Exame Final Nacional de Matemática Aplicada às Ciências Sociais a Fase

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1 Exame Fial Nacioal de Matemática Aplicada às Ciêcias Sociais a Fase Proposta de resolução... Aplicado o método de Hodt a distribuição dos madatos, temos: Partido A B C D E Número de votos 4 4 Divisão por 4 4 Divisão por = 00 4 = 86 = = 666, 4 =, Divisão por 6, 4 = 08 = 048 = 4 4 = 8 Divisão por 4 4 = 0, 4 4 = = 86 Divisão por = 440 Divisão por , Aplicado o método de Sait-Laguë a distribuição dos madatos, temos: Partido A B C D E Número de votos 4 4 Divisão por 4 4 Divisão por 6, 4 = 08 = 048 = 4 4 = 8 Divisão por = = 44,8 = 08,8 = 466,6 4 = 90, Divisão por 44, 4 446, 6,4 6,9 Divisão por ,6 Assim, os úmeros de madatos atribuídos às listas dos cico partidos mais votados o círculo eleitoral de Peha Alta resultates da aplicação do método de Hodt e da aplicação do método de Sait-Laguë, estão assialados a tabela seguite: Partido A B C D E. o de madatos Método de Hodt. o de madatos Método de Sait-Laguë 4 Págia de 6

2 Desta forma, podemos cocluir que, as difereças a atribuição dos madatos pelos métodos de Hodt e de Sait-Laguë, cosistem essecialmete um úmero de madatos mais homogéeo etre os partidos a atribuição pelo método de Sait-Laguë. Assim, deixar de utilizar o método de Hodt e passar a utilizar o método de Sait-Laguë implicaria que o partido A teria meos madato e o partido D teria mais madato... Aplicado o método A, temos: 0 votos 80 votos votos Potuação Vecedor Castaho a Pref. Castaho Amarelo Castaho Amarelo a Pref. Amarelo Castaho Amarelo Castaho a Pref. Castaho Vermelho Castaho Vermelho a Pref. Vermelho Castaho Vermelho Castaho 0 + = 0 Castaho Amarelo 80 Castaho 0 + = 0 Castaho Vermelho 80 Como o castaho veceu as comparações com as restates cores é a cor vecedora, usado o método A. Aplicado o método B, temos: Potuação da cor Castaho : = 90 Potuação da cor Amarelo : = 40 Potuação da cor Vermelho : = 0 Como o amarelo tem maior úmero de potos é a cor escolhida, usado o método B, o que prova que o Mauel tem razão.. Defiido os circuitos possíveis compatíveis com o algoritmo defiido, cosiderado a escolha aleatória da primeira viveda (B ou D), temos: B C 40 E D A A D E B C Assim, temos que a distâcia total de cada percuso é: Percurso A B C E D A: = 0 metros Percurso A D E B C A: = 0 metros Logo, aplicado o algoritmo, a escolha aleatória, quado existem duas vivedas à mesma distâcia, pode levar o Fracisco a percorrer uma distâcia maior do que seria ecessário se optar pela viveda B a primeira escolha. Págia de 6

3 ... Como o dia de juho de 000 correspode a t = 0, pelo que o úmero de habitates de Peso esta data é: P (0) = 800 e 0,0 0 = 800 = 800 Assim, temos que a população duplica quado atigir o valor P (0) = 800 = 0 Iserimos a calculadora gráfica o modelo que dá a variação da população de Peso (y = 800 e 0,0x ), e visualizamos a tabela de valores da fução, procurado o primeiro valor superior a 0, como está reproduzida a figura ao lado. Assim, podemos verificar que o primeiro valor de t, para o qual se obtém uma população superior a 0 é 4, ou seja, podemos cocluir que 4 aos após o dia de juho de 000, o úmero de habitates de Peso veha a duplicar. X Y 0 96, 9,9 9, ,8 80, Represetado a calculadora gráfica os modelos da variação dos populações de Peso e Neiva em fução do tempo (y = 800 e 0,0x e y = l(x + )), uma jaela compatível com o limite temporal dos modelos, ou seja, 0 x 0 e também com os valores esperados para a evolução da altura, ou seja, 0 y < 9000, obtemos os gráficos que se ecotram reproduzidos a figura seguite. Usado a fução da calculadora para determiar valores aproximados das coordeadas do poto de iterseção dos dois modelos, obtemos os valores aproximados (com duas casas decimais) das coordeadas, ou seja, o valor correspodete ao tempo em que a população das duas cidades é igual, isto é, o poto de coordeadas (,98 ; 969,44) y 969,44 P N Assim, pela observação do gráfico, podemos verificar que o úmero míimo de aos ao fim dos quais se estima que o úmero de habitates de Peso seja superior ao úmero de habitates de Neiva, com arredodameto às uidades, é 4 aos. 0,98 x Págia de 6

4 .. Iserido a calculadora gráfica as listas com os dados relativos aos aos (x) e à população (y), temos: t (x) R (y) Desta forma, determiado a regressão liear para estes dados, obtemos os valores de a e de b, aproximados com duas casas decimais: a 8,0 e b 6, Assim temos que o modelo para a população de Rua é: R(t) = 8,0t + 6, Desta forma o dia de juho de 0, ou seja, aos após o dia de juho de 000, a população de Rua, arredodada às uidades, é: R() = 8,0 + 6, 9 habitates Observado o histograma das frequêcias absolutas acumuladas e escrevedo os dados uma tabela obtemos a colua apresetada a sombreado a tabela seguite. A partir da frequêcia absoluta acumulada é possível obter a colua da frequêcia absoluta simples, por subtrações sucessivas, também apresetada a tabela seguite. Fazedo a divisão de cada frequêcia absoluta simples pelo total de saquetas podemos obter as frequêcias relativas simples, e fialmete, por somas sucessivas, podemos obter as frequêcias absolutas acumuladas: Massa de açúcar a saqueta (g) absoluta simples absoluta acumulada relativa simples relativa acumulada 4 [,8;,9[ 4 4 = 0,4 0,4 [,9;6,0[ 6 4= 6 = 0, 0,4 + 0,= 0,6 8 [6,0;6,[ 4 6= 8 4 = 0, 0,6 + 0,= 0,9 [6,;6,[ 4= = 0,0 0,9 + 0,0= 0,9 [6,;6,[ = = 0,0 0,9 + 0,0= Total Págia 4 de 6

5 4.. Iserido uma lista da calculadora gráfica os valores dos úmeros de saquetas por caixa, e outra lista as frequêcias absolutas simples, ou seja, o úmero de caixas: Número de saquetas de açúcar por caixa absoluta simples (Número de caixas) e calculado as medidas estatísticas referetes à primeira lista, usado a seguda como frequêcia, obtemos o valor do úmero médio de saquetas por caixa da amostra: x 98,8 Assim, como o valor esperado era de saquetas, devem ser retiradas 98 = 8 saquetas de cada caixa, e desta forma, como se retiram o mesmo úmero de saquetas de açúcar a cada uma das caixas da amostra, a média será x 98,8 8 saquetas 4.. Pretedemos determiar a dimesão da amostra (admitido que é superior a 0) para um itervalo de cofiaça, do qual cohecemos: A proporção de pacotes de açúcar, de uma caixa de 6 quilogramas que têm 8 ou mais gramas (%): ˆp = 0, O valor de z para um ível de cofiaça de 9%: z =,9 A amplitude do itervalo: 0,0 Assim, como a amplitude do itervalo de cofiaça ( ] ˆp( ˆp) ˆp z, ˆp + z [ ) ˆp( ˆp), é: ( ) ˆp( ˆp) ˆp( ˆp) ˆp( ˆp) ˆp( ˆp) ˆp( ˆp) ˆp + z ˆp z = ˆp + z ˆp + z = z Substituido os valores cohecidos podemos determiar o valor de : 0,( 0,) 0,496 (,9) = 0,0,9 = 0,0 0,496 Iserido a calculadora gráfica a expressão y =,9, e x visualizado a tabela de valores da fução, reproduzida a figura ao lado, podemos idetificar o valor de x a que correspode o valor mais próximo de 0,0, ou seja, x = 96 Logo, podemos cocluir que a dimesão da amostra, para que a amplitude do itervalo seja aproximadamete 0,0 é: = 96 X Y 9 0,04 9 0,0 94 0,00 9 0, , , ,98 Págia de 6

6 ... Como a probabilidade de lucro de uma aplicação fiaceira é 0,90 se pertece ao baco Gaha, a probabilidade de ão obter lucro este baco é 0,9 = 0, Logo, como esse dia, foram feitas 00 aplicações fiaceiras pela seguradora o baco Gaha, o úmero dessas aplicações fiaceiras que se estima que ão obteham lucro é: 00 0, = 0 aplicações.. Esquematizado as probabilidades cohecidas um diagrama em árvore, temos: Aplicação Juro Rede 0, Com lucro 0,8 Sem lucro 0, Com lucro 0, Sem lucro Gaha 0,9 0, Com lucro Sem lucro Assim, cosiderado a experiêcia aleatória que cosiste em escolher, ao acaso, uma aplicação fiaceira, e os acotecimetos: J: A aplicação pertece ao baco Juro R: A aplicação pertece ao baco Rede G: A aplicação pertece ao baco Gaha L: A aplicação teve lucro Temos, que a probabilidade de a aplicação fiaceira pertecer ao baco JURO, sabedo que a aplicação fiaceira obteve lucro, a forma de fração irredutível, é: P (J L) = = P (J L) P (L) = P (J L) P (J L) + P (R L) + P (G L) = 0, 0, + 0, + = 0,9 0,4 0,9 = Como a variável aleatória X segue uma distribuição ormal de valor médio igual a µ, etão P (X > µ) = 0,, e como P (X > b) = 0,, temos que: P (µ < X < b) = 0, 0, = 0, E assim, como P (a < X < µ) = 0,, vem que: 0, 0, 0, a µ b 0, P (a < X < b) = P (a < X < µ) + P (µ < X < b) = 0, + 0, = 0,4 Págia 6 de 6