1 Prof. Jaete Pereira Amador 1 1 Itrodução Um fator de grade importâcia a pesquisa é saber calcular corretamete o tamaho da amostra que será trabalhada. Devemos ter em mete que as estatísticas calculadas a amostra correspoderão a descrição do comportameto da população em relação a variável em estudo. Além disto amostras desecessariamete grades acarretam desperdício de tempo e diheiro e amostras demasiadamete pequeas podem levar a resultados ão cofiáveis. Sedo assim, para determiar o tamaho míimo de uma amostra a fim de estimar parâmetros como a media populacioal a proporção populacioal, é preciso que seja compreedido sigificado de termiados termos tais como: Parâmetro ( ): é uma medida usada para descrever uma características da população. Por exemplo a média populacioal, a proporção populacioal, a variâcia populacioal. Os parâmetros, via de regra, são descohecidos, são estimados a partir da amostra Estatística (ˆ): é uma mediada umérica que descreve uma característica de amostra. Poderá ser a média amostral X, a proporção amostral P e a variâcia amostral S. Erro amostral ( ou d) ou precisão: é a máxima difereça que o ivestigador e admite suportar etre - ˆ. Nível de cofiaça ou grau de cofiaça : é a probabilidade 1 - de o itervalo de cofiaça coter o verdadeiro valor do parâmetro é expresso em porcetagem. Itervalo de cofiaça: é um itervalo cetrado a estimativa potual, cuja probabilidade de coter o verdadeiro valor do parâmetro é igual ao ível de cofiaça. Alfa (): é a probabilidade de erro a estimação por itervalo, geralmete trabalha-se com = 5% ou,5 e = 1% ou,1. Valor crítico (Z) e (t): correspode a um valor tabelado relacioado a distribuição de probabilidade ormal padroizada e distribuição t-studet. Trabalhamos com valores tabelados de Z 1, 96, Z =,57, que correspode a um valor de 5% e 1%, respectivamete. Os valores tabelados para a distribuição t-studet depedem do úmero de graus de liberdade ( 1 1 ) e. Algus fatores para calcular o tamaho de uma amostra Tipo de ivestigação: depede das características populacioais a serem ivestigadas Tipo de população: se a população alvo do estudo é fiita ou ifiita. Variabilidade da população: quato maior a variabilidade da população maior deve ser a amostra para represetar esta variabilidade Quato maior o grau de precisão desejado maior deve ser a amostra. A seguir serão apresetadas metodologias para calcular o tamaho da amostra quado queremos estudar a média e/ou a proporção de uma população

2 Prof. Jaete Pereira Amador 3. Determiação do tamaho da amostra para estimar a média populacioal d ( Z ).. N.( N 1) ( Z ). Obs: Quado ão se cohece o desvio padrão da população este poderá ser determiado por três diferetes maeiras: Especificações técicas Resgatar o valor de estudo semelhates Substituir pelo desvio padrão da amostra, que é obtida através de uma pré amostra (amostra piloto), de tamaho 1 e t graus de liberdade. Se < 1 etão a pré amostra (amostra piloto) selecioada de tamaho 1, foi suficiete para garatir a precisão desejada. Se > 1, deve-se completar a pré amostra até atigir o valor de que garata a precisão ( e µ x ) desejada. A equação utilizada para calcular o tamaho da amostra será: ( t ). S, ode: e 1 1 graus de liberdade. Ex: Foram feitas medidas do tempo gasto (em miutos) para o iicio para o efeito de um determiado calmate, obtedo-se os seguites tempos: Esses dados são suficietes para estimar o tempo médio gasto o iicio do efeito do medicameto com precisão de 3 segudos e 95% de certeza. Solução: 1 = Sx X i X 1 i e = 3 seg/,5 mi 5 % = ,3 t =,93 ( t ). S,93.1,3 = 9, Como > 1, (3 > ) deve-se e,5 buscar uma pré-amostra de o míio 3 pacietes para obter-se a precisão desejada. Exemplo: 1. Supoha que a variável escolhida em um estudo do peso médio de determiados pacietes submetidos a tratametos de obesidade. Para tato foram selecioados 6 pacietes. Dados ateriores sugerem que para este tipo de tratameto, o desvio padrão é de 1 Kg. Logo admitido-se um ível de cofiaça de 95% e um erro amostral de 1,5 kg. Calcule o úmero de amostras ecessárias para estudarmos o efeito do tratameto sobre o peso médio dos pacietes.

3 Prof. Jaete Pereira Amador 3 4. Para estimar a proporção populacioal Cohece o tamaho da população Z p q N ( )... d.( N 1) ( Z ). p. q obs: q 1 p Não cohece o tamaho da população ( Z ). p. q d Obs: As vezes ão se tem iformação a respeito de p. Neste caso adota-se p = q =5%, o que levará a um tamaho de amostra superavaliado mas garatido a precisão desejada, embora podedo ter como coseqüêcias, aumetos os custos e o tempo de amostragem e, coseqüetemete, a pesquisa. Exemplo 1. Valdemar, cadidato a prefeitura do muicípio Alfa deseja ivestigar a proporção de eleitores favoráveis a sua eleição. O cadidato cotratou uma empresa de assessoria para realizar uma pesquisa de iteção de votos. Sabedo que o muicípio possui. eleitores, quatos eleitores seriam ecessários para ivestigar a iteção de votos, com um ível de cofiaça de 95% e um erro amostral de 4%. Exercícios 1. Um estudo será realizado para verificar a quatidade de lixo ão reciclável produzido diariamete em dois bairros de São Paulo. Sedo assim quatas residêcias devemos ivestigar em cada bairro, para termos 99% de cofiaça de que a média amostral esteja a meos de,5 kg da verdadeira média populacioal. As características de cada bairro são as seguites primeiro é um bairro de moradias populares com 15. moradias. o segudo é um bairro de classe média alta com 5. moradias. Obs: estudos semelhates foram realizados em outras grades capitais brasileiras e obtevese desvio padrão de,7 kg para bairros de moradias populares e 1 kg para bairros de classe média alta.. Um estudo será realizado para traçar o perfil sociossaitário dos moradores de bairros precários a capital gaúcha. Algumas das variáveis estudas serão o ídice de aalfabetismo, proporção de velhos joves e criaças, reda, doeças sexualmete trasmitidas, ídice de gravidez a adolescêcias,. Sabe-se que estes bairros possuem 1. moradores. Quatos moradores seriam ecessários para realizar o estudo. Admitido um ível de cofiaça de 99% e um erro amostral de %. 3. Uma psicóloga elaborou um ovo teste de percepção matemática e deseja estimar o escore médio alcaçado por médicos de ambos os sexos, sabedo que existe o Brasil existe uma população de 8 profissioais em atividade. Quatos médicos de cada sexo ela deve testar para que o erro da média amostral ão exceda potos, com 95%

4 Prof. Jaete Pereira Amador 4 de cofiaça. Estudo ateriores sugerem um desvio padrão de 1, para sexo masculio e,8 para o sexo femiio. 4. Um médico deseja estimar a reda média para o primeiro ao de trabalho de. Quatas redas devem ser tomados, sabedo que existe em toro de 1 profissioais igressado o mercado de trabalho para o próximo ao. O ível de cofiaça desejado é de 95% e que a média amostral esteja meos de R$5, da verdadeira média populacioal? Supoha que saibamos, por um estudo prévio, que para tais reda o desvio padrão é de R$ 1.8,.

5 Prof. Jaete Pereira Amador 5 1. Itrodução O objetivo da Estatística é a realização de iferêcia acerca de uma população, baseadas as iformações amostrais. Como as populações são caracterizados por medidas uméricas descritivas, deomiadas parâmetros, a iferêcia estatística diz respeito à realização de iferêcia sobre esses parâmetros populacioais. Os métodos utilizados para realização de iferêcias a respeito dos parâmetros pertecem a duas categorias. Pode-se estimar ou prever o valor do parâmetro ou pode-se tomar decisões relativas ao mesmo, através de um teste de hipótese. A estimação é o processo que cosiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores de parâmetros populacioais descohecidos. Qualquer característica de uma população pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória. Etre as mais comus, estão a média, variâcia e proporção populacioal.. Estimativas potuais e itervalares As estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores de parâmetros populacioais. Assim uma média amostral é usada como estimativa de uma média populacioal. Tais estimativas chamam-se estimativas potuais, porque origiam úica estimativa do parâmetro. A amostragem aleatória apreseta tedêcia a gerar amostras em que as médias amostrais ão são iguais à média da população, embora os valores, em geral, sejam próximos. Em virtude desta variabilidade amostral, é usual icluir uma estimativa itervalares, com um certo ível de cofiaça (1-) ou de sigificâcia, para acompahar a estimativa potual. Essa ova estimativa proporcioa um itervalo, de possíveis valores do parâmetro, deomiado itervalo de cofiaça. 3. Tipos de itervalo de cofiaça Itervalo de cofiaça para a média populacioal () Grades amostras. cohecida Cosidera-se uma amostra grade quado >3 Neste caso utilizasse a tabela Z - Distribuição Normal P x Z. x Z. 1 Ex: Uma amostra aleatória de 4 tambores de um produto químico, utilizado a produção de adubos, tem peso médio de 115 kg e desvio padrão de 5,5 kg. Costrua um itervalo de cofiaça de 95 % para o peso dos tambores.

6 Prof. Jaete Pereira Amador 6 Pequeas amostras e/ou descohecida Cosidera-se uma amostra pequea quado 3. Neste caso utilizasse a tabela da distribuição t -Studet Ode = -1 S S P x t. x t. 1 Ex: Uma amostra de tamaho 5 foi retirada de uma população com o objetivo de estimar a sua média e foreceu os valores X = 5 e s = 1. Qual o itervalo de 95% de cofiaça para a média desta população? Itervalo de cofiaça para a proporção populacioal ( p ) P pˆ Z ˆ pˆ p p Z ˆ 1 p ode: x pˆ ; pˆ qˆ pˆ e qˆ 1 pˆ Exemplo: Examiadas 5 peças de uma grade produção ecotrou-se 6 defeituosas. Com um grau de cofiaça de 9% costruir um itervalo de cofiaça para verdadeira proporção de peças defeituosas. Exercícios 1. A seguir ecotra-se uma amostra de 1 árvores castaheiras todas com 8 aos de idade em certa floresta. O diâmetro (polegadas) das árvores foram medidos à uma altura de 3 pés: Queremos ecotrar um itervalo de cofiaça de 95% para o verdadeiro diâmetro médio de todas as árvores castaheiras dessa idade a floresta.. Detre 1 peixes capturados um certo lago, 18 ão estavam apropriados para cosumo devido aos íveis de poluição do ambiete. Costrua um itervalo de cofiaça de 99% para a correspodete verdadeira proporção

7 Prof. Jaete Pereira Amador 7 3. Para avaliar o peso médio de uma ova safra de limões, obteve-se uma amostra com os pesos de 5 limões, ecotrado-se uma média de 115, gramas, com desvio padrão de,4 gramas. Costrua um itervalo de cofiaça de 98%, para o verdadeiro peso médio dos limões. 4. Uma pesquisa feita em uma zoa rural em 1994 mostrou que 5 famílias gastaram, em média, R$35, por semaa com alimetação, com desvio padrão de R$,5. Como há iteresse em especificar, detro de um itervalo de cofiaça bastate estreito, a despesa semaal real com alimetação familiar aquela área, costrua um itervalo de 9% de cofiaça. 5. Tedo sido medido o eixo maior de 9 grãos de quartzo de um corpo areoso em uma lâmia de areito, obteve-se um comprimeto amostral médio de 1,5mm e um desvio padrão de,3mm. Deseja-se costruir um itervalo de cofiaça para o comprimeto médio dos grãos de quartzo do corpo areoso. 6. Uma amostra de 3 habitates de uma cidade mostrou que 18 desejavam a água fluorada. Ecotrar os limites de cofiaça de 9% para a proporção da população favorável a fluoração. 7. Para estimar a porcetagem de aluos de um curso favoráveis á modificação do currículo escolar, tomou-se uma amostra de 1 aluos, dos quais 8 foram favoráveis. Costruir um itervalo de cofiaça para a,proporção de todos os aluos favoráveis à modificação, use um = 4%