Cap. 4 - Estimação por Intervalo

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1 Cap. 4 - Estimação por Itervalo Amostragem e iferêcia estatística População: cosiste a totalidade das observações em que estamos iteressados. Nº de observações a população é deomiado tamaho=n. Amostra: um subcojuto de observações selecioadas a partir de uma população. Tamaho da amostra:. Defiição: As variáveis aleatórias (X 1, X,..., X ) são uma amostra aleatória (aa ou iid) de tamaho se a) Os X i s forem variáveis aleatórias idepedetes e b) Cada X i tiver a mesma distribuição de probabilidades. Quado a amostragem é aleatória podemos fazer iferêcias sobre a população a partir de uma amostra. Estatística: é qualquer fução das observações em uma amostra aleatória. Parâmetro: descrição umérica de uma característica da população, geralmete descohecida. Exemplos de parâmetros: média de altura de uma população; variâcia, proporção de peças defeituosas, etc... Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 1

2 Estimação de Parâmetros Estimador: é uma estatística usada para estimar um parâmetro populacioal, a partir de uma amostra aleatória. Exemplos de estimadores: a) X (média amostral): estimador da média populacioal; b) S (variâcia amostral): estimador da variâcia populacioal; c) S (desvio padrão amostral): estimador do desvio padrão populacioal Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF

3 d) p (proporção amostral): estimador da proporção populacioal, etc. O valor que um estimador assume uma determiada amostra é deomiado estimativa do parâmetro. Objetivo: Estimar um parâmetro de uma população de uma variável X (que pode ser a média, a variâcia, o desvio padrão, a proporção de objetos com determiada característica de iteresse, etc) de uma população em estudo cosiste a determiação do valor umérico do mesmo a partir de uma estatística adequada defiida uma amostra aleatória extraída da população em estudo. Na prática selecioamos apeas uma amostra, produzido apeas uma estimativa. Como um estimador é uma variável aleatória, o mesmo tem média e variâcia. Assim, mesmo que o estimador seja ão tedecioso a estimativa obtida pode estar muito distate da verdadeira média populacioal. Etão, outra propriedade desejável é que o estimador teha uma variâcia pequea, reduzido assim a possibilidade da estimativa ser muito diferete do valor do parâmetro. Acurácia: observações próximas (em toro) do valor alvo, real ou esperado. Precisão: observações próximas da média do cojuto de observações (baixa variabilidade). Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 3

4 Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 4

5 Estimação potual No processo de estimação por poto admite-se como valor umérico do parâmetro a estimativa calculada a partir de uma amostra aleatória extraída da população em estudo. Exemplo: Na estimação por poto da média populacioal de uma variável X admite-se que x, ode x é uma estimativa de dada por x i 1 i x sedo x 1, x,..., x observações da variável X uma amostra de tamaho extraída da população de observações desta variável para estimar a média populacioal. Existem outros processos de estimação potual, ão abordados aqui. No processo de estimação por itervalo, usa-se a distribuição amostral do estimador para a costrução de um itervalo, sedo que este itervalo tem uma probabilidade =1- α, especificada a priori, de coter o verdadeiro valor do parâmetro estimado. O itervalo é deomiado itervalo de cofiaça de 100% e a probabilidade é deomiada ível de cofiaça. Os íveis de cofiaça usuais são 0,95 (95%) e 0,99(99%). Itervalo de Cofiaça: Expressa o grau de icerteza associado com uma estimativa. Itervalo com 100(1- α)% de cofiaça para o parâmetro θ: Iterpretação: Se K amostras aleatórias de mesmo tamaho forem coletadas e um IC de 100(1- α)% for calculado para cada amostra, etão 100(1- α)% desses K itervalos cotem o valor verdadeiro do parâmetro θ. Observações: Quato maior for o IC, meor é sua precisão. A metade do IC é sua precisão. Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 5

6 Distribuições Amostrais o A seleção da amostra a partir de um plao amostral probabilístico faz com qualquer estimador (estatística) seja uma VA. Por que? Por causa da aleatoriedade itroduzida pelo sorteio realizado o processo de amostragem. o Uma estatística é uma VA aleatória e a sua distribuição de probabilidades é chamada de distribuição amostral. o Cosideraremos um plao amostral por amostragem aleatória simples (AAS) com reposição com =. E X,5 3 3,5 4 4,5 5 3, 5 V ( X ) ( 3,5) 1 16 (,5 3,5) (5 3,5) ,65 1,5 Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 6

7 o Observe que a distribuição da população e a distribuição da média amostral têm a mesma média (valor esperado). o A distribuição da média amostral é mais cocetrada e é parecida com a distribuição Normal. Distribuição Amostral da Média o O esquema abaixo resume o que vimos até agora: Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 7

8 o Se cosideramos uma AAS X 1, X,..., X e o estimador X, a distribuição de X terá as seguites propriedades: o E (X ) o V ( X ). Teorema Cetral do Limite: Se X 1, X,..., X for uma aa de tamaho de uma população (fiita ou ifiita), com média µ e variâcia σ fiita, etão a forma limite da distribuição de ode Z é a distribuição ormal padrão. Em geral para 30 a aproximação é boa. A distribuição T de Studet com =1 graus de liberdade. A distribuição T é simétrica, tem esperaça matemática igual a zero e variâcia igual a /( ). A forma da desta distribuição depede de seu úmero de graus de liberdade da mesma. O gráfico a seguir ilustra esta distribuição para = 1, = 4 e = 0., (a) = 1 (b) = 4 (c) = 0 Figura 1 Se é suficietemete grade (a prática, 30) a distribuição t se aproxima da distribuição ormal padrão. As probabilidades dos valores da distribuição t de Studet se ecotram o apêdice. Os valores t >0 da variável T esta tabela são tais que P(Tt )=, Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 8

9 Itervalos de Cofiaça para parâmetros populacioais 1) Itervalo de cofiaça para a média populacioal Supoha que a população de uma variável X teha distribuição ormal com média igual a e desvio padrão. Figura O itervalo de cofiaça de 100 % para a média populacioal é dado por, ode é o quatil da distribuição T (-1). Para grade (>30), pode-se utilizar o quatil da ormal o lugar do quatil da T de Studet. Ou seja, ode é o quatil da ormal padrão. Exemplo: Um pesquisador observou o custo de produção, em R$, uma amostra de 10 uidades de um artigo produzido por certo fabricate escolhidas aleatoriamete da produção, ecotrado os seguites valores: 10, 11, 7, 9, 6, 7, 10, 7, 6 e 8. Costrua e iterprete um itervalo de 95% para o custo médio de produção do artigo cosiderado., Solução s x i i x x i1 i x i i (10 1) 8, ,79 Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 9

10 Sedo =0,95, =0,05, o coeficiete de cofiaça, t 0,95, é um valor da variável T tal que P ( t T t 05) 0, 95 como ilustra o gráfico a seguir. 0,05 0, Figura 3 A variável T tem distribuição t de Studet com =1=101=9 graus de liberdade. Pela tabela da T de Studet temse para = 9 e = 0,05 que 0, 05 t =,6. Assim sedo, o itervalo de cofiaça de 95% para o custo médio deste artigo é 8,1,6 0,57 8,1,6 0,57 R$6,81 R$9, 39 Com este resultado acredita-se que a probabilidade de que o itervalo acima coteha o custo médio das uidades deste artigo é de 0, ) Determiação do tamaho da amostra para estimação da média Na costrução de um itervalo de cofiaça de 100% para a média da população de uma variável X deve-se iicialmete estipular a precisão do itervalo de cofiaça desejado e em fução desta precisão dimesioar o tamaho da amostra. Na amostragem com reposição costata-se que a precisão deste itervalo é t s X Cosiderado amostragem com reposição s s X Logo, t s Etão t S Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 10

11 A estimativa S é determiada a partir de uma amostra iicial deomiada amostra piloto com elemetos (sedo arbitrário e uca iferior a 30) e cosidera-se = para se determiar o valor t. Se for maior que, o tamaho da amostra defiitiva será e deve-se acrescetar às observações da amostra piloto ovas observações até completar a amostra de tamaho ; se o valor calculado for meor ou igual a, a amostra piloto já é suficiete e o tamaho da amostra defiitiva será =. Exemplo: Um pesquisador deseja estimar o preço médio de um produto os potos de veda de certa região, de modo que o erro de estimação seja o máximo igual a R$,00, admitido-se um ível de cofiaça de 95%. O pesquisador dispõe de uma amostra piloto de 40 potos de veda os quais o desvio padrão do preço do produto é igual a R$1,00. Qual deve ser o tamaho da amostra? Solução Não tedo sido iformado o tamaho da população (úmero de potos de veda da região) admite-se amostragem com reposição ou amostragem sem reposição de uma população muito ifiita ou população fiita muito maior que a amostra e assim sedo, o tamaho da amostra é t s Pelos dados do problema, tem-se que = e = 1. Sedo = 0,95 e =, tem-se da tabela t de Studet tem-se que t0, 95=1,96. Etão, o tamaho da amostra para estimar o preço médio do produto os potos de veda da região é 1, ) Itervalo de cofiaça para a proporção populacioal Supoha que certa população teha uma proporção de objetos com uma característica de iteresse para o pesquisador (por exemplo, pode ser a proporção de uidades defeituosas de certo artigo uma liha de produção). Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 11

12 Neste caso, o estimador ão tedecioso de é a proporção amostral p, que é uma variável aleatória que associa a uma amostra de objetos a proporção p de objetos a amostra com a característica de iteresse. Para grades amostras ( 30), a variável aleatória que associa a uma amostra o valor da expressão p tem distribuição aproximadamete ormal padroizada, sedo estimativa do erro padrão, dada por p( 1 p) s P se a amostragem é com reposição. s P sp uma Para um dado ível de cofiaça, tem-se que p P z z sp ode z é um valor da variável ormal padroizada. Assim, o Itervalo de cofiaça de ível para é dado por IC IC ( ) ( p z sp, p z / s / P ou p(1 p) ( ) [ p z /, p z / ) p(1 p) ] A equação acima costitui o itervalo de cofiaça de 100% para a proporção populacioal. Exemplo: Um produtor deseja estimar a proporção de ites de certo artigo a liha de produção de sua empresa que apresetam defeito de fabricação. Para esta fialidade, retirou uma amostra de 00 ites retirados aleatoriamete da liha de produção, costatado que 16 destes apresetam defeito de fabricação. Costrua e iterprete um itervalo de cofiaça de 95% para a proporção de ites a liha de produção que apresetam defeito de fabricação. Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 1

13 Solução: Não tedo sido iformado o tamaho da população (úmero de ites produzidos) admite-se amostragem com reposição ou amostragem sem reposição de uma população ifiita ou população fiita muito maior que a amostra e o itervalo de cofiaça para a proporção de ites defeituosos a liha de produção é p(1 p) p(1 p) p z p z / ode p = x/. Na amostra de tamaho = 00 foram observados x = 16 ites defeituosos. Etão a estimativa da proporção de ites defeituosos a liha de produção é / 16 p 0,08 00 A estimativa do erro padrão da proporção é s P p(1 p) 0,08(1 0,08) 00 0,019 Sedo =0,95 tem-se que P ( z0,95 Z z0, 95) 0, 95 ode Z é a variável ormal padroizada. O gráfico a seguir ilustra esta situação. Figura 4 Observado-se o gráfico acima tem-se que, da tabela da ormal padrão, z =1,96. Etão o itervalo de cofiaça de 95% para a proporção de ites defeituosos a liha de produção é 0,08 1,96 0,019 0,08 1,96 0,019 0,043 0, 117 Com este resultado, acredita-se que a probabilidade de que o itervalo acima coteha a proporção de ites defeituosos a liha de produção é de 0, ) Determiação do tamaho da amostra para a estimação da proporção Como o caso da média, para se costruir um itervalo de cofiaça de 100 % para a proporção populacioal deve-se dimesioar o tamaho Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 13

14 da amostra para uma precisão preestabelecida do itervalo de cofiaça desejado. A precisão do itervalo é z s P Se a amostragem é com reposição, etão p( 1 p) s P. Logo, p( 1 p) z Resolvedo-se a equação para tem-se que z p (1 p) A estimativa p da proporção populacioal pode ser obtida a partir de uma amostra piloto como o caso da média. Caso seja muito difícil obter uma estimativa iicial da proporção e cosiderado-se que atige um valor máximo quado p = 0.5, pode-se arbitrar este valor para a estimativa iicial de. Neste caso existe o risco de que, em determiadas situações, sejam obtidas amostras de tamaho muito maior que o ecessário. Exemplo: Com o objetivo de estimar a proporção de ites defeituosos uma produção, um admiistrador de produção deseja extrair uma amostra aleatória de ites da referida produção para tal fim. Uma amostra piloto de 40 ites apresetou 4 defeituosos. Qual deve ser o tamaho da amostra defiitiva para que o erro de estimação da proporção de defeituosos a população seja de o máximo 3% a um ível de cofiaça de 95%? Solução: Não tedo sido iformado o tamaho da população (úmero de ites produzidos), admite-se amostragem com reposição ou amostragem sem reposição de uma população ifiita ou muito maior que a amostra e, assim sedo, o tamaho da amostra é (1 ) z 4 p. 40 A estimativa de obtida a partir da amostra piloto é 0, 1 Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 14

15 Pelos dados do problema, tem-se que = 0,03. Sedo = 0,95 tem-se, pela tabela da ormal padrão, que z0, 95=1,96. Etão, o tamaho da amostra para estimar a proporção de ites defeituosos a produção é 1,96 0,1(1 0,1) 385 0,03 Neste caso deve-se acrescetar 345 ites à amostra piloto ates de se costruir o itervalo de cofiaça para a proporção. Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 15

16 Apêdice TABELA: Distribuição ormal padrão. P(Z>z) área tabulada 0 z seguda decimal de z z 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,4960 0,490 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,471 0,4681 0,4641 0,1 0,460 0,456 0,45 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,435 0,486 0,447 0, 0,407 0,4168 0,419 0,4090 0,405 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,3 0,381 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,363 0,3594 0,3557 0,350 0,3483 0,4 0,3446 0,3409 0,337 0,3336 0,3300 0,364 0,38 0,319 0,3156 0,311 0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,981 0,946 0,91 0,877 0,84 0,810 0,776 0,6 0,743 0,709 0,676 0,643 0,611 0,578 0,546 0,514 0,483 0,451 0,7 0,40 0,389 0,358 0,37 0,96 0,66 0,36 0,06 0,177 0,148 0,8 0,119 0,090 0,061 0,033 0,005 0,1977 0,1949 0,19 0,1894 0,1867 0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,176 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611 1,0 0,1587 0,156 0,1539 0,1515 0,149 0,1469 0,1446 0,143 0,1401 0,1379 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,19 0,171 0,151 0,130 0,110 0,1190 0,1170 1, 0,1151 0,1131 0,111 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,100 0,1003 0,0985 1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,083 1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,07 0,0708 0,0694 0,0681 1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,058 0,0571 0,0559 1,6 0,0548 0,0537 0,056 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 1,7 0,0446 0,0436 0,047 0,0418 0,0409 0,0401 0,039 0,0384 0,0375 0,0367 1,8 0,0359 0,035 0,0344 0,0336 0,039 0,03 0,0314 0,0307 0,0301 0,094 1,9 0,087 0,081 0,074 0,068 0,06 0,056 0,050 0,044 0,039 0,033,0 0,08 0,0 0,017 0,01 0,007 0,00 0,0197 0,019 0,0188 0,0183,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,016 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143, 0,0139 0,0136 0,013 0,019 0,015 0,01 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110,3 0,0107 0,0104 0,010 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084,4 0,008 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,005 0,0051 0,0049 0,0048,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,003 0,0031 0,0030 0,009 0,008 0,007 0,006,8 0,006 0,005 0,004 0,003 0,003 0,00 0,001 0,001 0,000 0,0019,9 0,0019 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 3,0 0, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 16

17 Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira - Departameto de Estatística - UFJF 17

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