INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Exame Época de Recurso - A SEMESTRE PAR 8/9 Data: de Julhode 9 Duração: h Tópicos de Resolução Questões:. Aspeçasproduzidasporumadetermiadaempresapodempassarportiposdecotrolo: A,BouC. 8% das peças produzidas por essa empresa passaram o cotrolo A, 6% passaram o cotrolo B, % passaram o cotrolo C, % passaram os cotrolos A e B, % passaram os cotrolos A e C, % passaram os cotrolosbec e8%passaramostrêscotrolos.. a Diga, justificado, se há ou ão idepedêcia etre os diferetes tipos de cotrolo. Sejam A peçaspassaremocotroloa PA.8 PA B. PA B C.8 B peçaspassaremocotrolob PB.6 PA C. C peçaspassaremocotroloc PC. PB C. AeBsãoacotecimetosidepedetesssePA BPA PB comopa PB PA B logo A e B ão são acotecimetos idepedetes. AeC sãoacotecimetosidepedetesssepa CPA PC comopa PC.8..4 PA C logo A e C ão são acotecimetos idepedetes. BeC sãoacotecimetosidepedetesssepb CPB PC comopb PC.6.. PB C logo B e C ão são acotecimetos idepedetes.. b Calcule a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso passar só por dois tipos de cotrolo. P A B C A B C A B C acotecimetos disjutos: A B C A B C A B C A B C A B C A B C P A B C +P A B C +P A B C PA B PA B C+PA C PA B C+PB C PA B C PA B+PA C+PB C PA B C

2 . Cosidere a variável aleatória X cuja fução desidade de probabilidade é dada por: x, x<k fx, k x<., paraoutrosvaloresdex. a Provequek. Sabe-sequefxéf.d.p. sse: Tem-se etão que: fx e + fxdx Para x<k, x x x peloque k Parak x<, k portatoobtém-sek<; + fxdx k k x dx+ dx x x + x k 4k+4 k k k k k. b Determie a fução de distribuição. FxPX x x ftdt x<, Fx x< FxF+ x t dt+ x< FxF+ x x Fx x t t x x dt t x + x Afuçãodedistribuiçãoédadapor, Fx,x< x x, x< + x, x<,x. c CalculeP X. X.. P X. X. P X. X PX. P. X. PX<. F. F. F.

3 . A qualidade do cimeto utilizado a fase de betoagem de uma grade obra é regularmete moitorizada por amostragem. Sempre que é detectada uma amostra sem a qualidade desejada, o processo é iterrompido. Admita que em codições ormais o úmero de iterrupções por hora segue um processo de Poisso tal que a probabilidade da betoagem ão ser iterrompida durate uma hora é igual a a Idique o úmero médio e o desvio padrão de iterrupções durate o período de trabalho8 horas. Seja X úmerodeiterrupçõesporhoraoprocessodebetoagemdeumadadaobra X Pλ Como a probabilidade de ão haver iterrupções durate hora é.948, recorredo à tabela ou calculado com base a fução de probabilidade, tem-se: PX.948 f.948 e λ λ!.948 λ. Cosiderado Y úmerodeiterrupçõesumperíododetrabalhode8horas Y Pλ d 8..8 sedo e úmeromédiodeiterrupçõesumperíodode8horasλ d.8 desviopadrãodoúmerodeiterrupçõesumperíodode8horas λ d b Calcule a probabilidade do itervalo de tempo etre duas iterrupções sucessivas ão exceder as horas. Seja W tempo decorrido, em horas, etre duas iterrupções sucessivas W Exp θ. com fução de distribuição Deste modo tem-se: Fw, w< e w, w PW F e Um avião militar efectua o trasporte regular de soldados e de determiado tipo de peças de equipameto militar etre duas bases aéreas. O úmero máximo de soldados que se coseguem trasportar um voo é igualaeoúmeromáximodepeçaséiguala.admitaqueopesodeumsoldadotemdistribuição Normaldemédia7kg edesviopadrãokg eopesodeumapeçatemdistribuiçãonormaldemédia kgevariâcia6kg.. a Numa viagem com lotação esgotadaou seja, com todos os lugares idicados para os soldados e zoa de carga ocupados, qual a probabilidade da carga total ser maior que.9 toeladascarga máxima permitida? X pesodeumsoldado,emquilos X N7, Y pesodeumapeçadeequipametomilitar,emquilos Y N,4

4 Comoopesodecadasoldadoéidepedeteetresi,opesodecadapeçaéidepedeteetresie o peso dos soldados é idepedete do peso das peças, podemos aplicar a aditividade da Normal. W cargatotal,emquilos,umaviagemcomlotaçãoesgotada icluiopesodesoldadosedepeçasdeequipametomilitar W X i + Y j N j 7+, + 4 Logo, W N,8. Z W 8. N,. PW >9 P Z 9 Φ.84Φ ,. b Calcule, através de um método de aproximação adequado, a probabilidade de, em viages sucessivascomlotaçãoesgotada,acotecerqueomíimoseobservem7dessasviagesemqueacarga total excede a carga máxima permitida. V úmerodeviagescomlotaçãoesgotada,em,emqueacargatotalexcedeacargamáxima V B,.799 Como > p > q..> aproximação da Biomial à Normal µp79.9 σ pq 6. Etão, V N 79.9, 6. Z V 79.9 N, 6. P Bi. V 7 P Nor. V 69. P Z< Φ.6Φ Numa experiêcia para comparar duas marcas de whisky, W e W, usou-se para base de comparação a quatidade de malte ecotrada em cada uma das marcas. Recolheram-se duas amostras aleatórias idepedetes, costituídas por garrafas de cada uma das marcas, e mediu-se a quatidade de malte ecotrada em cada garrafa. Cosidere aida que os comportametos são ormais com variâcias iguais.. a SejaT X X umestimadorparaadifereçaetreasquatidadesmédiasdemalteexistetes asduasmarcasdewhisky,odex éamédiadaamostraextraídadasgarrafasdewhiskydemarca WeX éamédiadaamostraextraídadasgarrafasdewhiskydemarcaw.diga,justificado,se T é um estimador covergete. X quatidadedemalteowhiskydamarcaw X Nµ,σ Populações: comσ σ X quatidadedemalteowhiskydamarcaw X Nµ,σ Amostras aleatórias idepedetes de dimesão : X,X,..., X amostradapopulaçãox X,X,..., X amostradapopulaçãox 4

5 Sedo T X X umestimador para µ µ queremos provar que setrata de umestimador cosistete, isto é lim ETµ µ e lim VT + + ET E X X E X E X E X i E X i E X i E X i EX i EX i X i sãoi.d. X i sãoi.d. µ µ µ µ µ µ Etão lim ET lim µ µ µ µ + + V T V X X Etão V X +V X V X id X V X i + V X i X i sãoid. X i sãoid. X i +V σ + σ σ + σ σ +σ Cocluido-se que o estimador é covergete. σ lim VT lim +σ + + X i V X i + V X i X i sãoi.d. X i sãoi.d. b Supoha que a amostra recolhida era costituída por garrafas de cada uma das marcas e a iformação recolhida foi a seguite: GarrafasdewhiskydemarcaW: x 4. s.44 GarrafasdewhiskydemarcaW: x 6. s.48. i. Teste, ao ível de sigificâcia de %, a hipótese de ão existir difereça etre as quatidades médias de malte existetes as duas marcas de whisky. Pretede-seumtestedehipótesesbilateralparaµ µ,comα. H :µ µ H :µ µ comoσ eσ sãodescohecidosadmitido-seoetatoqueσ σ, e tem-se a seguite variável fulcral X X µ µ T t + + S + S +

6 VamoscostruiraregiãocríticaetomarumadecisãousadoaestatísticadetesteT: e T t 8 t + ; α t 8;.97. RA RC RC -t 8; t 8;.97. estecaso,tem-seaescaladatquerc ;..;+. AestimativadaestatísticadetesteT,sobH,é T RC coclui-sequesedeverejeitarh,ouseja,combaseasamostrasrecolhidasecomumívelde sigificâcia de % podemos afirmar que deverá existir difereça a quatidade média de malte presete as duas marcas de whisky.. ii. Sabedo que a verdadeira difereça etre a quatidade média de malte existete as garrafas de marcaweaquatidademédiademalteexisteteasgarrafasdemarcawéde.9,avalie a qualidade do teste aterior. Pretede-se calcular a fução potêcia do teste: πprejeitarh /H falsap X X k X X k /µ µ Paracalcularafuçãopotêciavamosterdepassarparaaescaladosdados,istoé,determiar k ek oslimitesdarc aescaladosdados: k k Assim,afuçãopotêciaseµ µ.9é.. π.9 P X X k X X k /µ µ.9 k.4 k.4 P X X.4/µ µ.9 +P X X.4/µ µ.9 P T P T PT.+PT.PT.+ PT < Coclui-sedestemodoqueπ9%,ousejaotestetemumaqualidadeexcelete. 6. Comvistaaivestigarseháumarelaçãoetreapulsaçãoúmerodebatimetosdocoraçãopormiuto- BPM e a altura de um humao foram feitas observações a doetes de um hospital medido a sua altura,x,emcm,easuapulsação,y,embpm,obtedo-se: x i 846, x i 476, x i y i 697, y i 4, y i

7 . a Recorredo ao modelo de regressão liear simples, estime o valor da pulsação para uma pessoa com 6 cm e aalise o ajustameto efectuado. Cosideremos: X alturadeumhumaoemcm Y pulsaçãoembpm b x i y i xy x i x a y bx obtém-se etão a recta de regressão liear: ŷ6.6+.4x Assim,aestimativadovalordapulsaçãoparaumapessoacom6cmé: ŷ ŷ78.46 ou seja, a estimativa da pulsação é de aproximadamete 78 BPM. Relativamete ao coeficiete de correlação liear empírico: r X,Y Coclui-se que existe uma forte relação liear positiva etre X e Y, sedo este modelo liear adequado aos dados.. b Supodo que a pulsação, Y, tem um comportameto Normal, deduza, calcule e iterprete um itervalo decofiaçaa9%paraavariâciadapulsação. Pretede-secostruirumitervalodecofiaçaa α%paraσ,como Y Nµ,σ µédescohecido P x α, <X <x α, α P LogooI.Ca α%paraσ é: cocretizado vem.96 x ;.96.97, x., vamosutilizar X S σ χ x S α, < σ <x α, α P S x <σ < S α α, x α, s x ; s α, x α, ; ;.79.4 Para 9% de cofiaça e com base a amostra, a variâcia da pulsação está compreedido etre BPM e.79 BPM. Fim. 7