MATEMÁTICA A PREPARAR O EXAME. 12.º ano Ensino Secundário Ana Martins Helena Salomé Liliana dos Prazeres Silva José Carlos da Silva Pereira

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1 MATEMÁTICA A PREPARAR O EXAME 12.º ao Esio Secudário Aa Martis Helea Salomé Liliaa dos Prazeres Silva José Carlos da Silva Pereira

2 4 ÍNDICE CAPÍTULO I CONTEÚDOS DE 10.º E 11.º ANOS LÓGICA E TEORIA DOS CONJUNTOS 10 Questões resolvidas 12 Questões propostas 13 RADICAIS E POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL 16 Questões resolvidas 18 Questões propostas 20 GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO E NO ESPAÇO 23 Questões resolvidas 26 Questões propostas 30 CÁLCULO VETORIAL NO PLANO E NO ESPAÇO 34 Questões resolvidas 41 Questões propostas 49 SUCESSÕES 58 Questões resolvidas 60 Questões propostas 66 LIMITES DE SUCESSÕES 72 Questões resolvidas 74 Questões propostas 78 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 81 Questões resolvidas 83 Questões propostas 88 LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 92 Questões resolvidas 97 Questões propostas 101 CONTINUIDADE 103 Questões resolvidas 104 Questões propostas 105 ASSÍNTOTAS AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 106 Questões resolvidas 108 Questões propostas 111 DERIVADA DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 114 Questões resolvidas 117 Questões propostas 123

3 ÍNDICE 5 ESTATÍSTICA 128 Questões resolvidas 133 Questões propostas 137 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 141 Questões resolvidas 150 Questões propostas 157 SOLUCIONÁRIO 161 CAPÍTULO II CÁLCULO COMBINATÓRIO. PROBABILIDADES OPERAÇÕES SOBRE CONJUNTOS 166 Questões resolvidas 168 Questões propostas 169 CÁLCULO COMBINATÓRIO. TRIÂNGULO DE PASCAL. BINÓMIO DE NEWTON 170 Questões resolvidas 174 Questões propostas 182 ESPAÇOS DE PROBABILIDADE. REGRA DE LAPLACE. PROBABILIDADE CONDICIONADA 187 Questões resolvidas 189 Questões propostas 199 PREPARAR O EXAME Ites de escolha múltipla 209 Ites de resposta aberta 216 SOLUCIONÁRIO 229

4 6 ÍNDICE CAPÍTULO III FUNÇÕES LIMITES E CONTINUIDADE 232 Questões resolvidas 234 Questões propostas 240 DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 243 Questões resolvidas 244 Questões propostas 249 TRIGONOMETRIA E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 251 Questões resolvidas 255 Questões propostas 268 JUROS COMPOSTOS E NÚMERO DE NEPER 276 Questões resolvidas 277 Questões propostas 278 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 279 Questões resolvidas 283 Questões propostas 297 PREPARAR O EXAME Ites de escolha múltipla 305 Ites de resposta aberta 321 SOLUCIONÁRIO 353 CAPÍTULO IV NÚMEROS COMPLEXOS NÚMEROS COMPLEXOS 362 Questões resolvidas 370 Questões propostas 384 PREPARAR O EXAME Ites de escolha múltipla 389 Ites de resposta aberta 394 SOLUCIONÁRIO 402

5 ÍNDICE 7 CAPÍTULO V PRIMITIVAS E CÁLCULO INTEGRAL PRIMITIVAS E CÁLCULO INTEGRAL Questões resolvidas Questões propostas SOLUCIONÁRIO CAPÍTULO VI EXAMES-TIPO EXAME-TIPO EXAME-TIPO EXAME-TIPO EXAME-TIPO EXAME-TIPO SOLUCIONÁRIO

6 60 CONTEÚDOS DE 10.º E 11.º ANOS 3. Progressões aritméticas e geométricas Defiição logo Progressões aritméticas de razão r R u 1 = a u + 1 = u + r, N u + 1 u = r, N Progressões geométricas de razão r R u 1 = a u + 1 = u r, N logo u + 1 u = r, N Termo geral u = u 1 + r ( 1) ou u = u p + r ( p ) u = u 1 r 1 ou u = u p r p Soma dos primeiros termos Propriedades S N = u 1 + u N N S 2 N = u 1 1 r N 1 r Se r < 0, ( u ) é decrescete e ão limitada. Se r = 0, ( u ) é costate e limitada. Se r > 0, ( u ) é crescete e ão limitada. Se r < 1, ( u ) é ão moótoa e ão limitada. Se 1 r < 0, ( u ) é ão moótoa e limitada. Se r = 1, ( u ) é costate e limitada Se 0 < r < 1 e a > 0, ( u ) é decrescete e limitada. Se 0 < r < 1 e a < 0, ( u ) é crescete e limitada. Se r > 1 e a > 0, ( u ) é crescete e ão limitada. Se r > 1 e a < 0, ( u ) é decrescete e ão limitada. QUESTÕES RESOLVIDAS 1 Acerca da sucessão ( d ), tal que d = 1, qual das afirmações é verdadeira? (A) 1 d < 0, N (C) A sucessão é moótoa decrescete (B) d 1, N (D) A sucessão ão é moótoa Proposta de resolução d + 1 d = = ( + 1) = 1 ( + 1) > 0, N, logo ( d ) é uma sucessão moótoa crescete. > 0 d 1 = - 1 e a sucessão é crescete, logo d 1, N. Como - 1 < 0, N, vem que d < 0. Assim, 1 d < 0, N. Resposta: A

7 SUCESSÕES 61 2 Na figura estão represetados os três primeiros termos de uma sequêcia de figuras. Cosidera a sucessão, ( c ), do úmero de círculos em cada figura. 2.1 Qual é o termo geral da sucessão ( c )? 2.2 Determia o termo de ordem Prova que esta sucessão é moótoa crescete. 2.4 Mostra que esta sucessão é miorada e determia o maior dos miorates. Proposta de resolução 2.1 O termo geral da sucessão do úmero de círculos cor-de-rosa é. Em relação à sucessão do úmero de círculos bracos tem-se que: o 1. termo é = 8, o 2. termo é = 10, o 3. termo é = 12, o -ésimo termo é ( + 2) + ( + 2) = Portato, o termo geral do úmero total de círculos é dado por = Logo c = O termo de ordem 5, c 5, é c 5 = = c + 1 c = 3 ( + 1) + 6 (3 + 6) = 3. Assim, c + 1 c > 0, N, pelo que a sucessão é moótoa crescete. 2.4 Como ( c ) é crescete, c c 1, N, pelo que c 1 = 9 é o maior dos miorates. 3 Cosidera a sucessão ( u ) defiida por u = k + 3, k R Determia o valor de k sabedo que u 1 = Estuda a sucessão quato à mootoia. 3.3 Será esta sucessão limitada? Justifica a tua resposta. Proposta de resolução 3.1 u 1 = 1 k = 1 k = 1 k + 3 = 2 k = 5 5 ( + 1) u + 1 u = = ( + 1) = = = 6 2 (2 + 2) 2 (2 + 2) 6 Como 2 (2 + 2) > 0, vem que 2 (2 + 2) < 0 e, portato, u + 1 u < 0, N. Logo, ( u ) é uma sucessão moótoa decrescete.

8 304 MATEMÁTICA 12.º ANO 35 Uma empresa que produz pilhas vai laçar um ovo modelo. Dos estudos de mercado realizados cocluiu-se que o custo de produção de cada uidade desde ovo modelo aumeta 8% a cada seis meses. Admite que o custo iicial é de a euros e seja C a fução que dá o custo de produção de cada uidade desta pilha em fução de t, tempo medido em aos, a partir do istate em que a produção se iicia Mostra que C (t) = a (1,08) 2t e determia ao fim de quato tempo o custo de produção de cada uidade desta pilha duplica. Apreseta o resultado em aos e meses, com os meses arredodados às uidades Admite agora que a = 2. O mesmo estudo refere também que o preço de veda de cada uma destas pilhas deve variar de acordo com a fução p (t) = 0,01t 2 + 0,6t + 3 e que o úmero que pilhas vedidas, em milhares, é dado por N (t) = 3 e 0,8t, sedo t o tempo medido em aos a partir do istate em que a produção se iicia. Utilizado a calculadora gráfica, resolve as alíeas seguites. a. Ao fim de quato tempo deixarão de dar lucro a produção e veda destas pilhas? Apreseta o resultado em aos e meses, com os meses arredodados às uidades. b. Ao fim de quato tempo é máximo o lucro de veda destas pilhas? Idica esse valor. Apreseta o tempo em aos e meses, com os meses arredodados às uidades e o valor do lucro máximo em euros. 36 A figura represeta um túel sobre uma estrada. f(x) Cosidera a fução f defiida por f (x) = a b ( e 0,25x 1,5 + e 0,25x + 1,5 ), a e b R +. x Admite que f (x) é a distâcia ao arco, em metros, do poto da estrada que se situa a x metros do pilar da esquerda, com x [0, 12] Sabedo que a altura dos pilares é de 6,59 metros e que a distâcia ao arco do poto da estrada que se situa a 4 metros do pilar da direita é de 11,49 metros, determia os valores de a e de b. Apreseta os valores de a e de b arredodados às uidades. No caso de fazeres arredodametos os cálculos itermédios, utiliza o míimo duas casas decimais Cosidera agora que a = 16 e b = 2. a. Determia os valores de x para os quais a altura do arco é de 8 metros. Apreseta os resultados arredodados às cetésimas. b. Determia a altura máxima do arco.

9 PREPARAR O EXAME 305 PREPARAR O EXAME Ites de escolha múltipla Na resposta a cada uma das questões deste grupo, selecioa a úica resposta correta. 1 Sejam ( u ) e ( v ) duas sucessões tais que u 2 para 300, v ( u ) 2 1. u Qual ão pode ser o valor de lim v? (A) 1 2 (C) 3 2 (B) 1 (D) 2 2 Cosidera as sucessões ( u ) e ( v ) tais que: u = Sabedo que para 1000 se tem v u, qual é o valor de lim v? (A) (B) 0 (C) 1 (D) + 3 Sejam ( u ), ( v ) e ( w ) três sucessões tais que lim v = 0, lim w = 2 e para 10 6 tem-se v + 2 w u ( w ) 1. Qual é o valor de lim 4 u? (A) (C) 2 (B) 1 (D) + 4 Qual é o valor de lim 2 + cos ()? 1 2 (A) (B) 1 (C) 1 (D) + 5 Sejam g a fução de domíio R\ { 3, 0} defiida por g (x) = 1 e x + 3 e h uma fução real x (x + 3) 2 de variável real tal que h (x) g (x) x < 3. Qual é o valor de lim h (x)? x 3 (A) (B) 0 (C) 1 (D) + 6 Seja f uma fução de domíio R +, estritamete decrescete, tal que a reta de equação y = 2 é assítota horizotal ao seu gráfico. De uma fução g, de domíio R +, sabe-se que (f (x) ) 2 g (x) f (x) + 6, x 1. Qual é o valor de lim 2g (x) 8 x + l (g (x) 3)? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 7 Seja f a fução de domíio R defiida por f (x) = se x 1 x Seja g uma fução de domíio R tal que x R, 0 f (x) g (x) e lim g (x) = 0 x Qual das seguites pode ser a expressão aalítica da fução g? x (A) x (C) x x (B) 1 x (D) 3 x Sejam f e g duas fuções de domíio R tais que: g é cotíua em R e x < 3 g (x) > 0 ( f g ) (2) > 0, ( f g ) (2) = 2 e g (4) = g (2) Qual das seguites afirmações ão é ecessariamete verdadeira? (A) c ] 2, 4 [ : g (c) = 0 (B) c ] 2, 4 [ : g (c) = 2 (C) c ] 2, 4 [ : g (c) = 3 (D) c ] 2, 4 [ : g (c) = 1 CPE-PEM12_F20