O termo "linear" significa que todas as funções definidas no modelo matemático que descreve o problema devem ser lineares, isto é, se f( x1,x2

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1 MÓDULO 4 - PROBLEMAS DE TRANSPORTE Baseado em Novaes, Atôio Galvão, Métodos de Otimização: aplicações aos trasportes. Edgar Blücher, São Paulo, 978..CONCEITOS BÁSICOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR É uma técica da Pesquisa Operacioal, utilizada para resolver determiada classe de problemas em que se procura alocar recursos limitados a atividades ou decisões diversas, de maeira ótima. Este tipo de problema aparece freqüetemete os setores de plaejameto e operações de idústrias, empresas de trasporte, órgãos goverametais etc.. A represetação matemática de um problema de Programação Liear (PL) tem a seguite forma: otimizar a fução objetivo (maximizar ou miimizar): z= f x, x, L, x ) ( g( x, x, L, x ) g ( x, x, L, x ) = KKKKKK g m ( x, x, L, x ) b b K bm O termo "liear" sigifica que todas as fuções defiidas o modelo matemático que descreve o problema devem ser lieares, isto é, se f( x,x, L,x ) e cada uma das g i ( x,x, L,x ), para i de até m, forem fuções lieares. Detalhado melhor, esta represetação pode ser expressa de uma outra forma: max Z = c x + c x cx, sujeito às restrições a + a a b a M a m + a + a m a a e mais i 0 para m b b m i =,,..., Nessas expressões, a ij, b i e c j são costates e os x i (i=,,..., ) são as variáveis de decisão do problema. A Programação Liear procura os valores de x i, quado esses valores existirem, de modo a se atigir o máximo ou o míimo da fução objetivo. As restrições idicam as limitações de uma maeira geral, sejam elas físicas, de recursos humaos, moetárias, sócio-ecoômicas etc.. As costates b, b,..., b m devem ser positivas e represetam o ível máximo que se pode atigir para cada um dos recursos. As restrições expressas por i 0, idicam que, por sua atureza, as variáveis de um problema de Programação Liear devem ser ão egativas. As restrições dos tipos a + a a b e a + a a = b são casos especiais e devem ser aalisados separadamete., 5/0/07 - de 0 Módulo 4 - Problemas de Trasporte

2 Os três pricipais grupos de problemas que podem ser resolvidos por Programação Liear são os seguites: a) Misturas de igredietes com composição e preços cohecidos, para ateder a determiadas especificações (de composição ou de estoque), a custo míimo ou lucro máximo. Utilizada para balacear rações para aimais, refeições, abastecimeto de comuidades ou tropas, utilização parcelada de combustíveis, lubrificates, fertilizates e corretivos, defesivos agrícolas, perfumes e cosméticos, ligas metálicas, o auxílio para as idustrias de alimetos etc. b) Trasporte, distribuição ou alocação, em que se procura determiar as quatidades a trasportar, segudo as vias alterativas possíveis, a freqüêcia ou períodos de trasporte e as especificações quato a operação levado em cota os custos (fretes, riscos capital empatado, prêmios e multas, embalagem, armazeameto, capacidade dos meios etc.). Etre as áreas de utilização citam-se: abastecimeto, distribuição de produtos, trasporte de cargas ou pessoas etc.. c) Programas de Produção ou limitação de recursos os setores agrícolas, idustriais ou de serviços, como o seguite modelo típico: uma empresa oferece várias alterativas de serviços ou pode fabricar ou produzir vários bes; cohece-se as quatidades de isumos ecessários para a produção de uma uidade do bem ou serviço; cohece-se as restrições do mercado quato aos limites iferiores e superiores de produção ou demada do bem ou serviço; cohece-se as dispoibilidades dos isumos por parte da empresa; cohece-se o valor ou lucro uitário dos bes ou serviços a serem produzidos; deseja-se obter o melhor programa de produção que pode ser: maximizar os lucros, maximizar o volume de produção, maximizar ou miimizar o emprego de determiado isumo, miimizar o tempo ocioso de pessoas ou equipametos etc... PROBLEMA DE TRANSPORTE O Problema de Trasporte costitui uma das pricipais aplicações da PL para auxiliar o plaejameto e a operação de trasportes. O Problema pode ser formulado iicialmete da seguite forma: Cosiderado-se o trasporte de produtos de m origes, ode estão estocados, para destios, ode são ecessários. Cohecedo-se os custos uitários de trasporte de cada origem para cada destio (C ij custo uitário de trasporte da origem i para o destio j), deve-se decidir quato trasportar de cada origem para cada destio ( ij quatidade a ser trasportada da origem i para o destio j), de modo gastar o meos possível, ou seja, miimizar o custo total de trasporte. Cada uma das origes é dotada de a i uidades dispoíveis e, cada um dos destios requer b j uidades, todos iteiros e positivos. Cosiderar-se-á iicialmete que a oferta total é igual a demada total, isto é: a i = 5/0/07 - de 0 Módulo 4 - Problemas de Trasporte m O modelo matemático para este problema pode ser expresso da seguite forma: Miimizar: Sujeito a: z = j= m i= m i= j= ij ij = a = b C ij ij i j b j (i =,...,m) ( j =,...,) Com: todos os ij ão egativos e iteiros

3 Este modelo matemático pode ser represetado em forma de tabular coforme exposto a tabela.. Tabela. - Represetação do Problema de Trasporte O R I G E N S DESTINOS 3... Oferta C C C 3... C a 3 C C C 3... C a m C m C m C m3... C m a m m m m3 m Demada b b b 3... b Exemplo: Uma empresa tem fábricas em três locais diferetes, que abastecem quatro armazés distates us dos outros. As capacidades das fábricas em um certo período de tempo são, 90 e 5 e as ecessidades dos armazés, o mesmo período de tempo, são 50, 60, e 95. Os custos uitários para cada ecamihameto fábricaarmazém estão expostos a tabela a seguir. Tabela. - Tabela dos custos uitários de trasporte das origes para os destios Origes Destios A B C D Figura. - Represetação gráfica do problema Dispoibilidades das origes 90 5 Total = 75 3 C A =5 C C =6 C D =5 C 3A =5 C A =7 C 3D =7 C B =0 C B = C 3B =4 C 3C =5 C C =3 Dispoibilidades dos destios C D = A B C D 95 Total = 75 5/0/07-3 de 0 Módulo 4 - Problemas de Trasporte

4 A solução dos Problemas de Trasporte passa por quatro etapas:. Determiação de uma solução iicial básica;. Teste de solução quato à codição de ótimo; 3. Melhoria da solução quado ão é ótima; 4. Repetição das etapas e 3 até se obter a solução ótima... Métodos para determiação da Solução Iicial... Método do Cato Noroeste Começado-se pela célula superior esquerda (cato oroeste), aloca-se a tatas uidades quatas sejam possíveis, sem violar as restrições. Isto correspoderá ao meor dos dois valores a e b. Após, cotiua-se o algoritmo deslocado-se para a célula imediatamete à direita se aida restar alguma oferta ou, caso cotrário, para a célula imediatamete abaixo. A cada etapa aloca-se à célula em cosideração, tatas uidades quatas sejam possíveis sem violar as restrições: a soma das alocações da liha i ão pode exceder o valor de a i, a soma da colua j ão pode exceder o valor de b j e ehuma alocação pode ser egativa. Exemplo : Utilizado-se os dados do exemplo, determiar uma solução iicial utilizado o método do Cato Noroeste. A B C D Oferta Método de Vogel ou Método das Pealidades O método fucioa da seguite forma:. Calcula-se a pealidade para cada uma das lihas e coluas. Escolhe-se a liha ou colua que apreseta a maior pealidade. Caso haja mais de uma, escolhese qualquer uma delas;. Aloca-se o máximo possível de quatidade para a célula de meor custo da liha ou colua escolhida o passo aterior. Isso torará a dispoibilidade da liha ou colua a qual tal célula pertece, igual a zero. Elimiar esta liha ou colua do restate do processo e 3. Repetir os passos e até que todos os trasportes teham sido realizados Cosidera-se "pealidade de uma liha ou colua" a difereça positiva etre os dois custos de meor valor a liha ou colua. 5/0/07-4 de 0 Módulo 4 - Problemas de Trasporte

5 Exemplo 3: Utilizado-se os dados do exemplo, determiar uma solução iicial utilizado o método de Vogel. Coforme descreve o primeiro passo, deve-se calcular as pealidades e idetificar as maiores. A B C D Oferta Pealidade (3-) (-5) (5-4) Pealidade 0 (5-5) 6 (0-4) (5-3) 5 (7-) As maiores pealidades estão a liha e a colua B, pois essas obtiveram pealidades iguais a seis. Deve-se etão escolher etre a liha ou a colua, pois as potuações são iguais. Optou-se pela liha. Nesta liha, a célula de meor custo é a que correspode à colua A (quize). Aloca-se, portato, 50 para tal célula e elimia-se a colua A dos passos seguites. Devem-se etão recalcular as pealidades. A B C D Oferta Pealidade (3-) (5-) (5-4) Pealidade 0 (5-5) 6 (0-4) (5-3) 5 (7-) A colua B apreseta a maior pealidade (seis). Nesta colua, a célula de meor custo é a que correspode à liha 3 (custo igual a 4). Aloca-se, portato, 60 para tal célula e elimia-se a colua B dos passos seguites. A B C D Oferta Pealidade (3-) (6-5) (7-5) Pealidade 0 (5-5) 6 (0-4) (5-3) 5 (7-) 5/0/07-5 de 0 Módulo 4 - Problemas de Trasporte

6 As tabelas a seguir represetam os passos seguites até que todos os trasportes estejam fializados. A B C D Oferta Pealidade Pealidade (5-5) (0-4) (6-5) (5-7) (3-) 90 (6-5) 5 (7-5) 3 A B C D Oferta Pealidade Pealidade (5-5) (0-4) (6) (5) (3-) 90 (6-5) 5 (7-5) 3 A B C D Oferta Pealidade Pealidade (5-5) (0-4) (6) (5) (3-) 90 (6-5) 5 (7-5) 5/0/07-6 de 0 Módulo 4 - Problemas de Trasporte

7 3 A B C D Oferta Pealidade /0/07-7 de 0 Módulo 4 - Problemas de Trasporte Pealidade (5-5) (0-4) (6) (5) A solução fial está expressa a tabela a seguir: Tabela.3 - Solução Iicial (3-) 90 (6-5) 5 (7-5) A B C D Oferta Evolução para a Solução Ótima Determiada a solução iicial, ecessita-se verificar se esta pode ser melhorada. Por itermédio da tabela.3 que represeta a solução iicial, devem-se idetificar as variáveis básicas e ão básicas. As primeiras são idetificadas pelas células que têm valores alocados e as segudas, o iverso. Observa-se a tabela.3 que as variáveis básicas são: D, A, C, D, 3B e 3C. As variáveis ão básicas são: A, B, C, B, 3A e 3D. A seguir serão descritos os passos para avaliação da existêcia de uma solução melhorada. º passo: devem-se calcular os pesos para todas as lihas e as coluas, cosiderado que a soma etre os pesos de cada liha e de cada colua é igual ao custo alocado a respectiva célula (liha x colua). Iicialmete atribui-se zero à uma liha ou colua (geralmete a primeira liha) que coteha uma variável básica. O exemplo a seguir demostra a alocação deste peso a liha colua D (célula com custo ) Pesos

8 Os próximos pesos terão a mesma seqüêcia de cálculo, coforme expresso a próxima tabela Pesos Seguido esta forma de cálculo chega-se a seguite tabela de pesos: Pesos 3 º passo: utilizado-se os valores dos pesos, calcula-se para cada variável ão básica a quatidade expressa pela seguite fórmula: Custo (liha x colua) - peso da liha - peso da colua Calculado-se para a primeira variável ão básica (A), temos o seguite resultado: Custo A - Peso - Peso A = = 5 Para as demais lihas x coluas os resultados são: A B C D 7-0-=5 0-0-= =0-3-= = 7--=3 Se todas as quatidades calculadas forem ão egativas, a solução presete é a ótima. Caso algus dos valores forem egativos, deve-se utilizar como referêcia para o próximo passo o valor mais egativo. A célula que abriga este valor deverá ser trasformada em uma variável básica o lugar de uma das variáveis básicas da última solução. Neste caso a célula B obteve -4 como resultado, demostrado a ecessidade da cotiuidade do processo para idetificação da solução ótima. 5/0/07-8 de 0 Módulo 4 - Problemas de Trasporte

9 3º passo: para saber quais das variáveis básicas devem ser substituídas pela variável ão básica B, deve-se motar um circuito de compesação etre as variáveis básicas, a partir da variável que deverá etrar e seguido alteradamete a direção da liha e a direção da colua, subtraido-se e somado-se o valor de etrada (a pricípio um valor ), até o retoro à variável de etrada. Com este procedimeto as restrições de liha e colua ficam satisfeitas Pesos 3 4º passo: escolher para a variável que está sedo trasformada em básica (que cotém ) o maior valor possível, sem torar ehuma variável básica egativa. Esse valor correspode ao meor valor etre as células do circuito ode o valor de etrada () estiver sedo subtraído. Esta ova alocação forma uma ova cofiguração que pode ser a solução ótima. A B C D Oferta º passo: voltar ao passo até que a solução seja ótima. Exercício: complete o exemplo aterior seguido os passos a 5 até obter a solução ótima. Recalculo dos pesos Pesos 8 9 5/0/07-9 de 0 Módulo 4 - Problemas de Trasporte

10 Idetificação da egatividade da variável ão básica A B C D 7-0-= = 3-0-9= = =7 7-6-=- Motagem do circuito Pesos 8 9 Recalculo dos pesos Pesos Idetificação da egatividade da variável ão básica A B C D 7-0-3= = 3-0-0=3 6--0=4 5--= =7 Verifica-se que ão existem mais resultados egativos expressos a tabela aterior, cocluido-se que a solução ótima é: A B C D Oferta /0/07-0 de 0 Módulo 4 - Problemas de Trasporte