O teste de McNemar. A tabela 2x2. Depois - Antes

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. O teste de McNemar O teste de McNemar para a sigificâcia de mudaças é particularmete aplicável aos experimetos do tipo "ates e depois" em que cada sujeito é utilizado como seu próprio cotrole e a medida é efetuada em escala omial ou ordial. A tabela x Para testar a sigificâcia de qualquer mudaça observável, através deste método, é ecessário costruir uma tabela de freqüêcias x. Veja exemplo a seguir: Ates + - Depois - A C + B D

2 Note-se que aqueles casos que mostram mudaças etre a primeira e a seguda resposta aparecem as células A e D. Um sujeito é cotado a célula A se ele muda de + para - e é cotado a D se ele muda de - para +. Se ehuma mudaça é ocorre ele é cotado as células A (resposta + ates e depois) e C (resposta - ates e depois). Hipóteses Variável Teste A Como A + D represeta o úmero total de elemetos que acusaram alguma modificação, a expectativa, sob a hipótese de ulidade, é de que / (A + D) acuse modificações em um setido e / (A + D) o outro setido. χ k ( ) O -E i i E Simplificado vem: i i χ A+ D ( A- ) A + D ( A-D ) A + D A+ D ( D- A + D ) Correção de Cotiuidade A correção tora-se ecessária porque uma distribuição cotíua, o caso, o quiquadrado está sedo usada para aproximar uma distribuição discreta. Quado todas as freqüêcias esperadas são pequeas, esta aproximação pode ão ser boa. Correção de Cotiuidade A correção de cotiuidade (de Yates) é uma tetativa de remover esta fote de erro. A expressão acima icluido a correção de Yates fica: χ ( A-D - ) A + D

3 Uma pesquisa realizada etre doos de automóveis sobre a ecessidade do uso do cito de seguraça foi realizada ates e depois de um filme sobre acidetes, ode era efocado os beefícios do uso do cito. Dos 80 motoristas etrevistados 0 eram a favor do uso do cito ates e cotiuaram após, 0 eram cotra ates e ficaram a favor após, eram cotra ates e cotiuaram cotra após e eram a favor e ficaram cotra após. Teste, ao ível de %, a sigificâcia das mudaças. Hipóteses H 0 : A proporção de mudaças de A para B é igual a de B para A, isto é, P A P B / H : P A > P B Os dados A estatística stica teste Depois - + χ ( -0 - ) + 0,7 Ates + 0-0

4 Sigificâcia do Resultado Como pode ser visto o resultado ecotrado é sigificativo a % ou meos, portato as mudaças são sigificativas. Objetivos A prova de Wilcoxo de duas amostras emparelhadas é a equivalete ão paramétrica ao teste t para duas amostras depedetes. As hipóteses são as mesmas, embora às vezes elas possam ser colocadas em termos da mediaa e ão da média. Hipóteses H 0 : A difereça etre as médias (ou mediaas) populacioais é zero. H : A difereça etre as médias (ou mediadas) ão é zero. Objetivos A suposição básica por trás deste teste é que as distribuições populacioais são simétricas (médias e mediaas idêticas). Metodologia Iicialmete calcular d i difereça detro do par i. A seguir atribuir postos a cada d i, idepedetemete de sial. Ao meor d i, atribuir o posto ; ao próximo, etc. A cada posto atribuir o sial da difereça, isto é, idetificar quais postos decorrem de difereças egativas e quais de difereças positivas.

5 Metodologia Se as duas classificações são equivaletes, isto é se Ho é verdadeira, é de se esperar que algumas das maiores difereças sejam positivas e outras egativas. Desta forma, se forem somados os postos com sial mais e os postos com sial meos, deve-se esperar somas aproximadamete iguais. Metodologia Se houver difereça etre estas duas somas é sial de que as duas classificações (ou tratametos) ão se equivalem e devese etão rejeitar a hipótese ula. Empates Se as duas amostras foram extraídas da mesma população, etão se espera que as distribuições acumuladas das amostras estejam próximas. Se as distribuições estão distates isto sugere que as amostras proveham de populações distitas e um desvio grade pode levar a rejeição da hipótese de ulidade. Evetualmete os escores de dois pares serão iguais. Neste caso eles devem ser excluídos da aálise e o valor de deve ser reduzido a mesma quatidade de valores em que a difereça for ula. Pode ocorrer, aida, um outro tipo de empate. Duas ou mais difereças podem ter o mesmo valor absoluto. Neste caso, atribuí-se o mesmo posto aos empates. Este posto é a média dos postos que teriam sido atribuídos se as difereças fossem diferetes. Por exemplo, se três pares acusam as difereças: -, - e +, a cada par será atribuído o posto, que é a média etre, e. O próximo valor, pela ordem, receberia o valor, porque já teriam sido utilizados os postos, e.

6 Pequeas Amostras ( < ) Se T a meor soma dos postos de mesmo sial (egativos ou positivos) etão T será sigificativo se ão superar o valor dado a tabela, sob determiado ível de sigificâcia. Grades Amostras ( ) Neste caso T (meor soma) é aproximadamete ormal com os seguites parâmetros: µ T ( + ) σ T ( + )( + ) Um grupo de motoristas foi submetido a um teste para verificar o efeito do álcool a percepção de obstáculos. O úmero de coes derrubados ates e depois da igestão de uma dose de destilado foi aotado. M A 0 D M A 0 D Teste a hipótese de que o álcool ão tem ifluêcia sobre a percepção dos motoristas.

7 Resultados - SPSS Ates Depois Negative Raks Positive Raks Ties Total N 0 Mea Rak,00 9,7 Sum of Raks 0,00,00 Z Asymp. Sig ( tailed) Exact Sig. (-tailed) Exact Sig. (-tailed) Poit Probability a Based o egative raks. b Wilcoxo Siged Raks Test Ates Depois -, (a) 0,0 0,00 0,00 0,00 O teste qui-quadrado quadrado O teste χ² de k amostras idepedetes pode ser utilizado para verificar a depedêcia ou idepedêcia etre as variáveis sedo cosideradas. O teste é uma extesão direta do quiquadrado para duas amostras idepedetes. Em geral, o teste é o mesmo, tato para duas, como para k amostras idepedetes. Hipóteses e Cálculo H 0 : As variáveis são idepedetes H : As variáveis são depedetes A variável vel teste é: k l O -E χ i j υ E ( ) 7

8 Expressão alterativa A variável vel teste é: χ υ k E ( ) O -E i E O - k i l j l j Ode: r úmero de lihas da tabela; L úmero de coluas da tabela; O freqüêcia observada a iterseção da liha i com a colua j. E úmero de casos esperados a iterseção da liha i com a colua j. Ode: χ υ E é a estatística teste; k i l O tamaho da amostra; j p são as freqüêcias esperadas de cada célula da tabela. p é a probabilidade de ocorrer uma observação a célula. Se as variáveis são supostamete idepedetes (H 0 é Verdadeira), etão p p i. p.j, ode p i. é a probabilidade margial correspodete à liha i e p.j é a probabilidade margial correspodete a colua j. Como ão se cohecem as probabilidades margiais, elas devem ser estimadas através das correspodetes freqüêcias relativas. Etão: E p p i.. p. j. f i.. f. j f i. f. j f i. l f j e f. j k i f 8

9 Objetivos O teste de Kruskal-Wallis é utilizado para decidir se k amostras idepedetes podem ter sido extraídas de populações diferetes. Os valores amostrais diferem etre si e deve-se decidir se essas difereças amostrais sigificam difereças efetivas etre as populações, ou se represetam apeas variações casuais. O teste supõe que a variável em estudo teha distribuição cotíua e exige mesuração o míimo ao ível ordial. Metodologia Cada um dos valores é substituído por um posto. Isto é, os escores de todas as k amostras combiadas são dispostos em uma úica série de postos. Ao meor escore é atribuído o posto, ao seguite o posto e assim por diate até o maior posto que é úmero total de observações. Feito isso, determia-se a soma dos postos em cada amostra (colua). A prova etão testa se estas somas são tão diferetes etre si, de modo que ão seja provável que teham sido todas retiradas de uma mesma população. 9

10 A estatística teste Se as k amostras forem de uma mesma população (H 0 é V) etão a estatística de Kruskal-Wallis tem distribuição cohecida (Tabela O) se as amostras forem pequeas ( < ) ou Qui-Quadrado com gl k -, desde que os tamahos das k amostras ão sejam muito pequeos ( ou mais elemetos). A estatística stica amostral O grau de liberdade é: ν k-, ode k úmero de amostras e H k R - ( + ) ( + ) j j T - - j Ode: k úmero de amostras; j úmero de elemetos a amostra j ; R j soma dos postos a amostra (colua) j ; j úmero total de elemetos em todas as amostras combiadas; T t t, ode t é o úmero de empates. Verificar a ifluêcia do Fator Idade sobre a variável tempo, em dias, para coseguir um emprego, cosiderado as seguites amostras: Acima de 0 aos Etre e Abaixo de 8 0

11 Tem-se (total de iformações). Etão o maior posto será. Postos () ΣR 0 Postos () ΣR 90 Postos () 7 ΣR A variável vel teste será: H ( + ) k R -( + ) j 0 90 ( + ( + ) ,0-,0 j j + )-(+ ) O grau de liberdade é: ν k- - O χ tabelado é: Coclusão A % de sigificâcia é possível afirmar que o fator idade tem ifluêcia sobre o tempo para ecotrar trabalho.

12 Resultados SPSS Kruskal-Wallis Test Cotrole 0 Total 7 8 Mea Rak,7 0,8,9 Chi-Square df Assyp. Sig. Tempo 7,89 0,00 Objetivos Quado os dados de k amostras estão em correspodêcia, isto é, o úmero de casos é o mesmo para cada uma delas, pode-se utilizar a aálise de variâcia por postos de Friedma A dupla aálise de variâcia ou χ de Friedma é uma alterativa ão paramétrica para testar difereças etre duas ou mais amostras depedetes. Cálculo A estatística teste é dada por: Ode: χ k υ R i-( k + ) k ( k + ) i k úmero de tratametos; tamaho da amostra; ΣR i soma dos postos de cada tratameto; v k grau de liberdade.

13 Ode: k úmero de tratametos; tamaho da amostra; ΣR i soma dos postos de cada tratameto; v k grau de liberdade. Oito geretes foram covidados de uma empresa de Iteret para avaliar o ovo sítio da istituição ode trabalham. Eles foram covidados a dar uma ota de 0 a para cada uma de quatro características de iteresse do local. Teste se as características diferem sigificativamete a %. Geretes 7 8 C 0 C C C 0 0 Friedma Test C C C C Mea Rak,,9,88,9 Chi-Square df Asymp. Sig. 8,8 0,0

14 Coclusão Como a sigificâcia do resultado é 0,0%, acima da sigificâcia do teste, ão é possível rejeitar a hipótese de que existe difereça etre as diversas características.