INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS. Interpolação
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1 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS Iterpolação
2 Itrodução A tabela abaio relacioa calor especíico da água e temperatura: temperatura C calor especíico o calor especíico da água a 3.5? a temperatura para a qual o calor especíico é.99837? Iterpolação!!
3 Itrodução Iterpolar uma ução cosiste em aproimar essa ução por uma ução g escolhida detro de uma classe de uções deiida a priori e que satisaça algumas propriedades. A ução g é etão usada o lugar da ução. Iterpolação é o método que permite costruir um ovo cojuto de dados a partir de um cojuto discreto de dados potuais previamete cohecidos. 3
4 Itrodução Iterpolação Quado temos os valores uméricos de uma ução ão cohecida para um cojuto de potos e queremos o valor desta ução em um poto ão tabelado. Aproimação de uções compleas por uções mais simples. Supoha que tehamos uma ução mas que seja complicada demais para que seja possível avaliá-la deorma eiciete. Podemos etão escolher algus dados potuais da ução complicada e tetar iterpolá-los com uma ução mais simples. 4
5 Coceito de Iterpolação Sejam potos distitos:... chamados ós da iterpolação e os valores de :.... A iterpolação de que veremos cosiste em obter uma ução g tal que: g g... g. 5
6 Coceito de Iterpolação Graicamete: g
7 Coceito de Iterpolação Cosideraremos aqui que g é uma ução poliomial. Cotudo a ução g escolhida pode ser: racioal trigoométrica etc. Eistem outras ormas de iterpolação por eemplo via órmula de Taylor via poliômios de Hermite etc. A aproimação de uções por poliômios é uma das idéias mais atigas da aálise umérica e aida uma das mais usadas. É bastate ácil eteder por que razão isso acotece. Os poliômios são acilmete computáveis suas derivadas e itegrais são ovamete poliômios suas raízes podem ser ecotradas com relativa acilidade etc. 7
8 Iterpolação Poliomial
9 Iterpolação Poliomial Veremos aqui como aproimar uma ução usado Métodos de Iterpolação Poliomial. Tais métodos são usados como uma aproimação para uma ução pricipalmete as seguites situações: a ão cohecemos a epressão aalítica de isto é sabemos apeas seu valor em algus potos... esta situação ocorre muito requetemete a prática quado se trabalha com dados eperimetais e ecessitamos maipular como por eemplo calcular seu valor um poto sua itegral um determiado itervalo etc. b é etremamete complicada e de diícil maejo. Etão às vezes é iteressate sacriicar a precisão em beeício da simpliicação dos cálculos. 9
10 Iterpolação Poliomial Dados os potos:... queremos aproimar por um poliômio p de grau meor ou igual a tal que k p k k... p a a a... a Obter os coeicietes
11 Iterpolação Poliomial Demostração do teorema: a a a a p... Seja das codições de iterpolação: a a a a a a a a a a a a Teorema: Eiste um úico poliômio p de grau meor ou igual a tal que k p k k... desde que k j j k
12 Iterpolação Poliomial A A matriz dos coeicietes A é do tipo Vadermode logo desde que sejam potos distitos etão o determiate da matriz dos coeicietes é ão-ulo. Cosequetemete o sistema admite solução úica. CONCLUSÃO: Eistem a a a... a úicos que satisazem as codições de iterpolação.
13 Formas de Obter P Há várias maeiras para obter p. Discutiremos três possibilidades: Resolução de Sistema Liear Forma de Lagrage Forma de Newto Teoricamete as três ormas coduzem ao mesmo poliomio. A escolha etre elas depede de codições como estabilidade do sistema liear tempo computacioal etc. 3
14 Métodos de Iterpolação: Resolução do Sistema Liear Forma de Lagrage Forma de Newto
15 5 Resolução do Sistema Liear Uma das ormas de obter o poliômio é a resolução do sistema liear obtido a partir das codições de iterpolação: a a a a a a a a a a a a Obter os coeicietes: a a a... a
16 Resolução do Sistema Liear Eemplo : Ecotrar o poliômio de grau meor ou igual a que iterpola os dados da tabela abaio: Resolução: Temos etão p a a a p a a a 4 p a p a a 4a 6
17 Resolução do Sistema Liear a a a 4 ቐ a a a 4a Resolvedo o sistema liear temos: a a 7/3 a /3 p poliômio que iterpola em e 7
18 Resolução do Sistema Liear Nem sempre a resolução do sistema liear para se obter p é simples e eato. Eemplo : Ecotrar o poliômio de grau meor ou igual a 3 que iterpola os dados da tabela abaio: Resolução: Temos etão p 3 a a a a 3 3 8
19 Resolução do Sistema Liear p 3 a a a a 3 3 p. 3 p. 3 p. 3 3 p a a a a. a. a. 3 a. 4 a. a. 4 a. 9 a. 6 a. a 3. 8 a. 7 a. 64 a Sistema de 4 equações com 4 icógitas 9
20 Resolução do Sistema Liear a. a. a. a 5 3 a. a. 4 a. 8 a 3 3 a. 3 a. 9 a. 7 a 4 3 a. 4 a. 6 a. 64 a 8 3 Resolvedo por elimiação de Gauss obtemos: p Para 4: p
21 Métodos de Iterpolação: Resolução do Sistema Liear Forma de Lagrage Forma de Newto
22 Forma de Lagrage Sejam potos distitos:... chamados ós da iterpolação e os valores de :.... A iterpolação de cosiste em obter uma ução p tal que: p L L... L ode os poliômios L k são de grau. IMPORTANTE: Como os i são dados devemos o Método de Lagrage determiar os L k. Poliômios de Lagrage:
23 3 Forma de Lagrage Para cada i queremos que a codição p i i seja satiseita ou seja: Por eemplo:... i i i i i L L L p... L L L p... L L L p p passe sobre os potos i i
24 4 Forma de Lagrage A orma mais simples de se satisazer esta codição é impor: para isso deiimos L k por: i k i k L i k se se k k k k k k k k k k L k L k k i se L k i
25 5 Forma de Lagrage Etão a orma de lagrage para o poliômio iterpolador é: ode... L L L p k k k L p k j j j k k j j j k L
26 Forma de Lagrage Eemplo : Ecotrar o poliômio de grau meor ou igual a que iterpola os dados da tabela abaio: Resolução: Devemos iterpolar os 3 potos com uma orma de Lagrage. Segue: p L L L L k k k 6
27 Forma de Lagrage L k k k k k k k k k k L 3 L L 6 7
28 Forma de Lagrage Eim a orma de Lagrage da iterpolação: p p Mesmo resultado à resolução do sistema liear!!! 8
29 Eercícios 9
30 Métodos de Iterpolação: Resolução do Sistema Liear Forma de Lagrage Forma de Newto
31 Forma de Newto A orma de Newto para o poliômio p que iterpola em potos distitos... é a seguite: p d d d d No Método de Newto os valores de d k divididas deordem k. são dados por diereças 3
32 3 Operador Diereças Divididas Seja deiida em potos distitos.... O operador diereças divididas é dado: [ [ [ [ [ [ [... [... [... [ [ [ [ Ordem Ordem Ordem Ordem 3 Ordem
33 Operador Diereças Divididas Para auiliar os cálculos pode-se utilizar a seguite tabela: Ordem Ordem Ordem Ordem [ [ [ [ [ [ [ [ 3 [ [ [ 3 [.. 33
34 34 Forma de Newto. Mostra-se que [... k é simétrica os argumetos ou seja. Mostra-se que a orma de Newto para o poliômio de ordem que iterpola é... [ [.. [ [ [ [ p [ [
35 Forma de Newto Eemplo : Ecotrar o poliômio de grau meor ou igual a que iterpola os dados da tabela abaio: Resolução: Devemos iterpolar os 3 potos com a orma de Newto. Segue: p [ [ 35
36 Forma de Newto Ordem Ordem Ordem - [ 4 [ [ Ordem [ i i 36
37 Forma de Newto Ordem Ordem Ordem - [ 4 [ [ [ [ 3 Ordem [ i j j j i i 37
38 Forma de Newto Ordem Ordem Ordem - [ 4 [ [ [ [ 3 [ 3 Ordem [ i j k [ j k k [ i i j 38
39 Forma de Newto Logo p [ [ p p Mesmo resultado à resolução do sistema liear!!! 39
40 Eemplo : Iterpolar o poto 5 a tabela abaio empregado a orma de Newto. Ordem Ordem Ordem Ordem
41 Logo p 3 3 p p 3 3 p p
42 Eercícios 4
43 Estudo do Erro a Iterpolação
44 Estudo do Erro a Iterpolação O erro em aproimar a ução por um poliômio iterpolador p de grau meor ou igual a é: E p paratodo de[ Estudar o erro a iterpolação sigiica saber o quão próimo está de p. 44
45 Estudo do Erro a Iterpolação Iterpolação liear de e : p p p 45
46 46 Estudo do Erro a Iterpolação Teorema : Sejam < < <...< potos. Seja com derivadas até ordem para todo em [. Seja p o poliômio iterpolador de os potos.... Etão em qualquer poto do itervalo [ o erro é dado por ode ode.! p E
47 47 Estimativa para o Erro Se e suas derivadas até ordem são cotíuas em I[ etão pode-se escrever: p E ma ode! M M E I i i Limitate Superior para o Erro
48 Estimativa para o Erro Na maioria dos problema ão cohecemos. Nestes casos deve-se costruir a tabela de diereças divididas até ordem e usar o maior valor em módulo desta ordem como aproimação para: o itervalo I. Assim teremos um limitate para o erro igual a: E ode p M ma! M! [... com.... M! 48
49 Estimativa para o Erro Eemplo: Seja dada a orma: Obter 47 usado um poliômio de grau. Dar uma estimativa para o erro. Resolução: Tabela de Diereças 49
50 Estimativa para o Erro Ordem Ordem Ordem Ordem
51 Estimativa para o Erro Deve-se escolher três potos de iterpolação. Como 47 4 ; 5 dois potos deverão ser 4 e 5. O outro pode ser 34 como 6. Escolheremos:
52 Estimativa para o Erro Ordem Ordem Ordem Ordem
53 53 Estimativa para o Erro [ [ P P P [ ma 3 E
54 Estimativa para o Erro Ordem Ordem Ordem Ordem
55 Estimativa para o Erro P [ [ P P E ma [ 3 E E
56 Iterpolação Iversa
57 Iterpolação Iversa Seja dada a tabela: obter tal que 365 e ecotrar uma estimativa para o erro. Este é o problema da iterpolação iversa 57
58 Soluções para a Iterpolação Iversa SOLUÇÃO : Obteha p que iterpola 365 e determie. Problema: ão temos como estimar o erro cometido!!!!!!! SOLUÇÃO : Se or mootoicamete crescete ou decrescete o itervalo cosiderado etão ela pode ser ivertida. Etão aça a iterpolação da ução iversa e calcule o erro. 58
59 Tabela de Diereças Divididas Solução y Ordem Ordem Ordem Ordem y y y
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