Probabilidades e Estatística LEAN, LEGM, LEIC-A, LEIC-T, MA, MEMec

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1 Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEAN, LEGM, LEIC-A, LEIC-T, MA, MEMec Justifique coveietemete todas as respostas 2 o semestre 2016/ /06/2017 9h:00 2 o teste 10 valores 1. O tempo de vida (em miuto) de um microrgaismo de uma determiada espécie é descrito por uma variável aleatória X, com distribuição expoecial com valor esperado descohecido 1 λ. (a) Deduza o estimador de máxima verosimilhaça de λ com base uma amostra aleatória (X 1,..., X ) (3.0) proveiete da população X. V.a. de iteresse X tempo de vida de um microrgaismo F.d.p. de X { λe λ x, x 0 f X (x) 0, x < 0 Parâmetro descohecido λ, λ > 0 Amostra x (x 1,..., x ) amostra de dimesão proveiete da população X [com x i > 0, i 1,...,]. Obteção do estimador de MV de λ Passo 1 Fução de verosimilhaça L(λ x) f X (x) X i idep f Xi (x i ) X i X i1 f X (x i ) i1 i1 ( ) λe λ x i λ e λ i1 x i, λ > 0 Passo 2 Fução de log-verosimilhaça ll(λ x) l(λ) λ x i i1 Passo 3 Maximização A estimativa de MV de λ é doravate represetada por ˆλ e d ll(λ x) dλ 0 (poto de estacioaridade) λ ˆλ ˆλ : d 2 ll(λ x) λ < 0 (poto de máximo) dλ 2 ˆλ ˆλ i1 x i 0 ṋ λ 2 < 0 ˆλ i1 x i ( i1 x i ) 2 < 0 (proposição verdadeira já que i1 x i > 0). Págia 1 de 8

2 Passo 4 Estimador de MV de λ E MV (λ) i1 X i [ X 1 ] (b) Recolheu-se a amostra (x 1,..., x 8 ) (133,24,84,30,108,57,5,45), tedo-se observado que (2.0) 8 i1 x i 486. Calcule a estimativa de máxima verosimilhaça da probabilidade de o tempo de vida dum microrgaismo ser iferior a 90 miutos. Estimativa de MV de λ ˆλ i1 x i Outro parâmetro descohecido h(λ) P(X < 90) F X (90) [ 90 1 e 90λ f X (x)dx e λ x 90 0 ] Estimativa de MV de h(λ) Ivocado a propriedade de ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça, pode cocluir-se que a estimativa de MV de h(λ) é dada por h(λ) h( ˆλ) 90 ˆλ 1 e 1 e O egeheiro mecâico resposável pela produção de um dado tipo de peus admite que a sua duração (em milha percorrida) possui distribuição ormal. Foram testados 10 peus desse tipo, tedo-se obtido uma amostra com média e variâcia iguais a x e s , respetivamete. (a) Obteha itervalos de cofiaça a 90% para o valor esperado e para a mediaa da duração desse (2.5) tipo de peu. V.a. de iteresse X duração (em milhas percorridas) de ovo tipo de peu Situação X Normal(µ,σ 2 ) µ DESCONHECIDO σ 2 descohecido Obteção do IC para µ Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para µ Z X µ S/ t ( 1) [uma vez que é suposto determiar um IC para o valor esperado de uma população ormal, com variâcia descohecida.] Págia 2 de 8

3 Passo 2 Obteção dos quatis de probabilidade Ao ter-se em cosideração que (1 α) 100% 90%, far-se-á uso dos quatis { P(a α Z b α ) 1 α (a α,b α ) : P(Z < a α ) P(Z > b α ) α/2. a α F 1 t ( 1) (α/2) F 1 t (10 1) (0.05) F 1 b α F 1 t ( 1) (1 α/2) F 1 t (10 1) (0.95) t (9) (1 0.05) Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α P(a α Z b α ) 1 α [ P a α X ] µ S/ b α 1 α [ ] P X b α S µ X a α S 1 α Passo 4 Cocretização Atededo aos quatis acima, às cocretizações de X e S 2, x s , e ao facto de IC (1 α) 100% (µ) [ x Ft 1 ( 1) (1 α/2) s, x + Ft 1 ( 1) (1 α/2) s ], temos IC 90% (µ) [ ] , [ , ]. Cometário A f.d.p. de X é simétrica em relação a µ logo me me(x ) E(X ) µ. Por cosequêcia, IC 90% (me) IC 90% (µ). (b) Um egeheiro afirma que o valor esperado da duração desse tipo de peus é igual a milhas, (2.5) ao passo que uma cosultora defede que tal valor esperado é iferior a milhas. Cofrote a hipótese defedida pelo egeheiro com a defedida pela cosultora, tomado para o efeito uma decisão com base o valor-p. Hipóteses H 0 : µ µ H 1 : µ < µ 0 Estatística de teste T X µ 0 S H0 t ( 1) [pois pretedemos efectuar um teste sobre o valor esperado de uma população ormal, com variâcia descohecida.] Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Tratado-se de um teste uilateral iferior (H 1 : µ < µ 0 ), a região de rejeição de H 0 (para valores da estatística de teste) é do tipo W (,c). Decisão (com base o valor-p) O valor observado da estatística de teste é igual a Págia 3 de 8

4 t x µ 0 s Dado que a região de rejeição deste teste é um itervalo à esquerda, temos: valor p P(T < t H 0 ) Assim sedo, é suposto: F t( 1) (t) F t(9) ( ) 1 F t(9) ( ) calc ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α %, pelo que H 0 : µ µ é cosistete por exemplo ao.s. de 1%; rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > %, omeadamete aos.u.s. de 5% e 10%. [Decisão (com base em itervalo para o valor-p) Recorredo às tabelas de quatis da distribuição de t-studet podemos adiatar um itervalo para o valor-p: F 1 t (9) (0.975) < < F 1 t (9) (0.99) Cosequetemete: < valor p 1 F t(9) ( ) < ão devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 1%; devemos rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > 2.5%, omeadamete aos.u.s. de 5% e 10%.] Grupo II 10 valores 1. Para averiguar sobre a validade da hipótese de o úmero de furtos diários uma certa zoa ser descrito (3.5) por uma variável aleatória com distribuição de Poisso, recolheram-se dados relativos a 60 dias de observação: Número de furtos diários ou mais Frequêcia absoluta observada Sabedo que a estimativa de máxima verosimilhaça do valor esperado do úmero diário de furtos, calculada com base a amostra agrupada, é igual a 1.9, teste a hipótese referida, ao ível de sigificâcia de 5%. V.a. de iteresse e f.p. X úmero de furtos diários Hipóteses H 0 : X Poisso(λ), H 1 : X Poisso(λ) ode λ é um parâmetro DESCONHECIDO Nível de sigificâcia α 0 5% Págia 4 de 8

5 Estatística de Teste k (O i E i ) 2 T E i a H0 χ 2 (k β 1), ode: i1 k No. de classes 5 O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i ESTIMADOR da frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i β No. de parâmetros a estimar 1 [dado que em H 0 se cojectura uma família de distribuições e ão uma distribuição em particular.] Estimativas das frequêcias absolutas esperadas sob H 0 [Como λ é descohecido o mesmo acotece com p 0 e com a frequêcia absoluta esperada, sob i H 0, da classe i, p 0 i { e λ λ i 1 (i 1)!, i 1,2,3,4 1 (p p0 4 ), i 5.] Uma vez que a estimativa de MV do valor esperado (avaliada com base a amostra agrupada) é igual a ˆλ 1.9, podemos obter as seguites estimativas das frequêcias absolutas esperadas sob H 0 : e i ˆp 0 i ˆλ { e ˆλ i 1 ˆλ (i 1)!, i 1,2,3,4 1 ( ˆp ˆp0 4 ), i 5. F Poi sso(1.9) (0) , i 1 F Poi sso(1.9) (1) F Poi sso(1.9) (0) , i 2 F Poi sso(1.9) (2) F Poi sso(1.9) (1) , i 3 F Poi sso(1.9) (3) F Poi sso(1.9) (2) , i 4 1 ( ) , i , i , i , i , i , i 5. [Costata-se que ão é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verifica E i 5 e que E i 1 para todo o i. Caso fosse preciso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c teriam que ser recalculados...] Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Tratado-se de um teste de ajustameto, a região de rejeição de H 0 escrita para valores de T é o itervalo à direita W (c, + ), ode Decisão c F 1 (1 α χ 2 0 ) (k β 1) F 1 (1 0.05) χ 2 (5 1 1) F 1 (0.95) χ 2 (3) tabel a/calc No cálculo do valor observado da estatística de teste covém recorrer à seguite tabela auxiliar: Págia 5 de 8

6 Classe i Freq. abs. obs. Estim. freq. abs. esp. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. teste i o i e i ˆp 0 i (o i e i ) 2 e i ( ) 1 {0} {1} {2} {3} {4,5,...} k i1 o i k i1 e i t k (o i e i ) 2 i1 e i Como t W (7.815,+ ), ão devemos rejeitar H 0 ao.s. de α 0 5% [em a qualquer outro.s. iferior a α 0 ]. 2. A massa de certa espécie de peixe é descrita pela variável x (em grama) e o respectivo comprimeto é represetado pela variável aleatória Y (em cetímetro). Uma amostra de 30 peixes desta espécie coduziu aos seguites valores: 30 i1 x i 875.4, 30 i1 x2 i , 30 i1 y i 605.7, 30 i1 y 2 i , 30 i1 x i y i , ode [ mi i1,...,30 x i, max i1,...,30 x i ] [27.9, 31.1]. (a) Calcule as estimativas de míimos quadrados dos parâmetros da reta de regressão liear simples (1.5) de Y em x. Estimativas de MQ de β 0 e β 1 Dado que 30 i1 x i i1 x i x 1 i1 x2 i i1 x2 i ( x) i1 y i ȳ 1 i1 y i i1 y 2 i i1 y 2 i (ȳ) i1 x i y i i1 x i y i x ȳ , as estimativas de MQ de β 1 e β 0 são, para este modelo de RLS, iguais a: i1 ˆβ 1 x i y i xȳ i1 x2 i ( x) ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x Págia 6 de 8

7 (b) Obteha a estimativa de míimos quadrados do valor esperado do comprimeto de um peixe desta (1.0) espécie, se a sua massa for igual a 29.1g. Estimativa de MQ para E(Y x 0 ) β 0 + β 1 x 0 Ê(Y x 0 ) ˆβ 0 + ˆβ 1 x [Não estamos a cometer qualquer erro de extrapolação ao estimar potualmete E(Y x 29.1) β 0 + β dado que 29.1 [mi i1,...,30 x i, max i1,...,30 x i ] [27.9, 31.1].] (c) Teste a sigificâcia do modelo de regressão liear simples, ao ível de sigificâcia de 5%. Eucie (3.0) as hipóteses de trabalho que assumir. Hipóteses de trabalho No modelo de RLS, Y i β 0 + β 1 x i + ɛ i, cosideraremos ɛ i i.i.d. Normal(0,σ 2 ), i 1,...,. [Obs. Pretede cofrotar-se H 0 : β 1 β 1,0 0 (regressão liear ão é sigificativa, i.e., o valor esperado da variável resposta Y, E(Y ) β 0 + β 1 x, ão depede liearmete da variável explicativa x) H 1 : β 1 β 1,0 (regressão liear é sigificativa).] Hipóteses H 0 : β 1 β 1,0 0 H 1 : β 1 β 1,0 Nível de sigificâcia α 0 5% Estatística de teste ˆβ 1 β 1,0 T ˆσ 2 i1 x2 x2 i H0 t ( 2) Região de rejeição de H 0 (para valores de T ) Estamos a lidar com um teste bilateral (H 1 : β 1 β 1,0 ), pelo que a região de rejeição de H 0 é W (, c) (c,+ ), ode c : P(Rejeitar H 0 H 0 α 0 ( c Ft 1 ( 2) 1 α ) 0 2 c Ft 1 (28) (0.975) c t abel a/calc Decisão Tedo em cota que [( ) ˆσ 2 1 y 2 i 2 ȳ 2 ( ( )] ) 2 ˆβ1 x 2 i x2 i1 i1 1 ( ) , o valor observado da estatística de teste é dado por Págia 7 de 8

8 t ˆβ 1 β 1,0 ˆσ 2 i1 x2 x2 i Como t W (, 2.048) (2.048,+ ), devemos rejeitar H 0 [hipótese de iexistêcia de relação de tipo liear etre o valor esperado da variável resposta Y e a variável explicativa x], ao ível de sigificâcia α 0 5% [ou a qualquer outro.s. superior 5%]. (d) Calcule e iterprete o valor do coeficiete de determiação do modelo ajustado. (1.0) Cálculo do coeficiete de determiação ( r 2 i1 x i y i x ȳ ) 2 ( i1 x2 i x2) ( i1 y 2 i ȳ 2) Iterpretação coeficiete de determiação Cerca de 87.3% da variação total do comprimetos dos peixes é explicada pela respectiva massa, através do modelo de regressão liear simples ajustado. Logo podemos adiatar que a recta estimada parece ajustar-se bem ao cojuto de dados. Págia 8 de 8