O Teorema Fundamental da Aritm etica

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1 8 O Teorema Fudametal da Aritm etica Vimos, o cap ³tulo 5, o teorema 5.1, que estabelece que os primos positivos s~ao os blocos usados para costruir, atrav es de produtos, todos os iteiros positivos maiores que 1. Mais precisamete, o teorema 5.1 estabelece que Todo iteiro positivo, maior que 1, ou e um umero primo ou e um produto de iteiros positivos todos primos. Neste cap ³tulo estabeleceremos aida que essa decomposi»c~ao, em fatores primos positivos, e uica, a meos da ordem dos fatores. Daremos aida caracteriza»c~oes do m aximo divisor comum e do m ³imo m ultiplo comum de dois iteiros, a partir das decomposi»c~oes, desses iteiros, em fatores primos positivos. Teorema 8.1 (Teorema Fudametal da Aritm etica) Todo iteiro, 2, pode ser escrito a forma m = p 1 p s, para certos primos positivos p 1 ;::: ;p s,coms 1 e p 1 ::: p s. Al em disso, os fatores primos p 1 ;::: ;p s, satisfazedo as codi»c~oes acima, s~ao uicos, isto e, se q 1 ;::: ;q r s~ao tamb em primos positivos com q 1 ::: q r e = q 1 q s,et~ao = s e, al em disso, p 1 = q 1 ;::: ;p = q. Exempli cado o teorema fudametal da aritm etica, temos as seguites fatora»c~oes de iteiros, com os fatores primos escritos em ordem ~ao decrescete: 342 = = = = = = : 65

2 O Teorema Fudametal da Aritm etica 66 Aexist^ecia da decomposi»c~ao de, 2, em fatores primos, j a foi estabelecida pelo teorema 5.1, cap ³tulo 5. Para completar a demostra»c~ao do teorema 8.1, resta demostrar que a decomposi»c~ao de, em fatores primos, as codi»c~oes euciadas pelo teorema, e uica. Para tal, a seguite proposi»c~ao, j a euciada e demostrada o cap ³tulo 6, e usada como pr e-requisito prelimiar. Proposi»c~ao 6.4 Sejam a, b e p iteiros, com p primo. Se p j ab et~ao p j a ou p j b (podedo ser fator de ambos, a e b). Como corol ario da proposi»c~ao 6.4, temos o seguite lema. Lema 8.1 Sejam p; a 1 ;::: ;a umeros iteiros com 2 e p primo. Se p j (a 1 a 2 a ) et~ao p j a i para algum ³dice i, i 2f1; 2;::: ;g. Demostra»c~ao por idu»c~ao sobre. Para =2, o corol ario e verdadeiro, pela proposi»c~ao 6.4. Seja k um iteiro, com k 2, e supohamos que a a rma»c~ao do corol ario seja verdadeira para = k, isto e, supohamos que se p e primo,ep divide um produto de k umeros iteiros, et~ao p divide ao meos um dos fatores. Cosideremos et~ao um produto de k +1iteiros a 1 a 2 a k a k+1 e supohamos que p j (a 1 a 2 a k a k+1 ).Et~ao p j (a 1 a 2 a k )a k+1. Pela proposi»c~ao 6.4, p j (a 1 a 2 a k ) ou p j a k+1. Logo, p j a j para algum j 2f1;::: ;kg (pela hip otese de idu»c~ao) ou p j a k+1, e assim a propriedade euciada tamb em se aplica ao produto de k +1iteiros. Pelo primeiro pric ³pio de idu»c~ao ita, o lema est a demostrado. Fializa»c~ao da demostra»c~ao do Teorema Fudametal da Aritm etica. Demostra»c~ao da uicidade a fatora»c~ao de, 2. Supohamos que existe um iteiro positivo, 2, que se escreve como produto de fatores primos positivos de duas maeiras diferetes, isto e, supohamos = p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q r sedo p 1 ;p 2 ;::: ;p r ;q 1 ;q 2 ;::: ;q s primos positivos, com p 1 p 2 p r e q 1 q 2 q s. Cacelado os fatores primos que aparecem em ambos os lados da igualdade p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q r, como as duas fatora»c~oes de s~ao supostamete distitas, chegaremos a uma igualdade p i1 p i2 p iu = q j1 q j2 q jv com u 1 e v 1, a qual cada um dos primos do lado esquerdo e diferete de cada um dos primos do lado direito, ou seja, os membros µa esquerda e µa direita~ao tem mais fatores primos comus.

3 O Teorema Fudametal da Aritm etica 67 Assim sedo, temos que p i1 divide o produto q j1 q j2 q jv. Pelo lema 8.1, temos que p i1 divide um dos fatores q j1, q j2, :::, q jv, o que e imposs ³vel, visto que cada um desses fatores e primo e diferete de p i1. Portato, a fatora»c~ao de em primos positivos e uica. Corol ario 8.1 Para cada iteiro,com 2, existem primos positivos p 1, :::, p s,com s 1 e p 1 <:::<p s se s 2, e iteiros positivos 1 ;::: ; s tal que = p 1 1 p s s. Tal represeta»c~ao de e uica. Demostra»c~ao. Pelo teorema fudametal da aritm etica, e umprodutodefatores primos, q 1 q r,comq 1 ::: q r (r 1). Agrupado-se os fatores primos repetidos a forma de pot^ecias de primos, temos a represeta»c~ao euciada este corol ario. Ademais, pelo teorema fudametal da aritm etica, tal represeta»c~ao e uica. Proposi»c~ao 8.1 Seja m um iteiro, m = p 1 1 p,com 1 e p 1;::: ;p primos positivos com p 1 <:::<p se 2 e 1 ;::: ; iteiros positivos. Et~ao cada iteiro a, divisor de m, e da forma a = p 1 1 p com 1;::: ; iteiros satisfazedo ;::: ;0. Demostra»c~ao. Se a j m, et~ao m = a c para um certo iteiro positivo c. Assim, os evetuais fatores primos de a (evetuais, pois podemos ter a =1) s~ao fatores primos de m. Ou seja, o cojuto de fatores primos de a e um subcojuto dos fatores primos de m. Assim sedo, a = p 1 1 p para certos iteiros ~ao egativos 1;::: ; (ode teremos j =0se p j ~ao for fator de a). Claramete, para cada ³dice j, teremos j j, pois como p 1 1 p = p 1 1 p c, se j < j para algum ³dice j, teremos uma cotradi»c~ao ao teorema fudametal da aritm etica. Aproposi»c~ao 8.1 os prov^e ummeiodeecotrartodososdivisorespositivosde um iteiro m, m 2, a partir da fatora»c~ao de m em primos positivos. Por exemplo, os divisores positivos de 120 = s~ao os iteiros positivos cujas fatora»c~oes possuem somete pot^ecias dos primos 2, 3 e 5, com expoetes meores que ou iguais a 3, 1 e 1, respectivamete. Os divisores de 120 s~ao portato = =6 2 5 = = = = = = = = = = 120

4 O Teorema Fudametal da Aritm etica 68 Proposi»c~ao 8.2 Sejam a e b dois iteiros positivos. Et~ao existem primos positivos p 1 ;::: ;p,com 1, sedo p 1 < ::: < p se 2, e iteiros ~ao egativos 1 ;::: ;, 1;::: ;, tais que a = p 1 1 p E a partir destas represeta»c~oes de a e b, teremos e b = p 1 1 p mdc(a; b) =p 1 1 p sedo, para cada ³dice i, i =mif i ; ig. Demostra»c~ao. A demostra»c~ao desta proposi»c~ao, que e coseqäu^ecia da de i»c~ao de mdc e da proposi»c~ao 8.1, ser a deixada para o leitor. Exemplo 8.1 Calcular mdc(700; 720), com base as decomposi»c~oes de 700 e 720 em fatores primos. Fatorado-se 720 e 700 em pot^ecias de primos obtemos 720 = = = = Podemos et~ao escrever 720 = = Pela proposi»c~ao 8.2, mdc(720; 700) = =2 2 5=20: A fatora»c~ao de iteiros em primos positivos, e freqäuetemete empregada o c alculo do m ³imo m ultiplo comum de dois iteiros, usado para igualar deomiadores a soma de fra»c~oes. De i»c~ao 8.1 (M ³imo m ultiplo comum) O m ³imo m ultiplo comum de dois iteiros a e b, ~ao simultaeamete ulos, deotado por mmc(a; b), e o meor iteiro positivo que e simultaeamete m ultiplo de a e de b, ou seja, divis ³vel simultaeamete por a eporb. Como exemplos, temos: mmc(15; 21) = 105, mmc(24; 36) = 72, mmc(2; 20) = 20, mmc(7; 11) = 77.

5 O Teorema Fudametal da Aritm etica 69 Proposi»c~ao 8.3 Sejam a e b iteiros positivos, e cosidere-os represetados como a proposi»c~ao 8.2. Et~ao mmc(a; b) =p ± 1 1 p± sedo, para cada ³dice i, ± i =maxf i ; ig. Demostra»c~ao. A demostra»c~ao desta proposi»c~ao, que e coseqäu^ecia da de i»c~ao de mmc e tamb em da proposi»c~ao 8.1, ser a deixada para o leitor. Exemplo 8.2 Calcular mmc(700; 720), com base as decomposi»c~oes de 700 e 720 em fatores primos. Coforme vimos acima, Pela proposi»c~ao 8.3, 720 = = mmc(720; 700) = = Teorema 8.2 Se a e b s~ao dois iteiros positivos et~ao mmc(a; b) =ab= mdc(a; b). Demostra»c~ao. Sejama e b iteiros positivos, e cosidere-os represetadoscomoa proposi»c~ao 8.2, isto e, a = p 1 1 p e b = p 1 1 p sedo p 1 ;::: ;p primos positivos, e 1 ;::: ;, 1;::: ;, iteiros~ao egativos. Pelas proposi»c~oes 8.2 e 8.3, temos mdc(a; b) =p 1 1 p mmc(a; b) =p ± 1 1 p± sedo, para cada ³dice i, i =mif i ; ig, e± i =maxf i ; ig. Notemos que, para cada ³dice i, i + ± i =mif i ; ig +maxf i ; ig = i + i. Et~ao mdc(a; b) mmc(a; b) =(p 1 1 p )(p ± 1 1 p± ) = p 1+± 1 1 p +± = p p + =(p 1 1 p )(p 1 1 p )=ab

6 O Teorema Fudametal da Aritm etica Exerc ³cios 1. Ecotre as fatora»c~oes, em produtos de primos, dos iteiros 36, 256, 504 e Mostre que os expoetes, a fatora»c~ao em pot^ecias de primos, de um iteiro, s~ao todos pares se e somete se e um quadrado perfeito. 3. Mostre que se p e um primo positivo, et~ao p p e irracioal. Sugest~ao. Supoha p p = a=b, para certos iteiros positivos a e b. Explique et~ao porqu^e a igualdade pb 2 = a 2 eimposs ³vel. 4. Mostre que log 5 (= log 10 5) e irracioal. Sugest~ao. Supoha log 5 = a=b, para certos iteiros positivos a e b (log 5 > 0). Et~ao 10 a=b =5eportato10 a =5 b. Explique porqu^e isto eimposs ³vel. 5. Mostre que sedo m = p 1 1 p s s,comp 1 ;::: ;p s todos primos positivos, e 1 ;::: ; s, todos iteiros ~ao egativos, o umero de divisores positivos de m e igual a ( 1 +1) ( s +1). Quatos s~ao os divisores positivos de 11016? 6. Quais (tipos de) iteiros positivos tem exatamete tr^es divisores positivos? Quais tem exatamete quatro divisores positivos? 7. Determie quatos s~ao os zeros existetes ao al da expas~ao decimal de 1000!. Sugest~ao. Um iteiro positivo ter a zerosao aldesuarepreseta»c~ao decimal se for da forma a 10, sedo a um iteiro positivo ~ao divis ³vel por 10. Note que 10 = Ecotre todos os pares (x; y), de iteiros, satisfazedo x = y Ecotre o m ³imo m ultiplo comum dos pares de iteiros a seguir: 8 e 12, 111 e 303, 343 e Ecotre o m aximo divisor comum e o m ³imo m ultiplo comum de cada um dos pares de iteiros a seguir: (a) e (b) e (c) e Eposs ³vel calcular o m ³imo m ultiplo comum de dois iteiros positivos, sem cohecer suas decomposi»c~oes em fatores primos? 12. Mostre que qualquer m ultiplo comum, de dois iteiros positivos a e b, e divis ³vel pelo m ³imo m ultiplo comum de a e b. 13. Quais pares de iteiros positivos possuem m aximo divisor comum 18 e m ³imo m ultiplo comum 540?

7 O Teorema Fudametal da Aritm etica Mostre que se a e b s~ao iteiros et~ao mdc(a; b) j mmc(a; b). Sob quais codi»c~oes mdc(a; b) = mmc(a; b)? 15. Sejam a, b e c iteiros positivos. Mostre que mmc(a; b) j c sees osea j c e b j c. 16. Ecotre as fatora»c~oes, em pot^ecias de primos, dos iteiros ; ; ; ; : 17. Mostre que se p e umprimo,a e umiteiro, e umiteiropositivo,ep j a et~ao p j a. 18. Sejam a e b dois iteiros positivos. Mostre que se a 2 j b 2 et~ao a j b. 19. Mostre que, sedo a e b iteiros positivos, primos etre si, todo divisor de ab, se escreve de maeira uica a forma d = d 1 d 2, sedo d 1 um divisor de a, d 2 um divisor de b, ed 1 e d 2 positivoseprimosetresi. Sugest~ao. Aplique o teorema fudametal da aritm etica a ambos, a e b, e utilize o fato (justi cado) de que a e b ~ao tem fatores primos em comum.