Objetivos. Testes não-paramétricos

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1 Objetivos Prof. Lorí Viali, Dr. ufrgs.br/~viali/ Testar o valor hipotético de um parâmetro (testes paramétricos) ou de relacioametos ou modelos (testes ão paramétricos). Testes ão-paramétricos Um teste ão paramétrico testa outras situações que ão parâmetros populacioais. Estas situações podem ser relacioametos, modelos, depedêcia ou idepedêcia e aleatoriedade.

2 Evolvem parâmetros populacioais. Um parâmetro é qualquer medida que descreve uma população. Os pricipais parâmetros são: µ (a média) σ σ π (a variâcia) (o desvio padrão) (a proporção) () Formular a hipótese ula (H 0 ) H 0 : θ θ 0 Epressar em valores aquilo que deve ser testado; Esta hipótese é sempre de igualdade; Deve ser formulada com o objetivo de ser rejeitada. () Formular a hipótese alterativa (H ) (Testes simples) H : θ θ (Testes compostos) H : θ > θ 0 (teste uilateral/uicaudal à direita) θ < θ 0 (teste uilateral/uicaudal à esquerda) θ θ 0 (3) Defiir um valor crítico (α) ( Isto evolve defiir um poto de corte a partir do qual a hipótese ula será rejeitada (aceita ( a hipótese alterativa). Esta hipótese é de fato a epressão daquilo que ser quer provar.

3 (4) Calcular a estatística teste A estatística teste é obtida através dos dados amostrais, isto é, ela é a evidêcia amostral; A forma de cálculo depede do tipo de teste evolvido, isto é, do modelo teórico ou modelo de probabilidade. (5) Tomar uma decisão A estatística teste e o valor crítico são comparados e a decisão de aceitar ou rejeitar a hipótese ula é formulada; Se for utilizado um software estatístico pode-se trabalhar com a sigificâcia do resultado (p-value ( value) ) ao ivés do valor crítico. (6) Formular uma coclusão Epressar em termos do problema (pesquisa) qual foi a coclusão obtida; Não esquecer que todo resultado baseado em amostras está sujeito a erros e que geralmete apeas um tipo de erro é cotrolado. População: Valor do parâmetro Em resumo Questão a ser feita Decisão a ser tomada Não rejeitar a hipótese Qual é a difereça etre o Difereça pequea valor observado da estatística e o valor hipotético da parâmetro? Difereça grade Amostra: Valor Rejeitar a da estatística. hipótese Dispõem-se se de duas moedas com aparêcias idêticas, só que uma (M ) é equilibrada, isto é, P(Cara) P(Coroa) 50%, equato que a outra (M ( ) é viciada de tal forma que favorece cara a proporção de 80%, ou seja, P(Cara) 80% equato que P(Coroa) 0%. 3

4 Supõem-se que uma das moedas é laçada e que com base a variável úmero de caras, deve-se decidir qual delas foi laçada. Neste caso o teste a ser feito evolve as seguites hipóteses: H 0 H : A moeda laçada é a equilibrada (M ) (p 50%) : A moeda laçada é a viciada (M ) (p 80%) p proporção de caras. Tem-se que tomar a decisão de apotar qual foi a moeda laçada, baseado apeas em uma amostra de, por eemplo, 5 laçametos.. Lembrar que a população de laçametos possíveis é, este caso, ifiita. A decisão, é claro, estará sujeita a erros, pois se estará tomado a decisão em codições de icerteza, isto é, baseado em uma amostra de apeas 5 laçametos das ifiitas possibilidades. A decisão será baseada as distribuições amostrais das duas moedas. A tabela mostra as probabilidades de se obter os valores: 0,,, 3, 4 e 5, 5, da variável úmero de caras, em uma amostra de 5, 5, laçametos de cada uma das moedas. Sob H 0 ~ B(5; 0,5) Assim: P ( ) p q 5 5 0, , ,5 4

5 Assim: Sob H ~ B(5; 0,8) P ( ) p q 0, 0, Total P( ) sob H 0 /3 3,5% 5/3 5,65% 0/3 3,50% 0/3 3,50% 5/3 5,65% /3 3,5% 00% P( ) sob H /35 0,03% 0/35 0,640% 60/35 5,0% 640/35 0,480% 80/35 40,960% 04/35 3,768% 00% Para poder aceitar ou rejeitar H 0 e como coseqüêcia, rejeitar ou aceitar H, é ecessário estabelecer uma regra de decisão, isto é, é ecessário estabelecer para que valores da variável iremos rejeitar H 0 Desta forma, estabelecedo-se se que se vai rejeitar H 0, se a moeda der um úmero de caras igual a 4 ou 5, pode-se etão determiar as probabilidades de tomar as decisões corretas ou erradas. Assim o cojuto de valores que levará a rejeição da hipótese ula será deomiado de região crítica (RC RC) ) e, este caso, este cojuto é igual a: RC { 4, 5 } A faia restate de valores da variável é deomiada de região de aceitação ou de ão-rejeição (RA) e, este caso, este cojuto vale: RA { 0,,, 3 } 5

6 Etão se H 0 for rejeitada porque assumiu o valor 4 ou 5,, pode-se estar cometedo um erro. A probabilidade deste erro é igual a probabilidade de ocorrêcia destes valores sob H 0, isto é: α P(Erro do Tipo I ) P(Rejeitar H / H 0 0 éverdadeira) P( 4 ou 5 / p 0,50) 5/3 /3 6/3 8,75% Nível de sigificâcia do teste. O outro tipo de erro possível de ser cometido é aceitar H 0 quado ela é falsa e é deomiado de erro do tipo II. β P(Erro do Tipo II) P(Aceitar H 0 / H 0 éfalsa) P( 0,, ou 3 / p 80%) /35 0/35 60/35 640/35 8/35 6,7% Total β (060640)/35 P( ) sob H 8/35 P( 6,7% 0 ) sob H /3 3,5% /35 0,03% 5/3 5,65% 0/35 0,640% 0/3 3,50% 60/35 5,0% 0/3 3,50% 640/35 0,480% 5/3 5,65% 80/35 40,960% /3 3,5% 04/35 3,768% 00% α 5/3 /3 00% 6/3 8,75% 6

7 H 0 é verda- deira Realidade H 0 é falsa Aceitar H 0 Decisão correta - α P(Aceitar H 0 / H 0 éverdadeira) Erro do Tipo II Decisão β P(Cometer Erro do tipo II) P(Aceitar H 0 / H 0 é falsa) P(Aceitar H 0 / H é verdadeira) Rejeitar H 0 Erro do Tipo I α P(Cometer Erro do tipo I) P(Rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira) Nível de sigificâcia do teste Decisão correta - β P(Rejeitar H 0 / H 0 é falsa) Poder do teste. Uma ura cotém quatro fichas das quais θ são azuis e 4 - θ são vermelhas. Para testar a hipótese ula de que θ cotra a alterativa de θ, retiram-se duas fichas ao acaso e sem reposição. Rejeita-se a hipótese ula se as duas fichas forem da mesma cor. Determie o ível de sigificâcia e o poder do teste. Espaço amostra S { VV, AA, AV, VA } Sob H 0 : θ Região Crítica Região De Não Rejeiçã ção O erro do tipo I é a probabilidade de rejeitar H 0 quado ela é verdadeira, este caso ele é a probabilidade de retirarmos duas fichas da mesma cor, quado a ura tem duas de cada cor. Sob H 0 : θ α P(Erro do Tipo I ) P(Rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira) P(VV VV, AA ) ) AA / θ 33,33% 7

8 O poder do teste é a probabilidade de Rejeitar H 0 quado ela é falsa, é uma decisão correta. É calculada sob a região crítica. Neste caso é a P( VV, AA / H 0 é falsa ) MAS - β P( VV, AA / H 0 é falsa ) P( VV, AA / H é verdadeira) ) P( VV, AA / θ ). Assim devemos aalisar quatro situaçõ ções: θ 0, θ, θ 3 e θ 4 ISTO É: θ 0 θ θ 3 θ 4 θ 0 Neste caso Etão: - β P( VV, AA / θ ) P( VV, AA / θ 0 ) % 4 3 θ Neste caso Etão: - β P( VV, AA / θ ) P( VV, AA / θ ) % 4 3 θ 3 Neste caso Etão: - β P( VV, AA / θ ) P( VV, AA / θ 3) % 4 3 8

9 θ 4 Neste caso Etão: - β P( VV, AA / θ ) P( VV, AA / θ 0 ) % 4 3 Em Resumo, tem-se: θ β 0 0% 50% % 4 0% - β 00% 50% - 50% 00% α 33,33% β 00% Poder do Teste 00% β Erro do Tipo II 50% 50% 0% θ % θ Um dado é laçado seis vezes para testar a hipótese ula de que P(F ) /6 cotra a alterativa de que P(F ) > /6 Rejeita-se a hipótese ula se úmero de faces um for maior ou igual a quatro. Determiar o ível de sigificâcia e o poder do teste. 9

10 Espaço amostra S { 0,,, 3, 4, 5, 6 } H 0 : p /6 H 0 : p > /6 Região De Rejeiçã ção (Crítica) Região de Não Rejeiçã ção O erro do tipo I é a probabilidade de rejeitar H 0 quado ela é verdadeira, este caso ele é a probabilidade de obtermos 4, quado 6 e p / Sob H 0 : p / α P(Erro do Tipo I ) P(Rejeitar H / H 0 0 éverdadeira) P( ) P( 4/ p /6) ,87% O poder do teste é a probabilidade de Rejeitar H 0 quado ela é falsa, é uma decisão correta. É calculada sob a região crítica. Neste caso é P( 4/ / H 0 éfalsa) MAS - β P( 4 / H 0 é falsa ) P( 4 / H é verdadeira) ) P( 4 / p> /6 ). Neste caso, o poder do teste é uma fuçã ção de p. Vamos avaliar esta fuçã ção para algus valores de p. p 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 - β,70 3,76 7,05,74 7,9 5,53 34,37 p 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 - β 44,5 54,43 64,7 74,43 83,06 90, 95,7 p 0,90 0,95,00 - β 98,4 99,78 00,00 0

11 Poder do Teste Erro do Tipo II,0 β 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 β p Uma amostra Duas amostras Média Proporçã ção Variâcia Depedetes Idepedetes Mais de duas d Depedetes amostras Idepedetes Difereça a de médias m Difereça a de médias m Difereça a de proporçõ ções Igualdade de variâcias ANOVA com medidas repetidas ANOVA Média ( µ ) Proporçã ção o ( π ) Variâcia ( σ ) H 0 : µ µ 0 H : µ > µ 0 µ < µ 0 µ µ 0 Neste caso a variável vel teste é: µ Z σ µ σ

12 Z> z c Z< z c Z > z c Ode z c é tal que: Φ(z c ) α Φ(z c ) α Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) α/ A eperiêcia passada mostrou que as otas de Probabilidade e Estatística, estão ormalmete distribuídas com média µ 5,5 e desvio padrão σ,0. Uma turma de 64 aluos deste semestre apresetou uma média de 5,9. Teste a hipótese de este resultado mostra uma melhora de redimeto a uma sigificâcia de 5%. Hipóteses: H 0 : µ 5,5 H : µ > 5,5 Dados: σ,0 64 5,9 α 5% A variável vel teste é: µ Z σ Etão: µ σ Trata-se de um teste uilateral à direita com σ cohecido. Z σ µ 5,9 5,5,0 64 0,4,0 8 3,,0,60

13 A sigificâcia cia do resultado obtido (,60), isto é,, o valor-p é P(Z >,60) P(Z >,60) Φ(,60) Φ(-,60) 5,48%. Região o de Não N o Rejeiçã ção,60 α 5% RC [, 645; ) Como a sigificâcia cia do resultado (5,48% 5,48%) é maior que a sigificâcia cia do teste (5% 5%) ) ão é possível rejeitar a hipótese ula. Neste caso a variável vel teste é: t µ ˆσ µ s t - > t c t - < t c t - > t c Ode t c é tal que: P(t < t c ) α P(t < t c ) α P(t < t c ) α/ ou P(t > t c ) α/ 3

14 Supoha que a sua empresa comprou um lote de lâmpadas. Você precisa testar, a 5% de sigificâcia, a afirmação do fabricate de que a duração média das lâmpadas é maior que 800 horas. Para isto você usa uma amostra de 36 lâmpadas e ecotra uma média 80 horas com desvio de 70 horas. Isto cofirma a afirmação do fabricate? Hipóteses: H 0 : µ 800 horas H : µ > 800 horas Dados: horas s 70 horas α 5% Trata-se de um teste uilateral à direita com σ descohecido. t t Etão: A variável vel teste é: µ σˆ s µ s µ, 74 α 5% Região o de Não N o Rejeiçã ção RC [, 690 ; ),74 A sigificâcia do resultado obtido (,74), isto é, o valor-p é P(T 35 >,74) DISTT(,74; 35; ) 4,77% Como a sigific Como a sigificâcia cia do resultado (4,77% 4,77%) é meor que a sigificâcia cia do teste (5% 5%) é possível rejeitar a hipótese ula. 4

15 Neste caso a variável vel teste é: H 0 : π π 0 H : π > π 0 π < π 0 π π 0 (teste bilateral/bicaudal) ). Z P µ σ P P P π π( π ) Z> z 0 Z< z 0 Z > z 0 Afirma-se que 40% dos aluos de uma uiversidade são fumates. Uma amostra de 5 estudates selecioados ao acaso mostrou que apeas 7 eram fumates. Teste a % a hipótese de que a afirmação foi eagerada. Hipóteses: H 0 : π 40% H : π < 40% Dados: f 7 5 p 7/53% α % Trata-se de um teste uilateral à esquerda para a proporção. A variável teste é: 5

16 P µ Z σ Etão: P P P π π( π) P µ Z σ P P 0,3 0,40 0,40( 0,40 ) 5 0,08 0,036,45 α % RC ( ;,33] Região o de Não N o Rejeiçã ção,45 A sigificâcia do resultado obtido (-,45), isto é, o valor-p é: p P(Z < -,45) Φ(-,45) 0,7%. Como a sigificâcia do resultado (0,7%) é meor que a sigificâcia do teste (%) é possível rejeitar a hipótese ula. H 0 : σ σ0 H : σ > σ0 σ < σ0 σ σ 0 Neste caso a variável vel teste é: ( ) s χ σ χ > χ c χ < χ c ou χ > < χ c χ χ c 6

17 Ode P ( χ > χ ) α c P ( χ < ) - α χ c P( χ < ) / ou P( χ α χ > χ χ c c é tal que: c ) α/ O fabricate de uma certa marca de surdia de carro divulga que as suas peças tem uma variâcia de 0,8 aos. Uma amostra aleatória de 6 peças mostrou uma variâcia de um ao. Utilizado uma sigificâcia de 5%, teste se a variâcia de todas as peças é superior a 0,8 aos. Hipóteses: H 0 : σ 0,8 aos H : σ > 0,8 aos Dados: 6 s ao α 5% Trata-se de um teste uilateral à direita para a variâcia. χ A variável vel teste é: χ ( ) s σ Etão: 5 ( ) s σ ( 6 ). 5 0,8 0,8 8, 75 α 5% Região o de Não N o Rejeiçã ção RC [4,996 ; ) 8,75 7

18 OPÇÃ ÇÃO: A sigificâcia do resultado obtido (8,75), isto é, o valor-p, para este caso, vale: P(χ 5 > 8,75) DIST.QUI(8,75; 5),53% Como a sigificâcia do resultado obtido (,59%) é maior que a sigificâcia do teste (5%) ão é possível rejeitar a hipótese ula. Depedetes Idepedetes Teste t para amostras emparelhadas Variâcias Cohecidas Variâcias Descohecidas Teste z Supostas iguais Supostas diferetes Difereça etre duas médias (µ - µ ) Difereça etre duas proporções (π - π ) Igualdade etre duas variâcias σ σ ( Y ) 8

19 Neste caso a variável vel teste é: Z Y σ µ Y Y Y σ σy m Z> z c Z< z c Z >z c Ode z c é tal que: Φ(z c ) α Φ(z c ) α Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) α/ Uma grade empresa quer comprar peças de dois forecedores diferetes. O forecedor A alega que a durabilidade é de 000 horas com desvio de 0 horas, equato que o forecedor B diz que a duração média é de 050 horas com desvio padrão de 40 horas. 9

20 Para testar se a durabilidade de B é realmete maior, duas amostras de tamaho m 64, de cada um dos forecedores, foram obtidas. A duração média da amostra A foi de 995 horas e a B foi de 05. Qual a coclusão a 5% de sigificâcia? Hipóteses: H 0 : µ µ H 0 : µ < µ Dados: m 64 σ 0; σ e Y 05 α 5% Trata-se de um teste uilateral à esquerda com σ e σ cohecidos. A variável vel teste é: Y µ Y Y Z σ Y σ σy Etão: m Y α 5% Z,30, 30 σ σy 0 40 RC ( ;,645;] Região o de Não N o Rejeiçã ção m A sigificâcia cia do resultado obtido (- (,30), isto é,, o valor-p é: p P(Z < -,30) Φ(-,30) DIST.NORMP(-,30) 9,68%. Neste caso a variável vel teste é: Como a sigificâcia cia do resultado (9,68% 9,68%) é maior que a sigificâcia cia do teste (5% 5%) ) ão é possível rejeitar a hipótese ula. t υ Y σˆ µ Y Y s Y m 0

21 Ode s é dado por: s ( ) s ( m ) s m Y e v é dado por: m - Um relatório da defesa do cosumidor mostrou que um teste com oito peus da marca A apresetaram uma vida média de km com um desvio padrão de 3500 km e que doze de uma marca cocorrete B, testados as mesmas codições, tiveram uma durabilidade média de 4400 km com variabilidade de 400 km. Supodo que as variâcias populacioais sejam as mesmas e admitido uma sigificâcia de 5%, verifique se é possível afirmar que as duas marcas diferem quato a durabilidade média. E se a sigificâcia fosse % qual seria a coclusão? Hipóteses: H 0 : µ µ H 0 : µ µ Dados: 8; m s A 3500; s B ; Y 4400 α 5% ; σ A σ B Trata-se de um teste t bilateral com σ e σ supostamete iguais. t m Ode: s A variável vel teste é: Y µ σˆ Y Y s. ( )SA (m )S m B Y m

22 s Etão: t 8 Y S. m, , , ν m 8 8 tν t8,9 α,5% α %,5 Região o de Não N o Rejeiçã ção RC ( ;,0] [,0; ) DECISÃO O e CONCLUSÃO: O: Como t -,9 RC ou -,9 > -,878, Aceito H 0, isto é,, a % de sigificâcia cia ão posso afirmar que a vida média m das duas marcas difere. Neste caso a variável vel teste é: t υ Y µ σˆ Y Y Y s sy m Ode v é dado por: υ S S Y S m S Y m m t v > t c t v < t c t v > t c

23 Ode t c é tal que: P(t v < t c ) α P(t v < t c ) α P(t v < t c ) α/ ou P(t v > t c ) α/ Uma empresa fabrica trasistores do tipo A e do tipo B. A marca A, mais cara, é supostamete pelo meos 60 horas mais durável do que a marca B. Um usuário quer saber se vale a pea pagar mais pela marca A e resolve testar se, de fato, ela é mais durável. Testa 0 ites de A ecotrado uma vida média de 000 horas com desvio de 60 horas, equato que 0 ites da marca B apresetam uma vida média de 90 horas com desvio de 40 horas. Qual a coclusão a 5% de sigificâcia? Hipóteses: H 0 : µ - µ 60 H 0 : µ - µ > 60 Dados: m 0 s A 60; s B ; Y 90 α 5% ; σ σ Trata-se de um teste t uilateral à direita com σ e σ supostamete desiguais. A B A variável vel teste é: Y µ Y Y t υ ˆ σ Y s sy Ode: m υ ( ) ( S S m ) S Y S m Y m 3

24 t υ E: Y s s Y m υ , O valor crítico t c é tal que: P(Τ 33 > t c ) α 0,05 5%. Etão t c T (0,95),69. Assim RC [,69; ) DECISÃO O e CONCLUSÃO: O: Como t,86 RC ou,86 >,69, Rejeito H 0, isto é,, a 5% de sigificâcia cia posso afirmar que a vida média m da marca é pelo meos 60 horas maior que a marca B. υ tν t Região o de Não N o Rejeiçã ção,86 0 α 5% RC [,69 ; ) H 0 : π π H : π π > π π < π π Neste caso a variável vel teste é: Z P P P ˆσ µ P P P P P P ( P) P( P m ) Z> z c Z< z c Z > z c 4

25 Ode z c é tal que: Φ(z c ) α Φ(z c ) α Φ(z c ) α/ ou Φ(z c ) - α/ A reitoria de uma grade uiversidade etrevistou 600 aluos, 350 mulheres e 50 homes, para colher a opiião sobre a troca do sistema de avaliação da uiversidade. Da amostra 40 mulheres e 5 homes estavam a favor. Teste a 5% se eiste difereça sigificativa de opiião etre homes e mulheres. Hipóteses: H 0 : π π H 0 : π π Dados: 350; m 50 p 40/350 40% p 5/50 46% α 5% ; Trata-se de um teste bilateral para a proporção. A variável vel teste é: P P Z P ( P ) P ( P ) m 0,40 0,46 0 0,40( 0,40 ) 0,46( 0,46 ) ,06, 0,078 O valor crítico z c é tal que: P( Ζ > z c ) α 0,05 5%. Etão z c Φ (0,05) -,96. Assim RC (- ( ; -,96],96] [ [,96; ) DECISÃO O e CONCLUSÃO: O: Como z -, RC ou -, < -,96, Rejeito H 0, isto é,, a 5% de sigificâcia cia posso afirmar que as opiiões diferem etre homes e mulheres. 5

26 , α,5% α,5 % Região o de Não N o Rejeiçã ção RC ( ;,96] [,96; ) H 0 : σ σ σ σ H : > σ σ < σ σ Neste caso a variável vel teste é: F, m S S Y F -,m- > f F f -,m- < F > f ou F f c c -,m- c -,m- < c Ode F -;m é tal que: ;m- P ( F, m - > F c ) α P ( F, m - < F P( F, m- c ) α > Fc ) α/ ou P( F, m- < F ) α/ c 6

27 O desvio padrão de uma dimesão particular de um compoete de metal é satisfatório para a motagem do compoete. Um ovo forecedor está sedo cosiderado e ele será preferível se o desvio padrão é meor do que o do atual forecedor. Uma amostra de 00 ites de cada forecedor é obtido. Forecedor atual: s 0,0058 Novo forecedor: s 0,004 A empresa deve trocar de forecedor se for cosiderado uma sigificâcia de 5%? Hipóteses: H 0 : σ σ H 0 : σ > σ Dados: m 00 s 0,0058 s 0,004 α 5% Trata-se de um teste uilateral à direita para a igualdade de variâcias. F A variável vel teste é: S S Etão: f Que apreseta uma distribuição F com g.l. o umerador e m g.l. o deomiador. s s 0,0058,4 0,004 O valor crítico f c é tal que: P( F > f c ) α 0,05 5%. Etão f c F (0,05),39. Assim RC [,39; ) F -;m- F99; 99 DECISÃO O e CONCLUSÃO: O: Como f,4 RC RC ou,4 <,39, Rejeito H 0, isto é,, a 5% de sigificâcia cia posso afirmar que a variâcia do forecedor atual é maior do que a do ovo forecedor. Região o de Não N o Rejeiçã ção,4 α 5% RC [,39 ; ) 7

28 H 0 : µ D H : µ D > µ D < µ D Neste caso a variável vel teste é: t υ D µ ˆσ D D D S D Ode : d d s i ( d i d ) i d d e v é dado por: m - t - > t c t - < t c t - > t c Ode t c é tal que: P(t - < t c ) α P(t - < t c ) α P(t - < t c ) α/ ou P(t - > t c ) α/ (teste bilateral/bicaudal) 8

29 Um laboratório possui dois equipametos de precisão. O diretor suspeita que eiste uma pequea difereça de calibração etre os dois (ele ão sabe em qual deles) de modo que um tede a dar leituras um pouco maiores do que o outro. Ele propõe testar os dois aparelhos através da leitura de 0 medidas (tabela a próima lâmia) em cada um dos aparelhos. Faça o teste adequado a uma sigificâcia de 5%. Aparelho A,, 0,55 3,33,4 0,30,3 3,7,93,50 Aparelho B,5, 0,57 3,3,47 0,30,36 3,9,9,6 Hipóteses: H 0 : µ D 0 H : µ D 0 Dados: m 0 α 5% Uma vez que as amostras ão são idepedetes, trata-se do teste t para amostras emparelhadas. Ode: s A variável vel teste é: t D µ ˆσ ( d i d ) D D D S D d d i d d i 9

30 A,, 0,55 3,33,4 0,30,3 3,7,93,50 -- B,5, 0,57 3,3,44 0,30,36 3,9,90,6 -- d i 0,30 0,0 0,0-0,0 0,0 0,00 0,04 0,0-0,03 0, 0,56 d i 0,0900 0,000 0,0004 0,0004 0,0004 0,0000 0,006 0,0004 0,0009 0,0 0,6 s Tem-se: A variável vel teste é: t i d d d d 0,56 0 0,0560 D 0, , S D 0,097 0,097 0 i 0,6 0.0, ,097,84 O valor crítico z c é tal que: P( T > t c ) α 0,05 5%. Etão t c T (0,05),6. Assim RC [,6; ] tν t9 DECISÃO O e CONCLUSÃO: O: Como t,84 RC ou,84 <,6, Aceito H 0, isto é,, a 5% de sigificâcia cia ão se pode afirmar que as leituras são s o diferetes. Região o de Não N o Rejeiçã ção,84 RC α 5% [,6 ; ) 30

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