MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

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1 MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amada Liz Pacífico Mafrim Perticarrari

2 O PROBLEMA DA ÁREA

3 O PROBLEMA DA ÁREA Ecotre a área da região que está sob a curva y = f x de a até b. S = x, y a x b, 0 y f x Isso sigifica que S, ilustrada a figura, está limitada pelo gráfico de uma fução cotíua f [ode f x retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x. 0], pelas

4 O PROBLEMA DA ÁREA Para um retâgulo, a área é defiida como o produto do comprimeto e da largura. A área de um triâgulo é a metade da base vezes a altura. A área de um polígoo pode ser ecotrada dividido-o em triâgulos e a seguir somado-se as áreas dos triâgulos. Não é tão fácil, o etato, ecotrar a área de uma região com lados curvos.

5 O PROBLEMA DA ÁREA EXEMPLO. Use retâgulos para estimar a área sob a parábola y = x de 0 até. Observamos primeiro que a área de S deve estar em algum lugar etre 0 e, pois está cotida em um quadrado com lados de comprimeto. Supoha que S seja dividida em quatro faixas S, S, S 3 e S 4, traçado as retas verticais x = 4, x = e x = 3, como a figura ao lado. 4 Podemos aproximar cada faixa por um retâgulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa. Assim, as alturas desses retâgulos são os valores da fução f x = x as extremidades direitas dos subitervalos 0, 4, 4,,, 3 4 e 3 4,.

6 O PROBLEMA DA ÁREA Cada retâgulo tem largura de 4 e altura de 4,, 3 e. Se R 4 for a soma das áreas dos retâgulos aproximates, teremos: = 5 3 = 0,46875 R 4 = Na figura observa-se que a área A de S é meor que R 4, logo: A < 0, Em vez de usarmos os retâgulos acima, poderíamos usar os retâgulos meores, cujas alturas seguem os valores de f as extremidades esquerdas dos subitervalos. Note que o retâgulo mais à esquerda desapareceu, pois sua altura é 0. A soma das áreas desses retâgulos aproximates é: = 7 3 = 0,875 L 4 = Assim, a área de S é maior que L 4 e, etão, temos estimativas iferior e superior para A: 0, 875 < A < 0, 46875

7 O PROBLEMA DA ÁREA Podemos repetir esse procedimeto com um úmero maior de faixas. A Figura abaixo mostra o que acotece quado dividimos a região S em oito faixas com a mesma largura. Soma das áreas meores: L 8 = 0, Soma das áreas maiores: R 8 = 0, Assim, a área de S é maior que L 8 e meor que R 8, etão obtemos estimativas, iferior e superior, melhores para A: 0, < A < 0,

8 O PROBLEMA DA ÁREA Podemos repetir esse procedimeto com um úmero maior de faixas. A tabela a lateral mostra os resultados de cálculos similares (com um computador) usado retâgulos cujas alturas são ecotradas com as extremidades esquerdas L ou com as extremidades direitas R. Em particular, vemos que usado: 50 faixas a área está etre 0,334 e 0, faixas coseguimos estreitar a desigualdade aida mais, e a área está etre 0, e 0, Uma boa estimativa é obtida fazedo-se a média aritmética desses úmeros: A 0,

9 O PROBLEMA DA ÁREA GENERALIZANDO: R é a soma das áreas dos retâgulos com extremidades direitas. cada retâgulo tem uma largura. as alturas são os valores da fução f x = x os potos,, 3,,. Logo: R = R = R = R = R = + Etão, lim R + + = lim 6 = lim soma dos quadrados dos primeiros iteiros positivos = lim = 6 = 3 + =

10 O PROBLEMA DA ÁREA GENERALIZANDO: Pode ser mostrado que as somas aproximates iferiores também tedem a 3, isto é, lim L = 3

11 O PROBLEMA DA ÁREA DEFINIÇÃO. A área A da região S que está sob o gráfico de uma fução cotíua f é o limite da soma das áreas dos retâgulos aproximates: ou, aida, A = lim R = A = lim f x x + f x x + + f x x = lim A = lim L = A = lim f x 0 x + f x x + + f x x = lim i= i= f x i x f x i x

12 O PROBLEMA DA DISTÂNCIA

13 O PROBLEMA DA DISTÂNCIA Ecotre a distâcia percorrida por um objeto durate um certo período de tempo, sedo que a velocidade do objeto é cohecida em todos os istates. De certa forma esse é o problema iverso do problema da velocidade. Se a velocidade permaece costate, etão o problema de distâcia é fácil de resolver por meio da fórmula distâcia = velocidade tempo Mas se a velocidade variar, ão é tão fácil determiar a distâcia percorrida.

14 O PROBLEMA DA DISTÂNCIA EXEMPLO. Supoha que desejamos estimar a distâcia percorrida por um carro durate um itervalo de tempo de 30 segudos. A cada 5 segudos registramos a leitura do velocímetro a seguite tabela: Para termos o tempo e a velocidade em uidades cosistetes, vamos coverter a velocidade para metros por segudo ( km/h = m/s):

15 velocidade (m/s) velocidade (m/s) O PROBLEMA DA DISTÂNCIA 6 4, 3,9,8 4 0,6 9,4,5 0 7, tempo (s) Durate os cico primeiros segudos a velocidade ão varia muito, logo, podemos estimar a distâcia percorrida durate esse tempo supodo que a velocidade seja costate. 6 4, 3,9,8 4 0,6 9,4,5 0 7, tempo (s) Se tomarmos a velocidade durate aquele itervalo de tempo como a velocidade iicial (7,5 m/s), etão obteremos aproximadamete a distâcia percorrida durate os cico primeiros segudos: 7,5 m/s 5 s = 37,5 m

16 velocidade (m/s) velocidade (m/s) O PROBLEMA DA DISTÂNCIA Aalogamete, durate o segudo itervalo de tempo a velocidade é aproximadamete costate, e vamos cosiderá-la quado t = 5s. Assim, ossa estimativa para a distâcia percorrida de t = 5s até t = 0s é: 9,4 m/s 5 s = 47,0 m 6 4, 3,9,8 4 0,6 9,4,5 0 7, tempo (s) 6 4, 3,9,8 4,5 0,6 9,4 0 7, tempo (s) Adicioado estimativas similares para os outros itervalos de tempo, obtemos uma estimativa para a distâcia total percorrida: 7, , ,6 5 +, , 5 + 3,9 5 = 34 m

17 velocidade (m/s) O PROBLEMA DA DISTÂNCIA Podemos, da mesma forma, usar a velocidade o fim de cada itervalo de tempo em vez de o começo como a velocidade costate. 6 4,8 4, 3,9,5 0 7, ,4 0, tempo (s) Etão, ossa estimativa se tora: 9, ,6 5 +, , 5 + 3,9 5 +,5 5 = 367 m

18 O PROBLEMA DA DISTÂNCIA Os cálculos ateriores é similar às somas usadas ateriormete para estimar as áreas. A similaridade tem explicação quado esboçamos um gráfico da fução velocidade do carro e traçamos os retâgulos cujas alturas são as velocidades iiciais para cada itervalo de tempo. A área do primeiro retâgulo é 7,5 5 = 37,5, que é também a ossa estimativa para a distâcia percorrida os primeiros cico segudos. De fato, a área de cada retâgulo pode ser iterpretada como uma distâcia, pois a altura represeta a velocidade, a largura e o tempo. A soma das áreas dos retâgulos a figura é L 6 = 34 que é ossa estimativa iicial para a distâcia total percorrida.

19 O PROBLEMA DA DISTÂNCIA Em geral, supoha que o objeto se mova com velocidade v = f t, em que a t b e f t 0 (logo, o objeto move-se sempre o setido positivo). Vamos registrar as velocidades os istates a = t 0, t, t,, t = b, de forma que a velocidade seja aproximadamete costate em cada subitervalo. Se esses tempos forem igualmete espaçados, etão etre duas leituras cosecutivas temos o período de tempo t = b a /. Durate o primeiro itervalo de tempo a velocidade é aproximadamete f t 0 e, portato, a distâcia percorrida é de aproximadamete f t 0 t. Aalogamete, a distâcia percorrida durate o segudo itervalo de tempo é de cerca de f t t e a distâcia total percorrida durate o itervalo de tempo a, b é de aproximadamete: f t 0 t + f t t + + f t t = i= f t i t

20 O PROBLEMA DA DISTÂNCIA Se usarmos as velocidades as extremidades direitas em vez de as extremidades esquerdas, ossa estimativa para a distâcia total ficará: f t t + f t t + + f t t = i= f t i t Quato mais frequetemete medirmos a velocidade, mais precisa será ossa estimativa, etão é plausível que a distâcia exata d percorrida é o limite de tais expressões: d = lim i= f t i t = lim i= f t i t Como a equação da distâcia tem a mesma forma que ossas expressões para a área, assim a distâcia percorrida é igual à área sob o gráfico da fução velocidade.

21 A INTEGRAL

22 A INTEGRAL DEFINIÇÃO. Se f é uma fução cotíua defiida em a x b, dividimos o itervalo a, b em subitervalos de comprimetos iguais x = b a /. Sejam (a =)x 0, x, x,, x (= b) as extremidades desses subitervalos, e sejam x, x,, x potos amostrais arbitrários esses subitervalos, de forma que x i defiida de f de a a b é: esteja o i-ésimo subitervalo [x i, x i ]. Etão a itegral b f(x) a dx = lim f x i x i= desde que o limite exista e dê o mesmo valor para todas as possíveis escolhas de potos amostrais. Se ele existir, dizemos que f é itegrável em a, b.

23 A INTEGRAL OBSERVAÇÃO. O símbolo deomiado sial de itegral. foi itroduzido por Leibiz e é Ele é um S alogado e foi assim escolhido porque uma itegral é um limite de somas. b Na otação f(x) a dx: f(x) é chamado itegrado; a e b são ditos limites de itegração, sedo a o limite iferior e b o limite superior. dx idica que a variável depedete é x. O procedimeto de calcular a itegral é chamado itegração.

24 A INTEGRAL OBSERVAÇÃO. A itegral defiida b a f(x) dx é um úmero; ela ão depede de x. Podemos usar qualquer letra para substituir sem alterar o valor da itegral: b f(x) a dx = b f(t) a dt = b f(r) a dr

25 A INTEGRAL OBSERVAÇÃO 3. A soma i= f(x i ) x é chamada soma de Riema, em homeagem ao matemático Berhard Riema (86-866). Assim, a defiição de itegral defiida de uma fução itegrável pode ser aproximada com qualquer grau de precisão desejado por uma soma de Riema. Sabemos que se f for positiva, etão a soma de Riema pode ser iterpretada como uma soma de áreas de retâgulos aproximates. A itegral defiida pode ser iterpretada como a área sob a curva de a até b.

26 A INTEGRAL Se f assumir valores positivos e egativos, etão a soma de Riema é a soma das áreas dos retâgulos que estão acima do eixo x e do oposto das áreas dos retâgulos que estão abaixo do eixo x (as áreas dos retâgulos azuis meos as áreas dos retâgulos amarelos). Quado tomamos o limite dessas somas de Riema, obtemos a situação ao lado. Uma itegral defiida pode ser iterpretada como área resultate, isto é, a b difereça das áreas: f x dx = A A a ode A é a área da região acima do eixo x e abaixo do gráfico de f x, e A é a área da região abaixo do eixo x e acima do gráfico de f.

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