PROVA DE ESTATÍSTICA SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 2005

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1 PROVA DE ESTATÍSTICA SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 005 Istruções para a prova: a) Cada questão respodida corretamete vale um poto. b) Questões deixadas em braco valem zero potos (este caso marque todas alterativas). c) Cada questão respodida icorretamete vale - poto. d) Pelo meos 9 questões devem ser respodidas pelo cadidato. e) A ota fial será dada a partir da soma total dos potos (egativos e positivos). f) As opções escolhidas devem ser assialadas a folha de respostas o fial da prova. Questão. Em uma empresa de grade porte os fucioários são classificados de acordo com o ível de risco de acidete o setor em que trabalham. 0% trabalham o setor em que a probabilidade de acidete em uma semaa é 0,08. 0% o setor em que a probabilidade de acidete é 0,05, 30% o setor em que a probabilidade de acidete é 0,03 e o restate o setor em que a probabilidade de acidete é 0,005. Uma pessoa foi escolhida ao acaso o fial de uma semaa e verificou-se que tiha sofrido um acidete. A probabilidade de que essa pessoa seja do setor de maior risco é: a) 0,09 b) 0,759 c) 0,008 d) Nehuma das ateriores Questão. Certo tipo de equipameto tem tempo de vida com distribuição expoecial com média λ = 4000 horas. i) A probabilidade de que um aparelho sobreviva 500 horas é ii) Se um aparelho sobrevive 500 horas, a probabilidade que veha sobreviver por mais 500 horas é iii) Se 4 desses aparelhos foram istalados para fucioar de forma idepedete, a probabilidade de que pelo meos sobreviva as 500 horas é Escolha a resposta correta que correspoda respectivamete aos ites i, ii e iii. a) 0,50 0,885 0,975 b) 0,885 0,500 0,975 c) 0,885 0,885 0,9998 d) 0,5000 0,5000 0,45 Questão 3. Uma variável aleatória cotíua tem a seguite fução de distribuição : F(x)= -exp( x ) para x>0, 0 caso cotrario. 0 i) A fução de desidade dessa variável aleatória é f(x)= x exp( x ) para x>0, caso cotrario, ii) E(X)=0, iii) Para x, y >0, P(X>x+y/X>y)=P(X>y), iv) 5 observações idepedetes dessa variável são coletadas. Defia N: Número de vezes em que a observação é maior que 4. Calcule P(N=3) Escolha a resposta correta que correspoda respectivamete aos ites i, ii, iii e iv. a) Verdadeiro Verdadeiro Falso 0,054 b) Verdadeiro Falso Falso 0,054 c) Falso Falso Verdadeiro 0,09 d) Falso Verdadeiro Falso 0,09

2 Questão 4. Um empresário perguta se valerá a pea fazer um seguro cotra chuva, por ocasião de um determiado acotecimeto esportivo que ele está empresariado. Se ão chover ele espera obter $.000 de reda, por ocasião do eveto, mas só $.000 se chover. Uma apólice de seguro de $7.000 lhe custará $ Determie a probabilidade p de chover, de tal modo que sua expectativa seja a mesma, faça ele o seguro ou ão. a) 5/9 b) 5/7 c) 3/9 d) 3/7 Questão 5. A duração em horas de um compoete eletrôico é uma variável aleatória T com fução de desidade de probabilidade f () t = ae at, ode a = Se for testada uma amostra aleatória de 00 compoetes, qual será a probabilidade de que a média amostral de duração fique etre 900 e 00 horas? a)0,683 b)0,34 c)0,0737 d)0,96 Questão 6. Uma medida muito comum para avaliar se um processo de produção cetralizado com distribuição N ( µ σ ) cosegue produzir detro de dois limites de LSE LIE especificações (superior e iferior) é o ídice C p. Este é defiido como Cp = 6σ ode LSE é o limite superior de especificação, LIE é o limite iferior de especificação, σ é o LSE + LIE desvio padrão populacioal e µ = (processo cetralizado). Cosidere um sistema de produção com todas as características ateriores. Supoha que uma amostra aleatória de tamaho 00 é retirada deste processo obtedo-se um desvio padrão amostral ˆ σ = 0. Qual deveria ser o maior valor de T = ( LSE LIE)/6 de tal forma a ão rejeitarmos H0 : Cp cotra H : C p > com ível de sigificâcia 5%. Adote que o percetil 5,0% de uma distribuição Qui-Quadrado com 99 graus de liberdade é aproximadamete 77. a),34 b) 5,34 c) 0,34 d) 30,34

3 Questão 7. Supoha que uma empresa deseje comparar a tesão média de ruptura para cabos produzidos por dois processos de produção: A e B. O objetivo é avaliar, com ível de cofiaça 95%, se a tesão média de ruptura é igual para os dois processos de produção ou ão. Para tato solicitou proposta de cosultoria de dois Estatísticos iformado que dispoibilizaria 50 cabos para teste em cada um dos processos (00 cabos o total). Além disso, pediu aos Estatísticos que cosiderassem dois potos: i) a Empresa descohecia o desvio padrão populacioal mas possuía iformações suficietes para afirmar que a variabilidade era igual os dois processos ii) em ambos os processos de produção a tesão de ruptura possuía distribuição ormal. O Primeiro Estatístico propôs utilizar um modelo de Regressão Liear Simples relacioado tesão de ruptura (Y) com sistema de produção (variável biária D) costituido-se assim o modelo Y = β0 + βd + erro. Um teste de hipótese H0 : β = 0 cotra H: β 0 respoderia a questão cosiderado uma distribuição amostral t-studet com 98 graus de liberdade O segudo estatístico propôs realizar uma ANOVA. Detalhou que tal procedimeto costituía em estimar a variâcia populacioal através de dois métodos diferetes. Explicou que um método super-estimaria a variâcia populacioal caso as médias fossem realmete diferetes e o outro método era idiferete a igualdade ou ão das médias. A idéia etão seria comparar a razão obtida etre o método que poderia super-estimar (umerador) e o outro (deomiador). Uma razão muito grade seria idicativo de que as médias de ruptura do processo A e B eram diferetes. Para avaliar a magitude da razão utilizaria uma distribuição amostral F com grau de liberdade o umerador e 98 graus de liberdade o deomiador. Em relação as metodologias sugeridas pelos Estatísticos você cosideraria correto dizer que: a) Apeas a metodologia sugerida pelo primeiro Estatístico está correta b) Apeas a metodologia sugerida pelo segudo Estatístico está correta c) As metodologias apresetadas pelo primeiro e segudo Estatístico estão icorretas d) As metodologias apresetadas pelo primeiro e segudo Estatísticos estão corretas e são equivaletes. Questão 8. Supoha que a resistêcia do papel (Y) usado a fabricação de caixas de papelão está relacioada à percetagem da cocetração de madeira de lei a polpa origial (X). Cosidere que o modelo de regressão liear simples Yi = β0 + βxi + εi ode εi ~ N(0 σ ) e εi e ε j sejam ão correlacioados quado i j, i,j=,,..., foi cosiderado adequado ao estudo. Assiale a alterativa que apreseta um estimador ão viciado (ão tedecioso) para σ. a) b) c) d) 3 3

4 Questão 9. Cosidere ovamete que a resistêcia do papel (Y) usado a fabricação de caixas de papelão está relacioada à percetagem da cocetração de madeira de lei a polpa origial (X). Adote que o modelo de regressão liear simples Yi = β0 + βxi + εi ode εi ~ N(0 σ ) e εi e ε j sejam ão correlacioados quado i j, i,j=,,..., é adequado ao relacioameto. Supoha que um experimeto foi coduzido com uma amostra de 0 diferetes percetages de cocetração de madeira de lei a polpa origial. Obteve-se um estimador de míimos quadrados ˆ β = com erro padrão estimado de 0,. Com estes valores o que podemos afirmar sobre um teste de hipóteses H0 : β = 0 cotra H: β 0 ao ível de sigificâcia 0,05? (Adote que o percetil 97,5% de uma distribuição t-studet com 8 graus de liberdade é aproximadamete,0). a) A probabilidade de sigificâcia é aproximadamete zero e coseqüetemete rejeito H 0 ao ível de sigificâcia 0,05 b) A probabilidade de sigificâcia é aproximadamete e coseqüetemete ão rejeito H 0 ao ível de sigificâcia 0,05 c) A probabilidade de sigificâcia é aproximadamete 0, e coseqüetemete ão rejeito H 0 ao ível de sigificâcia 0,05 d) Nehuma das afirmações está correta. Questão 0. Cosidere um teste de hipóteses bilateral para média populacioal com hipóteses H 0 : µ = 00 cotra H : µ 00. Supoha que uma amostra aleatória de tamaho 00 foi utilizada ( = 00 ) obtedo-se os valores amostrais x = 99,608 e s =,00. O valor da probabilidade de sigificâcia do teste é: a) 0,05 b) 0,05 c) 0, d) 0,5 Questão. Uma psicóloga elaborou um ovo teste de percepção espacial e deseja estimar o escore médio obtido por pilotos. Um estudo aterior sugere que o desvio padrão o teste é de,, com média 03,7. Quatos pilotos devem ser testados para que o erro a média amostral do ovo teste ão exceda,0 potos, com 95% de cofiaça? a)43 b) c)303 d)8 Questão. Dois lotes de larajas de dois produtores diferetes devem ser testados quato ao teor de carboidratos do suco. Duas amostras de 00 larajas de cada lote foram aalisadas, obtedo-se médias de,g/l e,7 g/l, com desvios padrões amostrais 5,5 g/l e 5,g/l respectivamete. Cosidere a hipótese ula de que o primeiro lote tem teor de carboidratos maior ou igual do que o segudo lote. Pelo experimeto, a hipótese ula deve ser rejeitada a um ível de sigificâcia maior ou igual a: a)0,05 b)0,04 c)0,03 d)0,0 4

5 Questão 3. Se A, B e C são três evetos idepedetes, todos eles com probabilidade positiva. Etão i) A e Bc são idepedetes. ( Bc é o complemetar do eveto B ), ii) A e B Csão idepedetes, iii) A B e A C são idepedetes. Escolha a resposta correta que correspoda respectivamete aos ites i, ii e iii. a) Falso Verdadeiro Verdadeiro b) Verdadeiro Verdadeiro Falso c) Falso Falso Falso d) Verdadeiro Falso Verdadeiro Questão 4. O valor do limite é respectivamete: m / m x m x Lim p ( p) m x = 0 x para p = 0, 4, p = 0,5 e p = 0,6 a) 0 0,5 b) 0,4 0,5 0,6 c) 0,45 0,75 d) 0,5 0 Questão 5. Um fabricate de fibra têxtil está ivestigado um ovo fio, que a compahia forecedora afirma ter um alogameto médio de kg. O pesquisador deseja testar a hipótese H 0 : µ = cotra H : µ <, usado uma amostra aleatória de quatro fios. Cosiderado que a população apreseta distribuição ormal e desvio padrão 0,5kg, Calcule: i) A probabilidade do erro tipo I (α ) se a região de rejeição for defiida como x <,5kg ii) A probabilidade do erro tipo II ( β ) para o caso em que o alogameto verdadeiro seja,5kg. [utilize a mesma região de rejeição do item i)] Escolha a resposta correta que correspoda respectivamete aos ites i e ii. a) 0,587 0,843 b) 0,05 0,843 c) 0,05 0,587 d) 0,08 0,587 5

6 PROVA DE ESTATÍSTICA SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 005 Assiale o quadro abaixo as opções escolhidas para cada questão: Questão a b c d Nome: Assiatura: Carteira de Idetidade / Passaporte: 6