DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos:

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1 48 DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL LEI DOS GRANDES NÚMEROS Pretede-se estudar o seguite problema: À medida que o úmero de repetições de uma experiêcia cresce, a frequêcia relativa f A de um acotecimeto A coverge um certo setido para a probabilidade teórica P(A). TEOREMA: A LEI DOS GRANDES NÚMEROS ( fórmula de Beroulli) Seja ε uma experiêcia e seja A um acotecimeto associado a ε. Cosidere-se repetições idepedetes de ε e seja A o úmero de vezes em que A ocorre as repetições. Façamos f A A e seja p P(A) (que se admite ser a mesma para todas as repetições). Etão, para todo o úmero positivo ξ, teremos: P ( f p ξ ) ou, de um modo equivalete: A ξ P ( f p < ξ ) A ξ

2 Demostração: Seja A o úmero de vezes que A ocorra. Etão, A é uma v.a. com distribuição biomial e portato: ( ) p e V( A ) ( p) E A Atededo a que f A E( f A ) p e ( f ) A, vem: ( p) V A Aplicado agora a iequação de Chebyshev à v.a. f A obtémse: 49 P f A p < k k e fazedo: ξ k k ξ resulta: P ( f p < ξ ) A ξ NOTAS: Do teorema aterior resulta que: { P( fa p < ξ )}, ξ 0 lim >

3 50 e é este setido que f A coverge para P(A) ( diz-se que f A coverge para P(A) em probabilidade). Isto sigifica que a probabilidade do acotecimeto: A p < ξ se pode torar arbitrariamete próxima da uidade para um valor de suficietemete elevado. A lei dos grades úmeros assume uma forma alterativa quado se levata a seguite questão: Quatas repetições de ε deverão ser realizadas, de modo que se obteha uma probabilidade de pelo meos δ, para que a frequêcia relativa f A difira de pp(a) a meos de ξ? ( f p < ξ ) δ P A ξ δ ξ δ Note-se porém que ao tomar ada se ξ δ garate quato a f A p. Apeas se tora provável que f A p veha a assumir um valor muito pequeo. Ex:...

4 5 Um outro aspecto a salietar é que de um modo geral ão cohecemos o valor de p P(A), pelo que ão podemos utilizar a expressão: ξ δ Nesse caso, podemos majorar a expressão o umerador, que toma o seu valor máximo quado p/, podedo etão afirmar-se o seguite: ( f p < ξ ) δ P A sempre que 4 ξ δ Relativamete à lei dos grades úmeros, há outra formulação a que se dá habitualmete o ome de lei fraca dos grades úmeros, e que tem o seguite euciado: Seja,,... uma sucessão de v.a. idepedetes com valor médio µ e variâcia σ, isto é: E ( ) µ e Var( i ) σ i i Defia-se uma ova v.a. : ( ) etão: E ( ) µ, Var( ) σ, e P( µ ξ ) 0 lim

5 Demostração: Os resultados apresetados obtêm-se facilmete aplicado as propriedades do valor esperado e variâcia e recorredo à desigualdade de Chebyshev: 5 fazedo: e portato: isto é: P σ µ C ξ C σ vem P C C σ ( µ ξ ) ξ σ ξ ( lim P ( µ ξ ) 0 coverge para µ em probabilidade ) TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Seja,,..., uma sucessão de variáveis aleatórias idepedetes e com a mesma distribuição (que se admite ter variâcia fiita) : E ( i ) µ e Var( i ) σ i Façamos Etão a v.a. defiida como:

6 53 µ σ tem aproximadamete distribuição N(0,), quado é suficietemete elevado. Isto é, se F for defiida como a fução de distribuição da v.a., teremos lim F ( z ) Φ( z ). Uma questão importate que se levata é saber quado é que é suficietemete elevado para que a distribuição Normal seja de facto uma boa aproximação da distribuição da variável soma. Temos etão duas situações diferetes: a) Ser possível obter a distribuição da variável soma por via teórica. Neste caso a resposta à questão levatada obtém-se por comparação directa etre as distribuições em causa. b) Não ser possível especificar a distribuição da variável soma (situação habitual). Neste caso a resposta pode ser dada por via experimetal, recorredo à geração de amostras aleatórias pelo método de Mote Carlo. Em termos gerais pode dizer-se que para um dado, o rigor da aproximação depede da forma da distribuição origial, sedo tato pior quato mais assimétrica for essa distribuição. Como regra prática, é frequete cosiderar-se que a aproximação Normal é adequada quado: 0 - se a distribuição origial for simétrica 50 - se a distribuição origial for muito assimétrica

7 O teorema do limite cetral aparece por vezes com um euciado meos restritivo do que aquele que foi ateriormete apresetado. Em particular, são relaxadas as codições que impõem que as variáveis,,..., sejam idepedetes e igualmete distribuídas. De facto estas codições são suficietes para que se verifique a aproximação Normal, mas ão são ecessárias. Assim: 54 i) As variáveis,,..., podem ter distribuições distitas, desde que a cotribuição da variâcia de cada uma delas para a variâcia da variável soma seja pequea. ii) As variáveis,,..., podem ão ser idepedetes, desde que as correlações etre elas sejam fracas. NOTAS: O facto das variáveis i poderem ter qualquer tipo de distribuição e a respectiva soma poder ser aproximada por uma v.a. com distribuição Normal, costitui a pricipal razão da importâcia desta distribuição em Teoria das Probabilidades. ( i ) i e Var( i ) σi i,,... E µ i µ i σ i i ~ N( 0, )

8 55 Vimos ateriormete que a soma de um úmero fiito de v.a. idepedetes e ormalmete distribuídas tem também distribuição Normal. O teorema do limite cetral salieta que as parcelas ão ecessitam de ser ormalmete distribuídas para que a sua soma seja aproximada por uma distribuição Normal. APLICAÇÕES DO TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Algus dos resultados apresetados quado se fez o estudo das v.a. serão agora facilmete justificados como uma cosequêcia da aplicação do teorema do limite cetral. Assim: a) Aproximação da distribuição biomial pela ormal Seja i ( i ) uma v.a. de Beroulli, isto é, uma v.a. que assume o valor quado o resultado da experiêcia de Beroulli é um sucesso e o valor 0 caso cotrário. Como vimos já, para esta v.a. a fução de probabilidade é dada por: ( ) p e ( 0 ) q p p i p i, i Cosideremos agora uma v.a. ~ N(,p). Esta v.a. pode ser cosiderada como: i i Uma vez que as v.a. i são idepedetes e igualmete distribuídas (com variâcia fiita), da aplicação do TLC

9 resulta que, a distribuição da v.a. se aproxima duma distribuição Normal para valores de suficietemete elevados. NOTA: Esta defiição de e as propriedades do valor esperado e da variâcia, permitem-os obter facilmete E() e Var(). Efectivamete, como vimos: 56 etão: E( i ) p ; Var( i ) E ( ) p ; Var( ) b) Aproximação da distribuição hipergeométrica pela ormal A justificação é aáloga à aterior, tedo porém que ser relaxada a codição de idepedêcia das v.a. i. Etão a aproximação pela distribuição Normal só será válida quado a depedêcia etre as variáveis for fraca, isto é, quado a dimesão da população for muito superior à dimesão da amostra. c) Aproximação da distribuição Quado se estudou a v.a. como: χ χ pela distribuição ormal χ vimos que ela era defiida i em que cada uma das v.a. i tiha distribuição N(0,). Etão, resulta directamete do TLC que para valores elevados de, a distribuição χ se aproxima da Normal. i

10 57 DISTRIBUIÇÃO DA SOMA DE UM NÚMERO FINITO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS (***ão sujeito a avaliação) Cosideremos S , ode os i são variáveis aleatórias idepedetes (ão ecessariamete ormais) e que ão seja suficietemete elevado para permitir a aplicação do teorema do limite cetral. Como obter a distribuição de S? TEOREMA: Sejam e duas v.a. idepedetes, cotíuas, com fuções desidade de probabilidade f ( x ) e h ( y ), respectivamete. Defia-se + e seja g ( z ) a fdp da v.a.. Etão: g + ( z ) f ( w ) h ( z w ) dw Demostração: Atededo a que e idepedetes, temos que: são v.a. f ( x, y) f ( x ) h ( y ) Efectuado agora a trasformação z x + y e w x, vem: x w y z w J 0 0 J e portato, a fdp cojuta de e W é dada por: k W f ( w ) h ( z w )

11 58 como g ( z ) é a fdp margial de k W obtemos fialmete: NOTAS: g + ( z ) f ( w ) h ( z w ) dw O itegral acima idicado deomia-se itegral de covolução etre f e h, usado-se frequetemete a seguite otação: f h + f ( w ) h ( z w ) dw A distribuição de + é igual à distribuição de + e portato: f h h f ou seja: + + ( x ) h ( z x ) dx h ( y ) f ( z y ) dy f O teorema euciado pode ser utilizado sucessivamete, embora com uma dificuldade crescete, para se obter a fdp da soma de um úmero fiito qualquer de v.a. cotíuas idepedetes. O teorema euciado ateriormete referia-se a v.al. cotíuas, porém ele pode também euciar-se para variáveis discretas, do seguite modo:

12 TEOREMA: Sejam e v.al. idepedetes, cada uma das quais possa assumir apeas valores iteiros ão-egativos. Cosiderem-se as fuções de probabilidade das v.a. e, p ( x ) P( x ) e q ( y ) P( y ) para x 0,,,... e y 0,,,... Defia-se + e seja s ( z ) P( z ). Etão: s (demostração:...) z ( z ) p ( x ) q ( z x ) x 0 59 FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS ( cometários adicioais) A fução geradora de mometos possui um cojuto de propriedades importates, para além da que foi referida ateriormete. Dada o iteresse dessas propriedades o setido de facilitar a caracterização de uma v.a. defiida à custa de outra(s), serão etão euciados a seguir algus resultados relevates. TEOREMA: Seja uma v.a. com fução geradora de mometos G ( t ). Defiida uma ova v.a. α + β, etão a fução geradora de mometos de é dada por: Demostração: G G β t ( t ) e G ( α t ) t y t ( ) ( ) ( ( α x + β) β t t α x t E e E e ) e E ( e ) e β t G ( α t )

13 TEOREMA: Sejam e duas v.a. com fgm respectivamete G ( t ) e G ( t ). Se G ( t ) G ( t ) t, etão e têm a mesma distribuição de probabilidade. 60 TEOREMA: Sejam e duas v.a. idepedetes. Defia-se +. Desigado por G ( t ), G ( t ) e G ( t ) as fuções geradoras de mometos respectivamete de, e, etão: Demostração: G G ( t ) G ( t ) G ( t ) t z t ( ) ( ) ( ( x + y ) t x t y t E e E e ) E ( e e ) t x t y E( e ) E( e ) G ( t ) G ( t ) NOTA: Este teorema pode ser geeralizado à soma de variáveis aleatórias idepedetes.