Exercícios Complementares 1.2

Transcrição

1

2 Exercícios Comlemetares 1. 1.A Dê exemlo de uma seqüêcia fa g ; ão costate, ara ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e crescete (c) limitada e ão moótoa (e) ão limitada e ão moótoa (b) limitada e decrescete (d) ão limitada e ão crescete (f) moótoa e ão limitada. 1.B Em cada caso abaixo, ecotre os quatro rimeiros termos da seqüêcia: (a) a = 1 (b) b = + 1 (c) c = ( 1) : 1 1.C Esboce o grá co da seqüêcia de termo geral a = + 1 e veri que quatos otos da forma (; a ) estão fora da faixa horizotal determiada elas retas y = 4=5 e y = 6=5: crescete. 1.D Dê exemlo de uma seqüêcia limitada e ão moótoa que ossui uma subseqüêcia 1.E Exresse elo seu termo geral cada seqüêcia dada abaixo: (a) 1; 1=; 1=3; 1=4; : : : (b) 1=; 1=4; 1=8; 1=16; : : : (c) 1; 0; 1; 0; 1; : : : (d) 0; ; 0; ; 0; ; 0; : : : (e) 1; 9; 5; 49; 81; : : : (f) 0; 3; ; 5; 4; : : : (g) ; 1; 3=; 1; 4=3; 1; : : : (h) 0; 3=; =3; 5=4; 4=5; : : : (i)1; 3=; ; 5=; 3; : : : (j) 4; ; 4; ; : : : (k) 1=; 1=4; 1=6; 1=8; : : : (l) 1; 10; ; 10 ; 3; 10 3 ; : : : 1.F Classi que as seqüêcias do Exercício 1.E quato à limitação e mootoia e selecioe de (e), (f) e (l) uma subseqüêcia crescete. Qual daquelas seqüêcias ossui um subseqüêcia costate? Recorde-se que: (i) toda seqüêcia é uma subseqüêcia dela rória e (ii) uma seqüêcia ossui uma subseqüêcia costate quado essa costate se reetir uma i idade de vêzes! 1.G Cosidere as fuções f (x) = cos x, g (x) = se x e h (x) = (1 + x) 1. Ecotre exressões ara as derivadas de ordem dessas fuções, o oto x = 0.

3 SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS CAP. 1 1.H Determie o su e o if das seguites seqüêcias: + ;! ; ; ; fl g ; ; f( ) g : + 1.I Dê exemlo de uma seqüêcia fa g ão costate, crescete e limitada sueriormete. Por observação de seus termos, estude o comortameto da seqüêcia quado! 1: Faça a mesma aálise com uma seqüêcia decrescete e limitada iferiormete. 1.J Dê exemlo de uma seqüêcia fa g cuja distâcia etre quaisquer dois termos cosecutivos é igual 4. 1.K Dê exemlo de uma seqüêcia fa g com as seguites características: os termos de ordem ar estão etre 3 e 4, os termos de ordem ímar estão etre 4 e 5, mas todos se aroximam do úmero 4, à medida que o ídice vai aumetado. 1.L Cosidere a seqüêcia de termo geral a = se (+) 3. Escreva os 10 rimeiros termos da seqüêcia (a ) e calcule a 01 : Exercícios Comlemetares A Falso ou verdadeiro? Procure justi car as a rmações falsas com um cotra-exemlo. (a) toda seqüêcia covergete é limitada; (b) toda seqüêcia limitada é covergete; (c) toda seqüêcia limitada é moótoa; (d) toda seqüêcia moótoa é covergete; (e) a soma de duas seqüêcias divergetes é divergete; (f) toda seqüêcia divergete é ão moótoa; (g) se uma seqüêcia covergete ossui uma i idade de termos ulos, seu limite é zero; (h) toda seqüêcia divergete é ão limitada; (i) se uma seqüêcia ossui uma subseqüêcia covergete, ela rória coverge; (j) toda seqüêcia alterada é divergete;

4 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 3 (k) toda seqüêcia decrescete limitada é covergete e seu limite é zero; (l) se uma seqüêcia fa g diverge, etão fja jg também diverge; (m) se a seqüêcia fja jg coverge etão fa g também coverge; () se a seqüêcia fja jg coverge ara zero, etão fa g também coverge ara zero; (o) se a b ; 8; fa g crescete e fb g covergete, etão fa g coverge; () se fa g é covergete, etão f( 1) a g também coverge; (q) a seqüêcia fa g de ida or a 1 = 1 e a +1 = a + 1 é covergete; (r) a seqüêcia fa g de ida or a 1 = 1 e a +1 = 1 a é covergete; (s) se a 6= 0; 8; e lim a +1!1 a = l < 1, etão lim a = 0:!1 1.4B Dê exemlo de duas seqüêcias fa g e fb g tais que lim!1 a = 0 e fa b g seja divergete. Por que isso ão cotradiz o Critério 1.3.9? 1.4C Usado a de ição de limite, rove que: (a) lim!1 1 = (d) lim!1 + 3 = 1 3 se 5 + (b) lim = 0 (c) lim!1!1 (e) lim!1 5 = 0 (f) lim + 3!1 1.4D Calcule o limite das seguites seqüêcias: (a) (f) (k) 1 () a ; a > = = : (b) se (c) l 4 3 e (d) + 5 6! + e (g) 5 (h)! e e (i) (l) (q) (e) + 1 (j) (m) e () + (o) ( ) ( ) +1 (r)! 3 +1 (s) ( + 1) E Em cada caso veri que se a seqüêcia é covergete ou divergete: (t) + 3 se +

5 4 SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS CAP. 1 (a) + 1 (b)! (c) (d) 1 + (e) (i)! (f) ( 1) (j) (g) (k) ::: ( 1)! (h) + ( 1)! ::: ( 1) (l) l ( + 1) (m) l (e 1) () 1 + ( 1) (o) () se (=) 1.4F Prove que lim!1 (3 + 4 ) 1= = 4. Se a; b 0; mostre que lim!1 (a + b ) 1= = max fa; bg : 1.4G Se jrj < 1, use o Critério da Razão ara mostrar que lim!1 r = 0: Se r > 1, mostre que lim!1 r = 1: E se r < 1? 1.4H Mostre que 1 + r + r + + r 1 (1 r) = 1 r. Se jrj < 1; use essa relação e deduza que lim 1 + r + +!1 r 1 = 1 1 r : Agora, ideti que a seqüêcia ; q ; ; : : : com aquela de termo geral a = e calcule seu limite. 1.4I Seja fb g uma seqüêcia covergete, com b 6= 0; 8; e lim!1 b 6= 0: A artir da de ição de limite, mostre que a sequêcia f1=b g é limitada. Isto foi usado a demostração da Proriedade 1.3.7(e). 1.4J Mostre que lim hse(!1 ) se( 3 ) se( 4 ) : : : se( i ) = 0: (ão use o roduto de limites!) 1.4K Cosidere a seqüêcia cujos termos são de idos ela recorrêcia: a 1 = 5 e a +1 = a : Estes termos odem ser gerados em uma calculadora, itroduzido-se o úmero 5 e ressioado-se a tecla x. (a) Descreva o comortameto de fa g quado aumeta; (b) Coveça-se de que a = 5 1= e calcule lim!1 a : 1.4L Em uma calculadora uma seqüêcia é gerada itroduzido-se um úmero e ressioadose a tecla 1=x. Em que codições a seqüêcia tem limite?

6 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 5 1.4M Seja f : R! R uma fução derivável com f (0) = 0: Calcule lim f( 1 ). Quato vale!1 lim arctg( 1!1 )? 1.4N Seja f : R! R uma fução derivável tal que f (x) > 1; 8x; e lim exemlo de uma tal fução e calcule o limite da seqüêcia a = l (1 + f ()) : f () x!1 f (x) = 0: Dê 1.4O Cosidere a seqüêcia (a ) de ida ela recorrêcia: a 1 = 1 e a = a 1 + cos a 1 ; ara. Mostre que (a ) é moótoa limitada e, ortato, covergete e que lim a = =: 1.4P Uma oulação estável de ássaros vive em três ilhas. Cada ao, 10% da oulação da ilha A migra ara ilha B, 0% da oulação da ilha B migra ara a ilha C e 5% da oulação da ilha C migra ara ilha A. Deotado or A ; B e C, resectivamete, os úmeros de ássaros as ilhas A; B e C, o -ésimo ao ates da ocorrêcia da migração e admitido a covergêcia das seqüêcias fa g ; fb g e fc g, dê uma aroximação do úmero de ássaros em cada ilha aós muitos aos. Exercícios Comlemetares A Use o Método de Idução Fiita ara rovar as seguites relações: (a) ::: + ( 1) = ; (b) ::: + = 1 ( + 1) ( + 1); 6 ( + 1) (c) ::: + 3 = ; (d) ::: + ( 1) = 1 3 (43 ); (e) (1 + x) 1 + x 1 + x 4 1 x +1 ::: 1 + x = ; o oto de artida é = 0; 1 x " # P (k + 1) + 1 (f) l = l + l : k (k + ) + k=1 1.6B Mostre que + 5 é divisível or 6. (sug. use o Exemlo 1.5.3). 1.6C Uma fução f : R! R satisfaz a: f(xy) = f (x)+f(y); 8x; y. Prove que f (a ) = f (a) :

7 6 SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS CAP D Reresete or ositivos e k : Mostre que: + 1 (a) + = ; k 1 k k (b) (x + y) P = x k y k. k k=0 o coe ciete biomial k 1.6E Demostre a seguite regra de Leibiz ara derivação: [fg] () = X k=0!, ode k e são úmeros iteiros k! ( k)! f ( k) g (k) : k 1.6F Seja r 0 um úmero real. Mostre que (1 + r) 1 + r + artir daí a desigualdade de Beroulli: (1 + r) 1 + r: ( 1) r e deduza a 1.6G Se r é um úmero real 6= 1, mostre que 1 + r + r + ::: + r 1 = 1 r : De forma mais 1 r geral, você ode demostrar que se x e y são úmeros reais, etão: 1.6H Mostre que x y = (x y) x 1 + x y + + xy + y 1 ; N: : : : ( 1) 4 6 : : : () 1 ; 8 N: x 1.6I Mostre que lim x!1 (l x) = 1; 8 = 0; 1; ; 3; : : : 1.6J Uma seqüêcia fb g é de ida or: b 1 = 1 e b = (1 ) b 1 ; : Use o Método de Idução Fiita e rove que b = ( 1)! : 1.6K Cosidere a seqüêcia de Fiboacci: a 1 = 1; a = 1 e a = a 1 + a ; ara 3. Mostre que a = 1 h L Cosidere a seqüêcia a = ( + 1)! 1 5 i : e mostre or idução que a 1 + a + a 3 + : : : + a = 1 1 ( + 1)! :

8 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 7 1.6M Em cada caso abaixo, ecotre o rimeiro iteiro ositivo 0 ara o qual a seteça é verdadeira e, usado a extesão do Método de Idução, rove que a seteça matemática é verdadeira ara qualquer úmero iteiro maior do que 0 : (a) 10 (b) (c) 5 + log (d) + (e)! (f) + 1 (g) log + 9 (h) :

9 8 SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS CAP. 1 Resostas e Sugestões Exercícios 1. o 1.A (a) +1 (b) 1 (c) f( 1) g (d) f g (e) f( 1) g (f) fg 1.B (a) 1; 1=3; 1=5; 1=7 (b) 1; 3 ; 3; 5 (c) 1; ; 3; 4 1.C Os termos a 1 ; a e a 3 estão fora da faixa; o termo a 4 está a froteira e a artir do quito todos os termos estão detro da faixa. 1.D A seqüêcia a = ( 1) é limitada e ão moótoa e a subseqüêcia a 1 = é crescete. 1.E 1 1 (a) 1= (b) 1= (c) [1 + ( 1) +1 ]= (d) 1 + ( 1) (e) ( 1) (f) ( 1) + (g) ( 1) [1 + ( 1) +1 ] (h) ( 1) +1= (i) + 1 (j) 3+( 1) (k) ( 1)+1 (l) [1 + ( 1) ] 10= + 1.F Limitada: (a), (b), (c), (d), (g), (j) e (k); Crescete: (d); Decrescete: (a) e (b). Em (e), (f) e (l) as subseqüêcias ares são crescetes e (c), (d), (g) e (j) são as úicas que ossuem subseqüêcias costates. 1.G f () (0) = cos(=); g () (0) = se(=); h () (0) = ( 1)! 1.H + =! =(3 4) ( ) 1 1= l 3 = + su if = 1.I A seqüêcia de termo geral a = é crescete limitada e seus termos se aroximam + 1 de 1, quado tede ara 1: 1.J a = ( 1) 1.K a = 4 + ( 1) +1 =. Exercícios A (a) V (b) F (c) F (d) F (e) F (f) F (g) V (h) F (i) F (j) F (k) F (l) F (m) F () V (o) V () F (q) V (r) F (s) V

10 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 9 1.4B Cosiderado as seqüêcias a = 1= e b = ; etão a seqüêcia a b = é divergete com limite 1. Nesse caso, a seqüêcia b ão é limitada, como exige o Teorema D (a) 1 (b) (c) 0 (d) 4 (e) 1 (f) 3 e (g) 1/5 (h) 0 (i) 3= (j) e (k) 1 (l) 0 (m) 0 () 1 (o) 0 () 1 (q) 1/3 (r) 1 (s) 0 (t) 0 1.4E (a) D (b) C (c) C (d) C (e) C (f) C (g) C (h) C (i) D (j) C (k) C (l) D (m) C () C (o) D 1.4H Para comrovar a relação 1 + r + r + + r 1 (1 r) = 1 r é su ciete distribuir o roduto do lado esquerdo. Se jrj < 1, etão r! 0 e, sedo assim, lim r + r + + r = r 1 r. Para r = 1=, obtemos lim = 1 e, coseqüetemete, lim a = : 1.4L A seqüêcia covergirá se o úmero r itroduzido a calculadora for igual a 1: 1.4M Usado a de ição de derivada, é fácil deduzir que lim f 0 (1=) = f 0 (0) : Para f (x) =!1 arctg x; temos f 0 (x) = x e daí f 0 (0) = 1: Assim, lim arctg(1=) = 1:!1 1.4N A fução f (x) = ex 1=x, ara x 6= 0 e f (0) = 0 atede às codições exigidas e lim a = 1: 1.4P Temos que A +1 = 0:9A + 0:05C ; B +1 = 0:1A + 0:8B e C +1 = 0:95C + 0:B. Deotado, resectivamete, or A; B e C os limites das seqüêcias fa g ; fb g e fc g, ecotramos a ilha A, a ilha B e a ilha C.