A finalidade de uma equação de regressão seria estimar valores de uma variável, com base em valores conhecidos da outra.

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1 Jaete Pereira Amador Itrodução A aálise de regressão tem por objetivo descrever através de um modelo matemático, a relação existete etre duas variáveis, a partir de observações dessas viráveis. A aálise de regressão pode ser aplicada em diferetes áreas do cohecimeto, algus exemplo, seguem-se: Na ecoomia tetado explicar as variações a procura de automóveis em termos de desemprego. Na agricultura estudado dosagem de fertilizates sobre a produção de grãos. Na egeharia descrevedo modelos, para quatificar a ifluecia da velocidade sobre a distâcia de freagem, etre outras O modelo mais simples de aálise de regressão é o modelo liear simples, que costitui-se em uma equação matemática liear (liha reta), que descreve o relacioameto etre as duas varáveis. Existem outros modelos mais complexos que evolvem mais de duas variáveis, como os de regressão múltipla. A fialidade de uma equação de regressão seria estimar valores de uma variável, com base em valores cohecidos da outra. Pressuposições para aálise de regressão O modelo probabilístico, empregado a aálise de regressão é composto por três partes, uma que diz respeito ás variáveis, outra aos parâmetros, e outra ao erro de estimativa. Dessa forma o modelo pode ser represetado por Y = x i + i, em que o Y, os valores da variável depedete são fução de um cojuto de parâmetros, de um cojuto de variáveis idepedetes X, e de erros aleatório i, (IEMMA, 985). Para aplicação do modelo de regressão e estimação dos parâmetros pelo método dos míimos quadrados é ecessário observar certas pressuposições, (FONECA et al, 99): a relação etre X e Y é liear (os acréscimos/decréscimo em X produzem acréscimos/decréscimo proporcioais em Y e a razão de crescimeto é costate); os valores de X são fixados arbitrariamete (X ão é uma variável aleatória); Y é uma variável aleatória que depede etre outras coisas dos valores de X; i é o erro aleatório, portato uma variável aleatória com distribuição ormal, com média zero e variâcia. [ i N (, )]. i represeta a variação de Y que ão é explicada pela variável idepedete X; os erros são cosiderados idepedetes 3 Equação liear eja Y uma variável que os iteressa estudar (Variável depedete) e cujo comportameto futuro desejamos prever. E seja X a variável e explicativa ou idepedete. A relação etre a variável depedete Y e a variável idepedete X pode ser descrita através da equação da regressão liear.

2 Jaete Pereira Amador Y A. X é a equação de regressão que descreve o comportameto da variável depedete em fução da variável idepedete em uma população. Para estimar a equação com base a amostra utiliza-se: ˆ sedo a e b parâmetros da fução. y a bx Assim b é coeficiete agular da reta (a variação de ŷ por uidade variação em x) e a é o itercepto- ŷ em x= FIGURA : Relação etre o gráfico e a equação de regressão Uma maeira bastate prática para o auxílio a determiação da fução etre variáveis depedete e idepedete é a costrução do gráfico diagrama de dispersão. O diagrama de disperssão permite verificar o tipo de relacioameto das variáveis, pois em sempre este é liear. No caso do ajustameto de uma liha reta, o diagrama de dispersão apresetará uma uvem que ira os sugerir o tipo de relação etre x e y. Algus tipos de relacioametos podem ser verificados a Figura. 4 Ajustameto da Reta FIGURA : Diagramas de dispersão Estabelecido o modelo yˆ a bx e, precisamos dos valores de a e b de forma que a reta passe tão próximo possível dos potos assialados o diagrama de dispersão. O

3 Jaete Pereira Amador 3 método mais usado para ajustar uma liha a um cojuto de potos é cohecido como técica dos Míimos Quadrados. A reta resultate tem duas características importates. A soma dos desvios verticais dos potos e relação a reta é zero A soma dos quadrados destes desvios é míima, isto é, ehuma outra reta daria meor soma de quadrados de tais desvios. Assim o valor que é miimizado é dado por: y i ŷ ode y i um valor observado de y ŷ o valor estimado de y i Os valores de a e b para reta desvios é dado pela aplicação das equações ormais yˆ a b que miimizam a soma dos quadrados dos x y a xy a b x x b x resolução destas equações pode ser feita através dos métodos de elimiação, matrizes (etre os vários métodos existetes). Como alterativa mais fácil para estimação dos parâmetros a e b utilizamos as seguites formulas (sedo estas alterativas para resolução das equações ormais). x. y xy b ode = tamaho da amostra x x a y bx x x = média dos x i y y = media dos y i Ex: O custo de produção, de um lote de uma certa peça, depede do úmero de peças produzidas, ou seja, do tamaho do lote. Em uma amostra de 6 lotes, observou-se os seguites resultados: Tamaho Custos (R$) A Diagrama de dispersão Custo Diagrama de dispersão do custo de produção (R$) relacioado ao tamaho do lote de uma peça Tamaho do lote

4 Jaete Pereira Amador 4 Ajuste do modelo do tamaho do lote em relação ao custo yˆ a bx (modelo a ser ajustado) x. y xy b x x Tamaho x Custos (R$) y xy x² y² x. y xy b = x x a y bx y y = x x = Modelo ajustado do custo sobre a idade Iterpretação No quadro verifica-se o custo utilizado o modelo ajustado. Tamaho x Custos (R$) y Custo ajustado utilizado o modelo: y ˆ 8 5,743. x 5 65 ŷ 5 = , ,75 ŷ = ,743. 9,943 5 ŷ 5 = , ,45 6 ŷ = , , ŷ , , ŷ 3 = , ,9 A represetação gráfica do modelo ajustado é dada por

5 Jaete Pereira Amador 5 Custo de produção Reta de regressão do custo de produção (R$) relacioado ao tamaho do lote de uma peça, utilizado o modelo ajustado y ˆ 8 5,743.x y ˆ 8 5,743.x Tamaho do lote 5 Erro padrão da estimativa A questão que surge a aálise de regressão é o quato são precisas as estimativas da regressão. A determiate pricipal da precisão é a quatidade de dispersão a população, ou seja, quato maior a dispersão meor a precisão das estimativas. A quatidade de dispersão a população pode ser estimada com base a dispersão amostral em relação a reta de regressão. O erro padrão da estimativa e ou desvio padrão quatifica a dispersão das observações amostrais em relação a reta de regressão. Quato meor a dispersão em relação mais precisas serão as estimativas. Essa dispersão pode ser demostrada utilizado yi yc a equação: e ode: yi cada valor de y; yc valor deduzido da equação de regressão; = úmero de observações. O cálculo do erro padrão se baseia a hipótese de dispersão uiforme dos potos etoro da reta de regressão (homoscedasticidade). A equação acima para fis de cálculos é abreviada em: y a y b e xy O erro padrão ou desvio padrão para o custo de produção, de um lote de uma certa peça, correspode: e e e e [4775 ( 8485)] [(5, )] ,5 4 53, ,469 7,7 desvio padrão da distribuição dos potos em toro da reta regressão. e

6 Jaete Pereira Amador 6 6 Teste de sigificâcia do coeficiete agular ou coeficiete de regressão (b) Mesmo quado há pouco ou ehum relacioameto etre as variáveis uma população, é possível obter valores amostrais que façam as variáveis parecerem relacioadas. Isso ocorre devido a fatores aleatórios a amostragem produziram relacioameto ode ehum existe. edo assim tora-se importate testar o resultado do coeficiete agular. Desta forma defiimos se este é ulo ou diferete de zero (se existir regressão o coeficiete agular será diferete de zero). H : B As hipóteses testadas serão : H : B A sigificâcia estatística do coeficiete de regressão pode ser testada com o seu desvio padrão ou erro padrão ( b ) através do teste t (t-tudet). Isto é: b t b Pa o cálculo do desvio padrão do coeficiete agular usa-se a fórmula: e. x x b O coeficiete de regressão será sigificativo, ou seja B, quado [ t ] calculado for maior que t para graus de liberdade. O teste t para o coeficiete agular da regressão será aplicado, utilizado o exemplo relacioado ao custo de produção, de um lote de uma certa peça. O ível de sigificâcia utilizado será % H : B As hipóteses testadas serão: H : B e. = x x b 7, ,7. = 7,7., 86 =, ,5 O desvio padrão do coeficiete agular correspode a,946 Aplicado o teste t b 5,743 t = t = 6,64 b,946 t calculado (t cal. ) correspode a 6,64. = 7, , 5

7 Jaete Pereira Amador 7 H : B Utilizado a tabela da distribuição t testa-se as hipóteses,, comparado o valor H : B de t cal. com o valor de t tab. usado ível de sigificâcia de % e gl = 4. A Figura 6 apreseta as áreas de aceitação e rejeição das hipóteses. FIGURA 6 Represetação da distribuição t-tudet com as respectivas áreas de aceitação e rejeição de H t tab. = 4,64 < t cal. = 6,64, assim rejeita-se H. Desta forma, podemos afirmar com 99% de cofiaça que o coeficiete agular da reta é diferete de zero. 7 Coeficiete de Determiação (R) O valor de R pode variar de a ( a %). Quado a variação ão explicada costitui uma grade parte da variação total (isto é, a variação explicada é uma pequea parte da variação total), R será pequeo. Iversamete quado a variação explicada correspoder a uma grade parte da variação total R estará mais próximo de. O Coeficiete de determiação é o valor da variação de y que é explicada pela reta de var iaçãoexp licada regressão R var iaçãototal x. y xy Ode: Variação explicada = x x Variação Total= ( y y )

8 Jaete Pereira Amador 8 Exercício. upoha que uma cadeia de supermercados teha fiaciado um estudo dos gastos com mercadoria para famílias de quatro pessoas. A ivestigação se limitou a famílias com reda líquida aual etre R$ 8, e R$.,. Obteve-se a equação: yˆ, x, ode ŷ -despesa aual com mercadorias x reda líquida aual Estime as despesas, para uma família de, quatro pessoas, com reda aual de R$ 5., Essa equação estaria sedo utilizada corretamete ós seguites casos: Estimação das despesas para famílias com cico pessoas. Estimação das despesas para famílias com reda de R$., a R$ 35., Grafe a equação yˆ, x. Use os valores dados abaixo para estimar as equações de regressão x ; y 3; xy 6; x 36; x 7,; y 37; xy 3; x 6; 36 x 7; y 5; xy 4; x ; 3

9 Jaete Pereira Amador 9 Itrodução Na aálise de regressão foi visto a determiação de uma fução liear que descrevia a relação existete etre as variáveis. Agora o iteresse é medir o grau de associação etre duas variáveis. Por exemplo a associação etre: o peso e altura de um grupo de idividuo, etre a variação das exportações em fução da cotação do dólar, etre os fumates e as doeças do coração etc. A força de uma relação etre duas variáveis é medida pelo coeficiete de correlação de Pearso ( ), cujos valores abragem de para correlação egativa perfeita até + para correlação positiva perfeita. O sial do, quado associado a reta de regressão, é o mesmo do coeficiete agular da reta. O estimador do coeficiete de correlação de Pearso em uma amostra é o r. Este é calculado pela equação: r xy x. x ( y) x y y O coeficiete de correlação - r sempre deverá estar etre - e +. O valor de r pode ser multiplicado por para dar o resultado em porcetagem. A Figura apreseta algus exemplos de associação etre as variáveis x e y com seus respectivos coeficietes de correlação. FIGURA Modelos de associação etre variáveis

10 Jaete Pereira Amador Para o cálculo do coeficiete de correlação será usado o mesmo exemplo trabalhado a aálise de regressão, sedo este: Ex: O custo de produção, de um lote de uma certa peça, depede do úmero de peças produzidas, ou seja, do tamaho do lote. Em uma amostra de 6 lotes, observou-se os seguites resultados Tamaho x Custos (R$) y xy x² y² x. y xy r = x ( y) x y Iterpretação: Teste de sigificâcia do coeficiete de correlação A sigificâcia estatística do coeficiete de correlação da população através do teste t (t-tudet), sedo estimado por r. As hipóteses testadas serão : H : H : Quado, as duas variáveis são estatisticamete idepedete, ou seja, ão existe correlação etre x e y. Quado implica em rejeitar a hipótese ula, ou seja, x e y apreseta-se correlacioada. edo r. a estimativa do grau desta associação. A equação t r r é utilizada para testar a sigificâcia r. O coeficiete de correlação será sigificativo, ou seja, quado [ t ] calculado for maior que t para graus de liberdade. O teste t para o coeficiete de correlação será aplicado, utilizado o exemplo relacioado ao custo de produção, de um lote de uma certa peça. O ível de sigificâcia utilizado será % As hipóteses testadas serão : H : H :

11 Jaete Pereira Amador t r r = = Exercício. Os dados a seguir são referete ao lucro e aos gastos com publicidade, de uma loja de eletrôicos, em mil reais. Gastos x Lucros y a) Aálise estes dados através de regressão e correlação b) O gerete de propagada da loja afirma que um ivestimeto de. reais em um determiado mês o lucros estimado seria de 7. reais. O que você diria desta afirmação? Justifique sua resposta. c) Existe correlação etre os lucros e os gastos.