Estatística. Estatística II - Administração. Prof. Dr. Marcelo Tavares. Distribuições de amostragem. Estatística Descritiva X Estatística Inferencial

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1 Estatística II - Admiistração Prof. Dr. Marcelo Tavares Distribuições de amostragem Na iferêcia estatística vamos apresetar os argumetos estatísticos para fazer afirmações sobre as características de uma população, com base em iformações dadas por amostras. Ex: -Coziheira verificado se o prato que ela está preparado tem ou ão a quatidade de sal adequada; - Um cliete, após experimetar uma uva um supermercado, decide se vai comprar ou ão as uvas. Estatística Estatística Descritiva X Estatística Iferecial classe classe S Classes F.A. F.R , , , , , , , , , , , ,0 06 média moda mediaa desvio médio desvio padrão assimetria curtose coeficiete de variação 3

2 Estatística Estatística Descritiva X Estatística Iferecial 0,35 0,30 0,5 0,0 05 0,5 0,0 f ( x; α, β, λ) itervalos de cofiaça testes de hipóteses 0,05 0,00 S ˆ α ˆ β ˆ λ 4 5 POPULAÇÃO: é o cojuto de todos os elemetos ou resultados sob ivestigação. AMOSTRA: é qualquer subcojuto da população (represetatividade). Ex : Pesquisa para estudar os salários dos 500 fucioários da Compahia MB. Selecioa-se uma amostra de 36 idivíduos e aota-se os seus salários. Va =? População =? Amostra =? 6

3 Ex. Queremos estudar a proporção de idivíduos a cidade A que são favoráveis a certo projeto goverametal. Uma amostra de 00 pessoas é sorteada, e a opiião de cada uma é registrada como sedo a favor ou cotra o projeto. Ex 3. O iteresse é ivestigar a duração de vida de um ovo tipo de lâmpada, pois acreditamos que ela teha uma duração maior do que as fabricadas atualmete. 00 lâmpadas do ovo tio são deixadas acesas até queimarem. A duração em horas de cada lâmpada é registrada. 7 Para determiar teoricamete o comportameto de algumas medidas devemos ates respoder a 4 pergutas: a) Qual a população a ser amostrada? b) Como obter os dados (a amostra)? c) Que iformações pertietes (estatísticas) serão retiradas da amostra? d) Como se comporta(m) a(s) estatística(s) quado o mesmo procedimeto de escolher a amostra é usado uma população cohecida? 8 Como Selecioar uma Amostra Levatametos amostrais Plaejameto de Experimetos Levatametos Observacioais 9 3

4 - Parâmetro: medida utilizada para descrever uma característica populacioal. Ex: μ, σ - Estimador: é uma variável aleatória que é fução dos dados amostrais. Ex: x = 70 cm é um estimador de μ - Estimativa: é o valor umérico assumido pelo estimador, quado são substituídos os dados amostrais. Ex: - Iferêcia estatística: objetivo de iferir propriedades de um agregado maior (a população) a partir de um cojuto meor (a amostra). 0 Distribuições amostrais População Amostras θˆ θ θ θˆ 3 θˆ Distribuição Amostral θˆ Resumido o processo: a) População com um parâmetro θ. b) Retira-se k amostras por um processo aleatório qualquer c) Calcula-se o valor $θ i para cada amostra ( =,,..., k) d) Com os valores de $θ i das k amostras costrói-se a distribuição amostral de θ. 4

5 Amostragem Aleatória Simples Numa ura tem-se 5 tiras de papel, umeradas, 3, 5, 5, 7. Uma tira é sorteada e recolocada a ura, etão, uma seguda tira é sorteada. Sejam X ex oprimeiroe o segudo úmeros sorteados. 3 Exemplo das Tiras a Ura Amostra aleatória Simples Pop{, 3, 5, 5, 7} = X X P(X =x) /5 /5 /5 /5 /5 3 /5 /5 /5 /5 /5 5 /5 /5 4/5 /5 /5 7 /5 /5 /5 /5 /5 P(X =x) /5 /5 /5 /5 4 Distribuição amostral da média x Total P ( X = x) /5 /5 5/5 6/5 6/5 4/5 /5,00 Distribuição amostral da variâcia s Total S s P ( = ) 7/5 0/5 6/5 /5,00 5 5

6 / /5 3/0 Distribuição de X /5 / /0 /5 /0 Distribuição da média de X Distribuição amostral de X R$8 População R$9 R$0 7 μ = 9 salários σ = salário 3 Pop. P(X=x) salários 8 6

7 Amostragem com reposição = σ σ X = salário = μ X = 9 salários = μ 3 Médias salários 9 Amostragem com reposição =3 μ = salários = μ = X σ X 9 σ salário = 9 Médias fa Salários 0 A distribuição de X Variáveis ormais ( ) σ X ~ N μ, σ X ~ N μ, 7

8 Variáveis ão ormais TCL Se X é uma variável qualquer com média μ e variâcia σ, : z = X μ N (0,) σ 3 Teorema do Limite Cetral A distribuição das médias amostrais, obtidas de amostras de tamaho, selecioadas ao acaso de uma população de tamaho N, com média μ e variâcia σ será aproximadamete ormal com média μ e variâcia σ x x = σ = se a amostragem for realizada com reposição, μ ou σ σ N = N se a amostragem for realizada sem reposição em x uma população fiita ( N > 0,05), idepedetemete da distribuição da variável em questão. 4 8

9 Teorema Cetral do Limite Se for tirada varias amostras de tamaho de uma população com qualquer tipo de distribuição, com média = μ e desvio padrão = σ A média das amostras terá uma distribuição amostral aproximadamete ormal Média: Desvio padrão: x 5 Exemplo Seja X: N (80, 6). Dessa população retiramos uma amostra de =5. Calcular a) P ( X > 83) b) P ( X 8) 6 Exemplo Seja X: N (00, 85). Retiramos uma amostra de =0. Determiar P (95 < X < 05) 7 9

10 Distribuição Amostral de t (Studet) Sabe-se que x ~ N μ; σ, e sua distribuição padroizada é x μ z = dada por: σ Em muitas situações ão se cohece σ ou σ, mas sim sua estimativa s ou s Precisamos substituir σ por seu estimador s estatística tí ti x μ, t = s a qual segue uma distribuição t de Studet com (-) graus de liberdade. Esta estatística é utilizada quado se tem amostras pequeas ( 30), pois o valor de s tora-se muito variável, ou seja, flutua muito de amostra para amostra Nestas situações a distribuição deixa de ser ormal padroizada. 8 Características da distribuição t a) É simétrica em relação a média (semelhate a distribuição de z) b) Tem forma campaular. Valores de t depedem da flutuação das estatísticas média e desvio padrão amostrais e z depede somete das mudaças da média das amostras c) Quado tede para ifiito, a distribuição t tede para a distribuição ormal. Na prática, a aproximação é cosiderada boa quado >30. d) Possui - graus de liberdade. 9 Codições para utilizar a distribuição de t de Studet a) O tamaho da amostra é pequeo ( 30) b) σ é descohecido t g c) A população tem distribuição essecialmete ormal 30 0

11 Distribuição t de studet Se Xi ~ N( μ, σ ) Z X μ ~ N(0,) X μ ~? = σ σ t ~ X μ s 3 Tabela. Limites uilaterais da distribuição t de Studet ao ível α de probabilidade. α GL Obter os seguites valores da distribuição t de Studet: a) t / P (-t < t < t ) = 0,95 com 0 g.l. b) t / P (-t < t < t ) = 0,90 com 0 g.l. c) t / P (t > t ) = 0,05 com 5 g.l. d) t / P (t < t ) = 0,0 com 0 g.l. e) P (-,753 < t <,753 ) com 5 g.l. 33

12 Distribuição de s - Distribuição de χ (Qui - Quadrado) É uma distribuição amostral de variâcias Retira-se uma amostra de elemetos de uma população ormal com média μ e variâcia σ, teremos a distribuição de uma s = i = ( xi x), segue uma distribuição de χ com - graus liberdade, e que: Avariável ( ) s χ = σ tem distribuição χ com - graus de liberdade. 34 Os valores de χ ão podem ser egativos Não é simétrica em χ =0 quato maior o tamaho de, a distribuição tede a ormal. Como a curva ão é simétrica, etão olha-se a tabela dois valores de χ, quado queremos saber se um valor está etre limites

13 Obter os seguites valores da distribuição de χ : a) χ /P(χ > χ ) = 0,05 com 7 g.l. b) χ /P(χ < χ ) = 0,05 com 7 g.l. c) χ, χ /P(χ < χ < χ ) = 0,90 com 0 g.l. d) χ, χ /P(χ < χ < χ ) = 0,95 com 5 g.l. e) P (0,8508 < χ < 3,404) com 0 g.l. 37 Distribuição F (de Sedecor) 0 + F g, g 0 + F 38 Distribuição F ( ) s ~? χ ( ) s σ ~? σ χ s σ σ s = s σ s σ ~ F, Quado a área a direita (alfa) é muito grade? 39 3

14 40 4 Obter os seguites valores da distribuição F de Sedecor: a)f/p(f>f)=0,0comv =8ev =0g.l. b)f/p(f<f)=0,90comv =8ev =0g.l. c) F,F /P(F <F<F ) = 0,95 com v =0ev =0g.l. d)f/p(f<f)=0,0comv =0ev =8g.l. 4 4