Inferência Estatística

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1 Iferêcia Estatística opulação Amostra Itroduç Itrodução à Iferêcia Estatística Como tirar coclusões tomar decisões a partir de iformação parcial / icompleta (amostra) projectado /geeralizado resultados para um uiverso mais vasto (população) do qual a amostra foi extraída roliv@ist.utl.pt Iferêcia Estatística Iferêcias o tempo o espaço Erros de iferêcia Métodos de Amostragem opulação Amostra i) robabilísticos: escolha de elemetos a amostrar baseada em critérios probabilísticos é possível quatificar a probabilidade de um qualquer elemeto da população vir a ser icluído a amostra Objectivos: cotrolar e quatificar erros de iferêcia tirar o melhor partido possível (miimizado erros) da iformação dispoível dimesioar a iformação ecessária para garatir íveis de erro pré-especificados regular os processos de recolha de iformação ii) Não robabilísticos: baseados em julgametos pessoais (critérios subjectivos ou de coveiêcia) sedo impossível quatificar o risco de erro, limitam a geeralização de coclusões Tipos de iferêcias: Estimação de parâmetros Testes de hipóteses

2 Métodos de Amostragem robabilísticos a) Amostras aleatórias puras : selecção idepedete e garatido a todos os elemetos da população igual probabilidade de serem icluídos a amostra. b) Amostras sistemáticas : ordeação aleatória dos elemetos da população; escolha aleatória do primeiro e iclusão de todos os que se ecotram separados de um dado passo k essa ordeação. c) Amostras estratificadas : a população é dividida em classes ou estratos homogéeos em relação a uma determiada característica; extrai-se uma amostra aleatória pura detro de cada estrato e depois combiam-se os resultados. d) Amostras clusterizadas : a população é dividida em clusters semelhates etre si, mas costituídos por idivíduos diferetes (reproduzido a variedade da população); extrai-se depois uma amostra aleatória de um ou vários clusters. opulação (pesos) Amostra X 60 Kg X 80 Kg Amostra X 74 Kg X 56 Kg Amostra 3 X 50 Kg X 58 Kg Amostra 4 X 98 Kg X 86 Kg Amostra 5 X 6 Kg X 76 Kg X 70 Kg X 60 Kg X 54 Kg X 9Kg X 69 Kg Amostra : Amostra : Amostra 3: Amostra 4: Amostra 5: X 70 Kg X 60 Kg X 54Kg X 9Kg X 69Kg Média da amostra X é portato, uma variável aleatória! Qual a sua média? Qual a sua variâcia? A média da amostra varia de amostra para amostra! (de um modo imprevisível à priori - ates da amostra ser recolhida) Qual a sua distribuição de probabilidades? Exemplos: Estatística amostral Estatística amostral: uma qualquer fução dos resultados amostrais Média da amostra: Máximo amostral: ercetil de (q ): X i - resultado da i-ésima observação a amostra X X i i θ max (X ) i i [ X q ] ia Freq edo as amostras aleatórias, ão é possível atecipar (ates de recolher a amostra) os resultados das observações (cada X i é uma variável aleatória!). Logo, qualquer estatística amostral é à priori uma variável aleatória!

3 Estatística amostral edo as amostras aleatórias, ão é possível atecipar (ates de recolher a amostra) os resultados das observações (X i é uma variável aleatória!). Logo, Qualquer estatística amostral é à priori uma variável aleatória! Nota: depois de recolhida a amostra, e uma vez cohecidos os resultados amostrais, é possível apurar o valor da estatística amostral. No etato, este ão é mais do que um valor particular (para essa amostra) da estatística amostral, isto é, uma realização particular dessa variável aleatória. Toda a Iferêcia Estatística é baseada em estatísticas amostrais A chave para resolver as questões de Iferêcia Estatística cosiste a caracterização probabilística da estatística amostral usada, omeadamete: idetificado a distribuição de probabilidades da estatística amostral em causa; apurado os parâmetros relevates dessa distribuição (evetualmete, exprimido-os em fução dos parâmetros da população). Estimação de arâmetros Estimador (de um parâmetro de uma população) é uma fução dos resultados amostrais (uma estatística amostral) que, segudo um critério pré-estabelecido, melhor permite "aproximar" (estimar) esse parâmetro (descohecido) da população. θ - parâmetro (descohecido) da população θ ) - estimador do parâmetro θ (fução dos resultados amostrais) Estatística da amostra ( θ ) ) arâmetro da população (θ) Exemplo: parâmetro (descohecido): média da população (µ) Estimador: ˆµ X X i i Estimação de arâmetros Estimativa é um valor particular desse estimador apurado para uma amostra específica, após cohecidos os respectivos resultados. µ ˆ ( ) 7.5 estimativa 4 Estimador é, portato, uma regra (expressão) geral que, uma vez aplicada às observações de uma amostra, produz um resultado particular (que costitui uma estimativa). Média da Amostra: X À priori (ates de recolher a amostra), o resultado de cada observação é imprevisível, logo é uma variável aleatória. ortato, a média amostral X é também uma variável aleatória! ) E X Iferêcias sobre a média X i i rova-se que (para amostras aleatórias): [ ] µ Médiada média da população ) Var resultado da i-ésima observação da amostra A média amostral X é um estimador cetrado (ão eviezado, ão tedecioso...) da média da população [ X ] variâcia da população úmero de observações (dimesão da amostra) A variabilidade da média da amostra dimiui à medida que a dimesão da amostra aumeta. X i Iferêcia Estatística 3

4 Iferêcias sobre a média TLC - opulação Uiforme Média da Amostra: X X i i elo Teorema do Limite Cetral (TLC), à medida que a dimesão da amostra cresce, a distribuição da média amostral vai covergido para uma distribuição ormal Média da população Média µ Desvio padrão X DistribuiçãoNormal Desviopadrão da população ~ Distribuição Normal adrão N(0,) Dimesão da amostra Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística TLC - opulação Uiforme TLC - opulação Uiforme em mudar a escala das abcissas: Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística 4

5 TLC - opulação Expoecial TLC - opulação Expoecial Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística Média amostral : Iferêcias sobre a média Χ Xi Normal Normal padrão (0, ) Média µ Variâcia Iferêcias sobre a média - - Normal padrão (0, ) - / / -z / +z / - / 0% % / / -z / +z / - + max max Erro de estimação - max z 0% % / Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística 5

6 Iferêcias sobre a média Normal padrão (0, ) Iferêcias sobre a média Normal padrão (0, ) - max z + Erro de estimação - / - / -z / +z / 0% /.645 %.57 Exemplo: Amostra com 50 observações extraída de uma população com Adoptado 0% max 50 [ ] 90%.96 - Exemplo: e a média da população µ 60 : max [ 60-8 Χ ] 90% % / - / 5 -z / 60 +z 68 / 8 8 max Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística Iferêcias sobre a média - Exemplo: e média da população descohecida mas (a amostra) Χ 54 : max [ 54-8 µ 54+ 8] 90% Normal padrão (0, ) 90% / - / 46 -z / 54 +z 6 / 8 8 max Itervalo de cofiaça a 90% para µ Erro de estimação da média 4 3,5 3,5,5 0,5 z / 0 60% 6 70% 7 80% 8 90% 9 00% Grau de cofiaça (-) Desvio padrão da população Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística 6

7 Erro de estimação da média z / Erro de estimação 0,5,0 0,4 0,9 0,3 0,8 0, 0,7 0, 0,0 0, ,5 0,4 0,3 0, 0, 0, Dimesão da amostra () Iferêcia Estatística,0 0,9 0,8 0,7 0,6 Erros de estimação e dimesioameto de amostras Exemplo : Grau de cofiaça (-) 98% Desvio padrão da população 300 Iferêcia Estatística z / 0 Erros de estimação e dimesioameto de amostras Exemplo : Grau de cofiaça (-) 98% Desvio padrão da população z / Valor margial da iformação (em termos do erro de estimação) decrescete! 0 Iferêcias sobre a média: dimesioameto de amostras - max z + Erro de estimação Exemplo: Amostra extraída de uma população com 35 Normal padrão (0, ) - / - / -z / +z / 0% % /.645 e for especificado que o erro de estimação seja 5, o máximo ( max < 5): 35 Adoptado 0% max.645 < 5 > Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística 7

8 Itervalos de cofiaça para a média ~ Normal adrão (0,) X µ / / / % X z µ + / X z / Itervalos de cofiaça para a média X / µ X + / Exemplo: amostra com 3 observações de uma população ormal com 0.75 para a qual se obteve X Adoptado 0% / [ µ ] 90% O (verdadeiro) valor da média da população deverá (com uma probabilidade de 90%) estar cotido o itervalo (4.9 ; 5.7) desvio ou erro de estimação Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística Itervalos de cofiaça para a média Χ Xi Normal - - [ µ - Χ µ + ] - Média µ Variâcia / X rova-se que: E [ ] E [ ] < Variâcia amostral i ( ) X X i Variâcia amostral é um estimador desviado da variâcia da população tem uma tedêcia para subestimar µ Estimador corrigido ( X X ) i Iferêcia Estatística Número da amostra E [ ] é estimador cetrado de Iferêcia Estatística 8

9 Itervalos de cofiaça para a média (variâcia da população descohecida; população ormal) T / ~ t - Distribuição t-studet com (-) graus de liberdade ( X X ) i t χ K Distribuição t-studet com k graus de liberdade k Distribuição t-tudet Distribuição ormal padrão χ χ k Distribuição com k graus de liberdade k3 graus de liberdade.353 t X µ, / t, / / t, / + X µ X + t, / K t ~ N(0,) k 0 graus de liberdade Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística Itervalos de cofiaça para a média (variâcia da população descohecida; população ormal) De igual modo, para o estimador desviado (ão cetrado): T / ( ) ~ t - ( x X) i Itervalos de cofiaça para a média ) Variâcia da população ( ) cohecida: / ~ N( 0,) [ X µ X + ] z / Distribuição t-studet com (-) graus de liberdade ) Variâcia da população descohecida e estimada através da variâcia amostral ( ) Xi X i T ~ t / (para populações ormais) t + X µ X + t, /, / ' t / ' ' [ X µ X + ] ' t / Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística 9

10 / Itervalos de cofiaça para a média ) Variâcia da população cohecida: ) Variâcia da população descohecida: ~ N( 0,) [ X µ X + ] T ~ t / ' ' [ X µ X + ] Itervalos de cofiaça para a média Grau de cofiaça 99% Χ 399 Amostra 50 Erro ( ) 55,00 50,00 45,00 40,00 35,00 30,00 5,00 Variâcia da população descohecida Variâcia da população cohecida 4 t.353 / t.8 / 30 t.699 / 0 t.658 / z /.645 Iferêcia Estatística ' t / Dimesão da amostra () ,50,86,756,704,660,67,576 Iferêcia Estatística ' t t 5,39 3,99 5,6,38 7,7,94 40,73 8,80 3,5 0,37 6,63,76 0,00 5,00 0, Dimesão da amostra () Variâcia da população cohecida 50 () Testes de Hipóteses ara um processo covecioal de fabrico, a duração (vida útil) de um compoete é uma variável aleatória de média 90 horas com desvio padrão de 5 horas. O Eg.º ardal propôs uma alteração ao processo de fabrico que, segudo ele, aumeta a vida útil média do compoete. No etato, a Admiistração da empresa tem reservas quato a esta pretesa melhoria. Foram esaiados 5 compoetes fabricados pelo ovo processo, tedo-se obtido uma duração média de 00 horas. erate estes resultados, o Eg.º ardal afirmou: "A amostra prova que o ovo processo aumeta efectivamete a vida útil média". A Admiistração, porém, maifestou-se relutate quato a aceitar esta coclusão, tedo um dos admiistradores afirmado: "Os resultados dos esaios são icoclusivos, até porque a amostra é pequea e portato o aumeto da duração média pode ser fruto apeas do acaso!" Testes de Hipóteses rocesso de fabrico covecioal: Duração média: 90 horas µ Desvio padrão: 5 horas Novo processo, amostra de 5 compoetes: Duração média: 00 horas Admiistração: ovo processo ada altera Duração média matêm-se (µ 90) Egº ardal: duração média aumetou (µ > 90) Hipótese ula Hipótese alterativa - H 0 : µ 90 horas - H : µ > 90 horas Regra de decisão: rejeitar H 0 (posição da Admiistração) se duração média a amostra fôr demasiado alta X Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística 0

11 Testes de Hipóteses Hipótese ula - H 0 : µ 90 horas Hipótese alterativa - H : µ > 90 horas Regra de decisão: rejeitar H 0 (posição da Admiistração) se duração média a amostra fôr demasiado alta Qual o valor máximo tolerável para a média da amostra? e H 0 verdadeiro X ~ Normal Média µ 90 5 Variâcia 5 Testes de Hipóteses Hipótese ula - H 0 : µ 90 horas Hipótese alterativa - H : µ > 90 horas Regra de decisão: rejeitar H 0 (posição da Admiistração) se duração média a amostra fôr demasiado alta Qual o valor máximo tolerável para a média da amostra? Decisão : como X 00 > 97h (valor crítico), rejeitar H 0 (µ 90h) Média µ 90 e (teste H 0 verdadeiro sigificativo) X ~ Normal 5 Variâcia 5 [ X > 90+ 7] % µ Tolerâcia (para ateder a variabilidade dos resultados amostrais) 99 % 90 µ 7 97 % [ X > 90+ 7] % µ Tolerâcia (para ateder a variabilidade dos resultados amostrais) 99 % 90 µ 7 97 % Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses Testes de Hipóteses e H 0 verdadeiro: X ~ Normal Média µ 90 5 Desvio adrão 3 horas 5 Fixado o ível de sigificâcia (), como determiar o valor crítico (V C ) (ou a tolerâcia )? [ X V ] c / V 90 c / 5 µ [ X > 97] > >.33 Φ.33 / 5/ 5 z X [ ] ( ) 0.99 % N (0, ) z.645 0% z.8 V c Caso geral: Vc µ z / N (0, ),33 Tolerâcia (desvio máximo admissível) Vc µ + z Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística

12 Fixado o ível de sigificâcia (), como determiar o valor crítico (V C ) (ou a tolerâcia )? Iferêcia Estatística [ X V ] z / c Vc µ z / Testes de Hipóteses / N (0, ) Vc µ + z V c µ / z Tolerâcia (desvio máximo admissível) X µ + z 5 % z.33 X / µ 90 99% 5 7 Testes de Hipóteses sobre médias Hipótese ula rocedimeto alterativo: Iferêcia Estatística - H 0 : µ 90 horas Hipótese alterativa - H : µ > 90 horas % z.33 5 X / µ 90 99% 5-90 oa de aceitação Valor crítico 97 horas Decisão : como X 00 > 97h (valor crítico), rejeitar H 0 (µ 90h) z / / 5 / 5 % z.33 Rejeição >.33 (valor crítico) Decisão : rejeitar H 0 (µ 90h) Testes de Hipóteses Erros tipo I e II Decisões Aceitar H 0 Rejeitar H 0 Estados da Natureza H 0 Verdadeira OK! Erro Tipo I () H 0 Falsa Erro Tipo II (β) OK! Erro tipo I rejeitar uma hipótese verdadeira [Rejeitar H 0 / H 0 verdadeira] Erro tipo II aceitar uma hipótese falsa β [ Aceitar H 0 / H 0 falsa] Outros cotextos: Testes de Hipóteses Erros tipo I e II Cotrole da qualidade H 0 : o lote é de boa qualidade Erro I: rejeitar um lote de boa qualidade risco do produtor Erro II: aceitar um lote de má qualidade β risco do cosumidor Julgameto um Tribual H 0 : o arguido é iocete Erro I: codear um iocete (risco ) Erro II: absolver um culpado (risco β) Dilema: β β Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística

13 Testes de Hipóteses sobre médias (caso ) O tempo de processameto de uma aplicação iformática é, em média, de 60 miutos. Uma empresa propôs forecer um ovo computador que reduzirá sigificativamete o tempo de processameto desta aplicação. Foram realizados 0 esaios de processameto da aplicação o ovo computador, tedo-se obtido um tempo médio de 50 miutos e um desvio padrão (corrigido) de 9 miutos. ode cocluir-se que o ovo computador reduzirá efectivamete o tempo médio de processameto? Hipótese ula Hipótese alterativa - H 0 : µ 60 mi. (sem alteração) - H : µ < 60 mi. (há redução) Regra de decisão: rejeitar H 0 se média da amostra for sigificativamete iferior a 60 miutos ( < 60 tolerâcia) X Testes de Hipóteses sobre médias (caso ) Regra de decisão: rejeitar H 0 se média da amostra for sigificativamete iferior a 60 miutos ( X < 60 tolerâcia) X Estatística de teste:.833 / 5 X µ (tolerâcia ) [ X 49/ µ 60] % ~ t X µ / t.833 Decisão: como a amostra X 50 mi > 49 (valor crítico), a hipótese H 0 ão é rejeitável (teste ão sigificativo) Tolerâcia Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses sobre médias - teste bilateral (caso 3) Hipótese ula H 0 : µ 5 Hipótese alterativa H : µ 5 Regra de decisão: rejeitar H 0 caso X se afaste demasiado de µ 5, isto é, caso caia fora do itervalo [ 5 C ; 5 + C ] Como determiar C ( tolerâcia )? / / / % estatística de teste Normal (0,) Testes de Hipóteses sobre médias - teste bilateral (caso 3) Exemplo: amostra com 3 observações de uma população ormal com 0.75 µ X µ + / / Adoptado 0% z / Tolerâcia : C C 90% µ / X µ + / [ X ] 90 % C C tolerâcia Rejeição oa de aceitação Rejeição Iferêcia Estatística Iferêcia Estatística 3

14 Testes de Hipóteses sobre médias Teste uilateral direito: - Hipótese ula - H 0 : µ a Hipótese alterativa - H : µ > a Teste uilateral esquerdo: Hipótese ula - H 0 : µ a Hipótese alterativa - H : µ < a Teste bilateral: / Hipótese ula H 0 : µ a Hipótese alterativa H : µ a a oa de aceitação Rejeição - a Rejeição oa de aceitação / - a Rejeição oa de aceitação Rejeição Iferêcia Estatística Testes de Hipóteses formulação geral Formular hipóteses (ula e alterativa) eleccioar estatística de teste Levatar o teste: Defiir / acordar ível de sigificâcia / tamaho dos erros tipo I e II Dimesioar a amostra Defiir regra de decisão (valor(es) crítico(s) / região de rejeição) Uma vez recolhida a amostra, calcular o valor da estatística seleccioada e aplicar a regra para tomar uma decisão (rejeição ou ão da hipótese ula). 4