Universidade do Estado do Amazonas

Transcrição

1 Uiversidade do Estado do Amazoas Professor Alessadro Moteiro 6 de Julho de 08 PROJETO DE EXTENSÃO Resoluções de Problemas de Aálise Real I 5º Ecotro/Parte I: Limites de Fuções

2 5. O Limite de uma Fução Parte I: Limites Um coceito fudametal o cálculo de uma variável é o coceito do limite de uma fução. Neste ecotro, apresetamos a defiição de limite, algumas propriedades e resolveremos algus problemas clássicos. Defiição 5... Seja f uma fução real com domíio A e a um poto de acumulação de A. Dizemos que L é limite de f quado tede a a, e escrevemos lim f a L, se para todo 0 eiste um 0 tal que para todo A com a propriedade 0 a L. temos que Eercício 3... Prove através da defiição que a) lim ; b) lim 5 7. Solução (a). Seja dado 0. Escolhedo-se 0,, temos: e assumido-se que = Portato, pela defiição de limite de uma fução, segue que lim Solução (b). Seja dado 0. Escolhedo-se mi, 33 e assumido-se 0,, temos que: que 5 7 = E também, Logo, lim 5 7. Portato, pela defiição de limite, segue que

3 Eercício 3... Cosidere a fução f 0 se e é racioal, se e é irracioal. Mostre que lim a ão eiste para todo a. Solução. Seja a. Assuma que lim para todo 0 eiste um 0 propriedade 0 a a L para algum L. Assim D f com a tal que para todo temos que L. Como a, a, a, e também tato o cojuto dos úmeros racioais quato dos úmeros irracioais são desos em etão temos que se for racioal E se for irracioal etão E com isso temos que L 0 L L. L L. L L L L. Mas, tomado-se, temos a cotradição 6 eiste para todo a. 3. Logo, o lim a ão Eercício Prove que Solução. lim se 0 ão eiste. Usaremos o seguite proposição: Seja f uma fução com domíio A e a um poto de acumulação de A. Para que o lim L a para toda sequêcia de potos Cosidere as sequêcias, é ecessário e suficiete que se teha lim A a a., tal que lim e y. Temos que lim 0 lim y. L

4 Mas, lim se lim se 0 e lim se lim se. y Portato, pela proposição mecioada, o lim se ão eiste. 0 Solução. Usado somete a defiição: Seja dado 0. Pela propriedade arquimediaa, eiste tal que. Isto é,. Tomado-se e L, L, temos: e 0 0 L L se L se L L. Portato, pela defiição de limite, segue que lim se 0 ão eiste. Observação : Porém o que ele é ulo. lim se 0 eiste e é fácil provar pela defiição Observação : O eercício 3... pode ser feito usado a mesma ideia da solução do eercício Basta tomarmos duas sequêcias: a por valores racioais e y a por valores irracioais (lembrado que isso é possível uma vez que e são desos em ). Teremos claramete que 0 e f y. Eercício Sejam f e g fuções com domíio A e a um poto de acumulação de A. Assuma que Prove que e lim lim L a lim g L M. a g M. a

5 Solução. Seja dado 0. Aalisemos: L g L g M. g LM g Lg Lg LM g Lg Lg LM Logo, afim de que tehamos g LM, para A próimo a (mas diferete de) a, é suficiete que tehamos cada uma das parcelas L g e L g M meor que. Para tato, como lim g M etão tomado-se a defiição de limite, a obtemos 0 tal que A com a propriedade 0 a implica em M. Por ser, g g M g M, temos aida que M g Por outro lado, se tomarmos L 0 a etão E, já que lim. () 0 g L, etão para a que, se 0 a 3 etão Assim, escolhedo-se mi,, L L. () M deve eistir 0 tal que, se 0 3 L. (3) M 3 deve eistir 3 0 tal, etão 0 e para todo A com a propriedade 0 a temos por (), () e (3) que g LM L g L g M < M + L = < = lim g L M. a Portato, M L L L L L.