Prezados Alunos, sejam bem-vindos ao nosso curso de Cálculo Numérico.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR: ATAUALPA MAGNO FERRAZ DE NOVAES PRIMEIRO SEMESTRE DE 6 PRIMEIRA PARTE Prezados Aluos, sejam bem-vidos ao osso curso de Cálculo Numérico. Desejo que vocês possam desfrutar destas otas de aula. O sabor coloquial com que procurei temperar estas aotações certamete facilitará a apredizagem da matéria. Um agradecimeto muito especial aos autores de livros, eceletes mestres Ruggiero e Lopes como também ao professor Barroso. Desde que desejamos aprimorar este trabalho ao logo do tempo, sugestões e críticas serão bem vidas. amferrazovaes@ig.com.br ou ataualpa@im.ufba.br. Págia a Iteret: geocities.yahoo.com.br/magoferraz/ Telefoes: ou BIBLIOGRAFIA BÁSICA HUMES, A. F. P. C.; MELO, I. S. H.; YOSHIDA, L. K.;MARTINS, W. T. Noções de Cálculo umérico. São Paulo: McGraw-Hill, 984. RUGGIERO, M. A. G.;LOPES, V. L. R. Cálculo umérico: aspectos teóricos e computacioais. São Paulo: Makro Books, 996.

2 NOTAS DE AULA DE CÁLCULO NUMÉRICO O que é o Cálculo Numérico? O Cálculo Numérico correspode a um cojuto de métodos usados para se obter a solução de problemas cietíficos a maioria das vezes de forma aproimada, usado técicas matemáticas e o computador. Porém, o profissioal que se defrotar com o problema terá que tomar uma série de decisões ates de resolvê-lo. E para tomar essas decisões, é preciso ter cohecimeto de métodos uméricos. O profissioal terá que decidir, detre outras coisas: Pela utilização ou ão de um método umérico ( se eistirem métodos uméricos para se resolver o tal problema. ); Escolher o método a ser utilizado, procurado aquele que é mais adequado para o seu problema. Aalisar quais vatages cada método oferece e as limitações que eles apresetam; Saber avaliar a qualidade da solução obtida. Para isso, é importate ele saber eatamete o que está sedo feito pelo computador ou calculadora, isto é, como determiado método é operacioalizado. Os pricipais objetivos do osso curso são: Apresetar diversos métodos uméricos para a resolução de diferetes problemas matemáticos. Pretede-se esclarecer a importâcia desses métodos, mostrado: a essêcia de um método umérico; a difereça em relação a soluções aalíticas; as situações em que eles devem ser aplicados; as vatages de se utilizar um método umérico; as limitações a sua aplicação e cofiabilidade a solução obtida. Melhorar a familiarização e itimidade do aluo com a matemática, mostrado seu lado prático e sua utilidade o dia-a-dia de um cietista. Rever coceitos, eercitá-los e utilizá-los de maeira prática.

3 Erros Numéricos Vamos supor o seguite problema: como calcular o valor de ( ou, por eemplo uma dízima como )? Provavelmete, a primeira resposta que vem à mete de qualquer pessoa esclarecida será: utilizado uma calculadora ou um computador. Idiscutivelmete, essa é a resposta mais sesata e prática. Porém, um profissioal que utilizará o resultado forecido pela calculadora para projetar, costruir ou mater potes, edifícios, máquias, sistemas, dispositivos eletrôicos, etc., ão pode aceitar o valor obtido ates de fazer algus questioametos ( pelo meos uma vez a sua vida profissioal! ). Será que esse resultado é cofiável? ( por eemplo, será que a pote pode desabar? ) Essa perguta faz setido pois é um úmero irracioal, isto é, ão eiste uma forma de represetá-lo com um úmero fiito de algarismos. Portato, o úmero apresetado pela calculadora é uma aproimação do valor real de próimo do valor real está o resultado mostrado? O erro cometido ao se calcular o valor de, já que ela ão pode mostrar ifiitos algarismos. E quão, se refere à ievitável limitação a represetação de úmeros irracioais e é apeas um tipo de erro que pode surgir ao se resolver um problema real. Esse tipo de erro é chamado de erro de arredodameto. Outros tipos de erros também podem aparecer devido a outros tipos de problemas ou limitações. Tipos de Erros A solução matemática de um determiado problema evolve diversas etapas. A solução do problema se iicia com a criação de um modelo matemático que melhor se ajuste ao problema em questão. Esse modelo sempre apresetará aproimações e limitações. Esse tipo de erro é chamado de erro a simplificação do modelo matemático. Além disso, a grade maioria das vezes, dados eperimetais ( algus autores o chamam de erro ierete ao modelo matemático utilizado ) serão utilizados para se obter a solução. Como toda medida eperimetal apreseta uma icerteza, a solução do problema será iflueciada pela mesma. Esse tipo de erro é chamado de erro de etrada de dados. Portato, logo de iício, eistem diversos fatores que itroduzem erros a solução umérica do problema. Vamos cosiderar um outro tipo de erro que pode surgir ao realizarmos determiadas operações. Digamos que precisamos calcular o valor de e. Mais uma vez, iremos utilizar uma máquia digital ( calculadora ou computador ). Como esse equipameto irá realizar essa operação? Sabemos, do Cálculo Diferecial, que a epoecial é uma fução que pode ser represetada por uma série ifiita dada por: e + +! +! + L + + L e a prática é impossível calcular seu valor!

4 eato. Portato, mais uma vez, teremos que fazer uma aproimação, que levará a um erro o resultado fial de e. Por eemplo, se cosiderarmos e + + estaremos fazedo um trucameto dessa série, e o erro! gerado o valor de e é chamado de erro de trucameto ( é claro que estamos os referido à fução e de um modo geral, pois para ão há erro algum ). Podemos criar algumas defiições a fim de facilitar as discussões e trocas de iformação sobre esse problema. Vamos defiir o módulo da difereça etre o valor real da gradeza que queremos calcular e o valor aproimado que efetivamete calculamos como sedo o erro absoluto, ou seja: Erro Absoluto E A valor real valor aproimado Quato meor for esse erro, mais preciso será o resultado da operação. Porém, se estivermos trabalhado com úmeros muito grades, o erro pode ser grade em termos absolutos, mas o resultado aida será preciso. E o caso iverso também pode ocorrer: um erro absoluto pequeo, mas um resultado impreciso. Por eemplo, digamos que o resultado de uma operação os foreça o valor..54,7 equato o valor real que deveríamos obter é..544,5. O erro absoluto este caso é,8. Comparada com o valor real, essa difereça ( o erro absoluto ) é bem pequea, portato, podemos cosiderar o resultado preciso. Em um outro caso, digamos que o resultado da operação seja,4 e o resultado correto era,8. Desta vez o erro absoluto será igual a,6, porém o resultado é bastate impreciso. A fim de evitar esse tipo de ambigüidade, podemos criar uma ova defiição. Podemos defiir o erro relativo como sedo o quociete etre o erro absoluto e o valor real da gradeza a ser calculada, ou seja: erro relativo valor real valor aproimado valor real O erro relativo é uma forma mais iteressate de se avaliar a precisão de um cálculo efetuado. No eemplo acima, teremos um erro relativo de,8 ou,8% o primeiro caso e um erro relativo igual a,8 ou 8% o segudo caso. Propagação e Codicioameto de Erros Numéricos Vamos supor que queremos calcular o valor de e. Como vimos ateriormete, ao calcularmos o valor de, teremos que realizar um arredodameto, que leva ao um resultado aproimado de, ou seja, eiste um erro de arredodameto associado ao resultado. Para calcularmos o valor de e teremos que fazer um trucameto, que também irá gerar um erro de trucameto ( ao usarmos a fução e ) o resultado obtido. Portato, o resultado da operação de 4

5 subtração etre e e apresetará um erro que é proveiete dos erros os valores de e e separadamete. Em outras palavras, os erros os valores de e e se propagam para o resultado de e. Podemos cocluir etão que, ao se resolver um problema umericamete, a cada etapa e a cada operação realizada, devem surgir diferetes tipos de erros gerados das mais variadas maeiras, e estes erros se propagam e determiam o erro o resultado fial obtido. Represetação Numérica Itrodução A fim de realizarmos de maeira prática qualquer operação com úmeros, ós precisamos represetá-los em uma determiada base umérica. Podemos escrevê-lo a base decimal, por eemplo, que é a base mais usada atualmete pela humaidade ( graças à ossa aatomia ). Voltemos ao úmero. O valor de a base decimal pode ser escrito como,4 ou,44 ou aida, Qual é a difereça etre essas várias formas de represetar? RESPOSTA: A difereça é a quatidade de algarismos sigificativos usados em cada represetação. Em uma máquia digital, como uma calculadora ou um computador, os úmeros ão são represetados a base decimal. Eles são represetados a base biária, ou seja, usam o úmero como base ao ivés do úmero. EXERCÍCIOS ) Coverta os úmeros da base para a base : a) b) 5 c) d) 5 e) 5 f) 7 g) 47 h) 45 i),875 j),6 l),5 m),5 ), ) Coverta os úmeros da base para a base : a) b) c) d) e) f) g) h), i), j), l), m), ), 5

6 Poto Fio e Poto Flutuate A pricípio, toda vez que escrevemos um úmero, deveríamos mecioar a base umérica a qual estamos os referido. Obviamete, isso ão se faz ecessário a prática, pois estamos sempre represetado os úmeros a base decimal, portato sabemos eatamete o seu sigificado. Por eemplo, quado escrevemos o úmero 5, o que realmete queremos dizer? Estamos dizedo que esse úmero represeta uma quatidade equivalete a , ou, escrevedo a base de outra forma, Essa é a chamada represetação posicioal de úmeros. Na base biária, o mecaismo é o mesmo, porém, ao ivés de potêcias de, utilizamos potêcias de. Portato, um úmero biário como ( lembre-se, do giásio, que a base biária só eistem os algarismos e ) sigifica que a base é 8++. Um úmero iteiro apreseta a chamada represetação de poto fio, ode a posição do poto decimal está fia e todos os dígitos são usados para represetar o úmero em si, com eceção do primeiro dígito usado para represetar o sial desse úmero. A figura abaio ilustra essa represetação. Sial Dígitos Para um úmero real qualquer ( iteiro ou ão iteiro ) é utilizada a represetação de poto flutuate ormalizado ( ou simplesmete, represetação de poto flutuate ), que é dada pela e epressão: ± (.d d d...d t ) β ode:.d d d...d t é uma fração a base β, também chamada de matissa, com d i β, para todo i,,,...,t e d sedo t o úmero máimo de dígitos da matissa ( também chamado de úmero de algarismos sigificativos ) que é determiado pelo comprimeto da palavra do computador; e é um epoete que varia em um itervalo dado pelos limites da máquia utilizada, assim m e M, ode m é o limite iferior e M é o limite superior da máquia. Esse tipo de represetação é chamado de poto flutuate, pois o poto da fração flutua coforme o úmero a ser represetado e sua posição é epressa pelo epoete e. Algus eemplos da represetação de poto flutuate podem ser vistos a tabela a seguir: Número a base decimal Base Represetação em poto flutuate Matissa Epoete

7 Arredodameto em Poto Flutuate Itrodução Chamamos ateção para o fato de que o cojuto dos úmeros represetáveis em qualquer máquia é fiito, e portato discreto, ou seja ão é possível represetar em uma máquia todos os úmeros de um a, b. A implicação imediata desse fato é que o resultado de uma simples operação dado itervalo [ ] aritmética ou o cálculo de uma fução, realizadas com esses úmeros, podem coter erros. A meos que medidas apropriadas sejam tomadas, essas imprecisões causadas, por eemplo, por simplificação o modelo matemático ( algumas vezes ecessárias para se obter um modelo matemático solúvel ); erro de trucameto ( troca de uma série ifiita por uma fiita ); erro de arredodameto ( devido a própria estrutura da máquia ); erro os dados ( dados imprecisos obtidos de eperimetos, ou arredodados a etrada ); etc, podem dimiuir e algumas vezes destruir, a precisão dos resultados. Assim, osso objetivo aqui será o de alertar o aluo para os problemas que possam surgir durate a resolução de um problema, bem como dar subsídios para evitá-los e para uma melhor iterpretação dos resultados obtidos. Sistema de Números Discreto o Computador Iicialmete, descreveremos como os úmeros são represetados um computador. Represetação de um Número Iteiro Em pricípio, a represetação de um úmero iteiro o computador ão apreseta dificuldade. OBSERVAÇÃO: O úmero zero pertece a qualquer sistema e é represetado com matissa igual a zero e e Represetação de um Número Real Fudametado o que você apredeu até aqui, resolva o eercício abaio EXERCÍCIO: m. Escrever os úmeros:.5; 5.7;.; e 5., ode todos estão a base β, em poto flutuate a forma ormalizada. Para represetarmos um sistema de úmeros em poto flutuate ormalizado, a base β, com t dígitos sigificativos e com limites do epoete m e M, usaremos a otação: F (, t, m, M ) Assim um úmero ão ulo em F (, t, m, M ) β será represetado por: e ±.d d d...d t β, ode d i β, d e m e M β. 7

8 EXERCÍCIO: Cosidere o sistema F(,,, ). Represete esse sistema os úmeros do eercício aterior.5; 5.7;.; e 5.. Veja abaio um eercício resolvido bastate iteressate. Seja f ( ) uma fução cotíua real defiida o itervalo [, ] a b, a Etão de acordo com o teorema do valor itermediário, eiste, a b Seja f ( ). Determiar tal que ( ) f. < b e sejam f ( a ) < e f ( b ) >. < <, tal que f ( ). SOLUÇÃO: Para a fução dada, cosideremos t e β. Obtemos etão ( ão se preocupe como coseguimos o resultado abaio, pois você só aprederá mais tarde ): ( ) -8 f ; -8 f ( ).4. Observe que etre e ão eiste ehum úmero que possa ser represetado o sistema dado e que a fução f muda de sial os etremos desse itervalo. Assim, esta máquia ão cotém o úmero tal que f ( ) e portato a equação dada ão possui solução essa máquia em que t e β. Represetação de Números o Sistema F ( β, t, m, M ) Sabemos que os úmeros reais podem ser represetados por uma reta cotíua ( isto é, uma reta ). Etretato, a represetação em poto flutuate podemos represetar apeas potos discretos a reta real. Para ilustrar este fato cosideremos o seguite eemplo. EXEMPLO: Quatos e quais úmeros podem ser represetados o sistema F (,,, )? SOLUÇÃO: Temos que β etão os dígitos podem ser ou ; m e M etão e e t. Assim, os úmeros são da forma: e ±.d d d β. Logo temos: duas possibilidades para o sial, uma possibilidade para d, duas para d, duas para d e e quatro para as formas de β. Fazedo o produto 4 obtemos. Assim este sistema podemos represetar úmeros visto que o zero faz parte de qualquer sistema. Para respoder quais são os úmeros, otemos que as formas da matissa são:.,.,. e e. e as formas de β são:,,,. Assim, obtemos os seguites úmeros: 8

9 EXERCÍCIO: Cosiderado o mesmo sistema do eemplo acima, represete os úmeros:.8, 5. e.5 dados a base. As operações um computador são arredodadas. Para ilustrar este fato, cosideremos o seguite eemplo. EXEMPLO: Calcular o quociete etre 5 e 7. SOLUÇÃO: Usado a calculadora deste computador o qual estou trabalhado este istate, temos:, Supoha agora que só dispomos do total de 4 dígitos para represetar o quociete 5/7. Daí, 5 / 7,4 Mas ão seria melhor aproimarmos 5 / 7 por,4? A resposta é sim e isso sigifica que o úmero foi arredodado. Isto sugere a seguite... DEFINIÇÃO: Arredodar um úmero, por outro com um úmero meor de dígitos sigificativos, cosiste em ecotrar um úmero, pertecete ao sistema de umeração, tal que seja o meor possível. 9

10 IMPORTANTE! Assim, em lihas gerais, para arredodar um úmero, a base, devemos apeas observar o primeiro dígito a ser descartado. Se este dígito é meor que 5 deiamos os dígitos ialterados e se é maior ou igual a 5 acrescetamos uma uidade ao último algarismo remaescete. Arredodameto Trataremos o arredodameto em poto flutuate com o eemplo abaio, use os cohecimetos adquiridos até aqui e o seu bom seso e resolva-o. EXEMPLO: Cosidere uma máquia que utiliza o sistema F (,,5,5 ), isto é os úmeros tem a e seguite forma, dd d. com 5 e 5. Represete este sistema os úmeros: 4,56;,5496;,9995; 4 456,7 e 5,. RESPOSTA:,. ;,55. ;,. ; 4 - é impossível, pois o epoete é 6, acima da capacidade da máquia ( overflow ); 4 é impossível, pois o epoete é 5 6, abaio da capacidade da máquia ( uderflow ). OPERAÇÕES ARITMÉTICAS EM PONTO FLUTUANTE Cosidere uma máquia qualquer e uma série de operações aritméticas. Pelo fato do arredodameto ser feito após cada operação temos, ao cotrário do que é válido para úmeros reais, que as operações aritméticas ( adição, subtração, multiplicação e divisão ) ão são em associativas e em distributivas. Ilustraremos esse fato através de eercícios, os quais você deve tetar fazer. Nos eercícios abaio cosidere o sistema com base β, e com dígitos sigificativos. Efetue as operações idicadas: i) (,4 +,8 ) + 5,5 e,4 + (,8 + 5,5 ) RESPOSTAS: 9,7 e 9,6 ii),8, 4 5,5 e,8, 4 5,5 RESPOSTAS: 7,9 e 7,8 iii),8 ( 5,5 +,4 ) e,8 5,5 +,8,4. RESPOSTAS: 5,5 e 5,4

11 BIBLIOGRAFIA: HUMES, A. F. P. C.; MELO, I. S. H.; YOSHIDA, L. K.;MARTINS, W. T: Noções de Cálculo umérico. São Paulo: McGraw-Hill, 984. RUGGIERO, M. A. G.;LOPES, V. L. R. Cálculo umérico: aspectos teóricos e computacioais. São Paulo: Makro Books, 996. MARCELO GAMEIRO E ANTONIO CÉSAR GERMANO. Apostila de Complemetos de Cálculo Numérico. ARTIGOS E LIVROS ENCONTRADOS NA INTERNET

12 ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS Dizemos que α é um zero ( ou raiz ) de uma fução real de variável real y f ( ) se e somete se f ( α ). Usaremos muitas vezes o seguite teorema ( que localiza os possíveis zeros de uma fução ): TEOREMA DE BOLZANO: Seja f uma fução cotíua em [ a, b ] com ( ) ( ) fução f tem pelo meos um zero em [ a, b ]. EXEMPLO: Seja a fução f ( ).l,. Podemos calcular o valor de f ( ) arbitrários de, como mostrado a tabela abaio ( usado apeas duas casas decimais ): f a. f b < etão a para valores 4 f ( ) -, -,8,,6 Pelo Teorema de Bolzao, cocluímos que eiste pelo meos uma raiz real o itervalo [, ]. Seja f uma fução cotíua em [ a, b ] com ( ) ( ) f a. f b < e supoha aida que α seja seu úico zero em [ a, b ] ( mais tarde veremos algus processos para ão só localizar zeros de fuções mas também para isolar esses zeros ). MÉTODO ITERATIVO: Um método é dito iterativo ( e ão iterativo!!! ) basicamete quado para calcularmos uma ova aproimação, usamos uma aproimação aterior, obtida por algum método. Estudaremos três métodos para determiar algus zeros reais de fuções reais, são eles: ) Método da bissecção ou dicotomia; ) Método de Newto-Raphso; ) Método das aproimações sucessivas ou iteração liear. RESUMO E ALGUMAS OBSERVAÇÕES Graficamete, os zeros de uma fução f() correspodem aos valores de em que a fução itercepta o eio horizotal do gráfico, como mostrado a figura abaio. A fução g() da figura abaio tem 5 raízes o itervalo [a,b]:,,, 4, 5.

13 Às vezes as raízes de uma fução podem ser ecotradas aaliticamete, ou seja, resolvedo a equação f() de maeira eata, como mostrado os eemplos a seguir: () pois : ) ( é raíz de ) ( ) f f f 4. 8 pois : ) ( raíz de é a ) ( ) g g g - () 5 5 () () pois : ) ( são soluções de quato tato ) ( ) + + ± + + h h ) h( h h h g() b a 4 5

14 Porém, em sempre é possível se ecotrar aaliticamete a raiz de uma fução, como os casos a seguir: 7 ) f ( ) + + ) g( ) se + e ) h( ) + l Nestes casos precisamos de um método umérico para ecotrar uma estimativa para a raiz da fução estudada, ou seja, um valor tão aproimado quato se deseje. Tais métodos devem evolver as seguites etapas: (a) Determiação de um itervalo em que coteha pelo meos uma raiz da fução f(), ou seja, isolameto das raízes ( quado possível ); (b) Calculo da raiz aproimada através de um processo iterativo ( que será eplicado logo a seguir ) até a precisão desejada. Processos Iterativos Eiste um grade úmero de métodos uméricos que são processos iterativos. Como o próprio ome já diz (cosulte um dicioário para verificar o sigificado de iterativo), esses processos se caracterizam pela repetição de uma determiada operação. A idéia esse tipo de processo é repetir um determiado cálculo várias vezes obtedo-se a cada repetição ou iteração um resultado mais preciso que aquele obtido a iteração aterior. E, a cada iteração utiliza-se o resultado da iteração aterior como parâmetro de etrada para o cálculo seguite. Algus aspectos comus a qualquer processo iterativo, são: Estimativa iicial: como um processo iterativo se caracteriza pela utilização do resultado da iteração aterior para o cálculo seguite, a fim de se iiciar um processo iterativo, é preciso que se teha uma estimativa iicial do resultado do problema. Essa estimativa pode ser coseguida de diferetes formas, coforme o problema que se deseja resolver; Covergêcia: a fim de se obter um resultado próimo do resultado real, é preciso que a cada passo ou iteração, o resultado esteja mais próimo daquele esperado, isto é, é preciso que o método covirja para o resultado real. Essa covergêcia em sempre é garatida em um processo umérico. Portato, é muito importate se estar ateto a isso e realizar a verificação da covergêcia do método para um determiado problema ates de tetar resolvê-lo; 4

15 Critério de Parada: obviamete ão podemos repetir um processo umérico ifiitamete. É preciso pará-lo em um determiado istate. Para isso, devemos utilizar um certo critério, que vai depeder do problema a ser resolvido e da precisão que precisamos obter a solução. O critério adotado para parar as iterações de um processo umérico é chamado de critério de parada. Para ecotrarmos as raízes ou zeros de uma fução iremos utilizar métodos uméricos iterativos. Como já mecioado, o primeiro passo para se resolver um processo iterativo correspode a obteção de uma estimativa iicial para o resultado do problema. No caso de zeros de fuções, usamos a operação chamada de isolameto de raízes: Isolameto de Raízes Para determiarmos o úmero e a localização aproimada de raízes de uma fução, a fim de obtermos uma estimativa iicial a ser usada os processo iterativos, podemos eamiar o comportameto dessa fução através de um esboço gráfico. Por eemplo, seja uma fução f( ) tal que: f( ) g( ) h( ) As raízes de f( ), são os valores de tais que: g( ) h ( ), ou aida g( ) h ( ) Logo, os valores de em que o gráfico de g( ) itercepta o gráfico de h( ) é a raiz de f( ). Passemos agora ao estudo dos métodos mecioados a págia, isto é: ) Método da bissecção ou dicotomia; ) Método de Newto-Raphso; ) Método das aproimações sucessivas ou iteração liear. 5

16 MÉTODO DA BISSECÇÃO OU DICOTOMIA O método da bissecção cosiste em dividir o itervalo [ a, b ] ao meio, obtedo assim os itervalos [ a, ] a + b b, ode. e [ ], Vamos aalisar o que pode ocorrer: ( ), assim é a raiz procurada ( fim!) ( ) > ou ( ) < estes casos, comparamos com ( ) f ( b) para podermos aplicar o teorema de Bolzao... f α f f f a e Se, por eemplo, f ( a) f ( b) f ( ) processo acima para o itervalo [, ] a raiz cada vez mais. Veja o gráfico abaio e o eemplo que segue. <, > e >, a raiz procurada α estiver etre a e a, ecotrado o poto, repetimos o e assim sucessivamete... espremedo f(b) y f( ) f(a) a α b b Note que o primeiro erro que se comete é meor que a b a, isto é α <, o segudo é b a b a α <, em geral, a quebra do itervalo ( ou seja, a iteração ) de ordem, o erro é 4 b a b a meor que, assim α <. 6

17 EXEMPLO: Determie o zero positivo de f ( ) RESOLUÇÃO: é claro que estamos procurado o valor de! Iicialmete vamos isolar a raiz em um itervalo. Os métodos clássicos são i) O método gráfico;, com seis iterações ( critério de parada ). No caso em questão, o gráfico é bastate cohecido, uma parábola, que itercepta o eio O em dois potos simétricas em relação à origem. Ivestigado um pouco cocluímos que eiste um zero da fução o itervalo [, ]. ii) Dado valores a e estudado certas características da fução ( uma delas, por eemplo, a derivada ). Atribuido valores a, teremos: ( ) ( ) ( ) f < f f < >. Desde que f ( ) é positivo e ( ) f é egativo, pelo teorema de Bolzao, há, o míimo, um zero de f o itervalo [, ]. Cosiderado que ( ) ( ) f f ' e restrigido o estudo da derivada ao itervalo [, ], vemos que a derivada é positiva, isto é, f ' > etão, com certeza há apeas uma raiz esse itervalo. Portato o itervalo iicial que usaremos para aplicar o método da bissecção é [, ]. Veja a tabela abaio: a b ( ) f Erro ( meor que ) 4 5 6,,,5 -,75,5,5,,75,65,5,5,75,65 -,598,5,65,75,6875 -,54,65,6875,75,7875 -,459,5,7875,75,748,86,56 Cocluímos que a melhor estimativa para a raiz é,748. OBSERVAÇÃO: Algus critérios de parada são: ) Número de iterações; ) f ( ) < ε, ode ε é a tolerâcia eigida, a depeder de cada problema; 7

18 ) Ache o zero da fução f ( ) 9 + o itervalo [ ] cico casas decimais e f ( ) <, como critério de parada. ) Ecotre o zero da fução ( ),, pelo método da bissecção, utilizado f l +, pelo método da bissecção, utilizado cico casas decimais e como critério de parada Erro meor que,5. ) Determie o zero da fução f ( ) e, usado,4, pelo método de Newto-Raphso, utilizado cico casas decimais e três iterações como critério de parada 8

19 Supoha que ocorra a seguite situação: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON + ϕ ( ) (4.8) Podemos escrever uma forma geral para a fução de iteração: f( ) ϕ ( ) + A( ). f ( ) (4.9) pois, para igual à raiz de f(), tem-se f(), ou seja ϕ() para qualquer A(). (, f( ) ) Para haver a covergêcia o método da iteração liear é preciso que ϕ () < em um itervalo [a,b] que cotém a raiz de f(). Portato, a idéia o método de Newto-Raphso é escolher uma fução ϕ() tal que ϕ (α) ode α é a raiz de f() e α [a,b]. Com isso, teremos ϕ () < desde que θ ão os afastemos muito do valor de α durate + o processo de resolução do problema. α Derivado ϕ() dada pela epressão () em relação a, temos: f ( ) f ( ) tg f '( ) '( ) θ + + f De um modo geral: Seja f uma fução cotíua em [ a, b ] e α seu úico zero em [, ] f ' e f '' sejam cotíuas ) e aida, cosidere que ' f em [, ] a b, supoha que f C ( isto é a b. Com o objetivo de determiar uma f ( ) aproimação para a raiz α, usamos o processo iterativo: +. ( Que,, em sempre f '( ) coverge! ). Veja algumas outras possíveis situações abaio: 9

20 a) Caso em que uma escolha melhor...) cai fora do itervalo [, ] a b ( a escolha do ão foi legal! Possivelmete b era y f() a α b reta tagete b) Caso em que f '( ) ( péssima escolha! ) y reta tagete a b c) Caso do loop ifiito y reta tagete reta tagete Portato, de um modo geral, a depeder de, o processo pode covergir ou ão!

21 Critério euciado por Barroso, págia 5: Se f ' e f '' são ão ulas e preservarem o sial em [ a, b ] ( ode há uma raiz isolada α de f ) e ( valor iicial ) seja tal que ( ) ( ) f. f '' > etão o método de Newto coverge. Além disso, temos o Critério de Fourier para o método de Newto-Raphso: Se ( ). "( ) f a f a > a ( veja os gráficos abaio! ) Se ( ). "( ) f b f b > b Outro resultado é o teorema ecotrado em Ruggiero e Lopes ( págia 69 ): Sejam f ( ), f '( ) e f ''( ) cotíuas em um itervalo I que cotém a raiz isolada α de f ( ). Supohamos que f '( α ). Etão eiste um itervalo J I f ( ) pela fórmula recursiva + coverge para α. f '( ) tal que J, a seqüêcia { k } gerada Prezados aluos, como vimos ateriormete o método gráfico pode ser etremamete útil para decidirmos sobre a localização e isolameto da raiz. Também podemos recorrer a ele para a escolha do valor iicial da iteração. EXEMPLO : Determie pelo método de Newto-Raphso. ( Discutiremos o critério de parada e a estimativa de erro o próprio eercício ). Usaremos cico decimais com o arredodameto tradicioal. RESOLUÇÃO: Note que achar é o mesmo que determiar o zero positivo de f ( ) pois:,. Lembre que, o método da bissecção ós fizemos este mesmo problema, usado 6 iterações. O que queremos provar é que usado o método de Newto-Raphso a covergêcia é muito mais rápida. Podemos usar o método gráfico e também dar valores a ; de qualquer sorte, como visto ateriormete, ós sabemos que eiste uma úica raiz o itervalo [, ]. Testado as hipóteses do critério do Barroso:

22 ( ) ; f '( ) ; f ''( ). Cosiderado o itervalo [ ] f,, as derivadas ão se aulam e também preservam o sial ( a verdade ambas são sempre positivas ). Devemos agora escolher um coveiete. Pelo critério de Fourier, euciado acima, tomaremos ( pois ( ) ( ) f. f '' > ). + f ( ) f '( ) f ( ) ( ) f ' f f ( ) '( ) + 4,5, 75, 75,65,5,786,74,74,,4648,9,75 Com duas iterações tíhamos,74 ( melhor que o resultado obtido pelo método da bissecção, o qual fizemos seis iterações... ). Fialmete com três iterações, temos,75, assim a raiz pedida é aproimadamete,75, isto é, α,75. EXEMPLO : Calcule a raiz de f ( ) + 6, usado o método de Newto-Raphso, como estimativa iicial e como critério de parada f( ),. Para ecotrar a raiz de f() usado o método de Newto-Raphso, devemos ter: ϕ ( ) + ode, ϕ ϕ ( ) ( ) f f ( ) ( )

23 Portato, temos que: f( ) ϕ( ) 6,49,49,749,9,9,95 A estimativa da raiz de f() é:,9 OBSERVAÇÃO: Algus critérios de parada para o método de Newto-Raphso são: ) Número de iterações; ) f ( ) < ε, ode ε é a tolerâcia eigida, a depeder de cada problema; ) f f ( ) '( ) < ε ; EXERCÍCIOS ) Ache o zero da fução f ( ) 9 + o itervalo [ ],, usado,5, pelo método de Newto-Raphso, utilizado cico casas decimais e f ( ) <, como critério de parada. ) Ecotre o zero da fução ( ) f l +, usado, pelo método de Newto-Raphso, utilizado cico casas decimais e f ( ) <, como critério de parada. ) Determie o zero da fução f ( ) e, usado,4, pelo método de Newto-Raphso, utilizado cico casas decimais e quatro iterações como critério de parada

24 MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (OU ITERAÇÃO LINEAR) Seja f uma fução cotíua em [ a, b ] e α seu úico zero em [, ] a b. Por um artifício sempre podemos trasformar f ( ) em ϕ ( ) + ( ) ϕ ( ) ou aida, f ( ) ϕ ( ). Note, portato, que ( ) f ( basta cosiderar, por eemplo, ϕ ão é úica... ). EXEMPLO: Ecotre algumas fuções de iteração a partir de ( ) ( ) l fazedo ( ), temos: f + + f ) l l a ( ) l ϕ + + f + l +. ) l b + + ( ) l e ϕ ( ) e ( ) ) l c + + l. l l ϕ( ) ou aida ) l d + + ( somado e subtraido cos ) + l + + cos cos cos cos l( ) + + arc cos(cos l( ) ) ϕ + 4( ) arc cos(cos l( ) ) Cosiderado uma primeira aproimação de α, calcula-se ϕ ( ). Faz-se ϕ ( ); ϕ ( ) ϕ ( ), e assim sucessivamete, isto é, ϕ ( ) etão lim + α. OBSERVAÇÃO: ϕ ( ) é dita uma fução de iteração de f ( ). Vejamos um importate teorema ( codição suficiete ): ; +,,,, K. Se a seqüêcia covergir temos 4

25 TEOREMA DA CONVERGÊNCIA ( Ruggiero e Lopes, págia 58 ): Seja α I uma raiz isolada de f ( ), ode I é um itervalo cetrado em α. Cosidere ϕ ( ) uma fução de iteração de f ( ) ( isto é, ( ) ϕ α todos os potos em I e α, ode ϕ também é defiida em I ), com ( ) ϕ derivável. Se ( ) ϕ ' M < para I, etão os valores em + ϕ ( ),,,, K covergem para α. DEMONSTRAÇÃO: PRIMEIRA PARTE: Provaremos que, se k I etão k I, processo iterativo ϕ ( ) +,,,, K ). ( ) ( ) ( ) f α α ϕ α e seja ϕ k k k ( o caso k ( ) ( ) k * k ( isto garate a aplicação do α é trivial! ), subtraido membro a membro: α ϕ ϕ α, desde que, por hipótese ϕ é derivável, podemos aplicar o teorema do valor médio o itervalo [ α ] ( ou possivelmete em [ α ], vamos supor, para fiar idéias [ α ] k, Deste modo, c [ α ] tal que ϕ ( ) ϕ ( α ) ϕ '( c ).( α ) k k α ϕ '( ).( α ), como ( ) c k k k,, k, ou seja: k k k ϕ ' M <, I, podemos escrever: k α M. k α < k α, logo k está mais próimo de α que k, isto é, k I. Cocluímos que, dado um poto I, o próimo ϕ ( ) I e assim sucessivamete... SEGUNDA PARTE: Provaremos que a seqüêcia ϕ ( ) k, ). +,,,, K coverge para α, ou seja, lim k + k α. α M. α α M. α M. α α M. α M. α M α M. α M. α k Passado ao limite: k k k k lim k α lim M. α, desde que lim M k + k + k + costate pois M <, temos: ( ) ( ) lim α lim α lim α lim α. k k k k k + k + k + k + 5

26 Como vimos acima, a fução de iteração ϕ ão é úica. O osso foco será ecotrar uma fução de iteração que satisfaça às hipóteses do teorema acima. Vamos praticar... Seja calcular a raiz positiva de ( ) f ( é claro que já sabemos que ' e '' ). Primeiramete, vamos listar algumas possibilidades para ϕ ( ) ( fução de iteração ): a) b) c) {, isto é, ( ) ϕ ( ) ϕ ; +. { { + + +, ou seja, ( ) ϕ ( ) ( ) ( ) ϕ ( ) ϕ + + ± + ϕ4 + para ϕ +, para ; Sem testar as hipóteses do teorema acima, vamos trabalhar com ϕ ( ) e ( ) ϕ + com a iteção de observar a covergêcia a vizihaça de ( que ós já sabemos ser a raiz positiva de ( ) ). Escolheremos como vizihaça o itervalo [ ] f,5., e como aproimação iicial + : ( i ) Para ϕ ( ), temos o processo iterativo ϕ ( ) ( ) + ϕ,5 4, 5 ( ) ϕ,5 4, 5 4, 5 ( ) 6, 65 ϕ 4, 5 6, 65 6, 65 ( ) ϕ 6, 65 56, 9 56, 9 Observado a quarta colua podemos observar que a seqüêcia,,, K ão é covergete. Pode pitar uma dúvida em sua mete... será que se o fosse tomado mais perto de, a fução de iteração covergiria? Bom,como primeiro passo, acoselhamos que você eperimete começar com, e, após algumas iterações, você costatará que ão haverá covergêcia. Tete de ovo, agora para,99 e verifique a divergêcia. Agora cocluamos jutos que o defeito, o caso em estudo, ão está em mas possivelmete a escolha da fução de iteração ϕ ( ) próima fução de iteração ( ) ϕ +.. Vamos etão, cosiderar a 6

27 ( ii ) Para ϕ ( ) +, temos o processo iterativo ϕ ( ) + + :,5, ϕ ( ) ( ) ( ), ( ) ϕ +,5 + 4,5,, ϕ, + 4,,, ϕ, + 4,, 75, 75 Observado a quarta colua podemos observar que a seqüêcia,,, K é covergete. Portato, cosiderado três iterações, temos α,75. Ufa! Coseguimos! Agora, gostaria de chamar sua ateção para o fato de que a fução ( ) ϕ + satisfaz às hipóteses do teorema da covergêcia da págia 5 ( isto é, a covergêcia era esperada... ) pois ϕ ' ( ) < em [,]. +.. OBSERVAÇÃO: Se desejássemos calcular a raiz egativa de ( ) seria ( ) 4 ϕ + ( Porquê? ). f a fução de iteração OBSERVAÇÃO: O Método de Newto-Raphso é um caso particular do método de iteração liear. O método de iteração liear cosiste em estimar a raiz de uma fução f() usado o processo iterativo: + ϕ( ). Podemos escrever uma forma geral para a fução de iteração: ϕ ( ) + A( ). f ( ) pois para igual à raiz de f(), tem-se f(), ou seja ϕ() para qualquer A(). 7

28 EXERCÍCIO RESOLVIDO: Ecotre uma estimativa para a raiz egativa de f ( ) e usado o método da iteração liear. Vamos iiciar a solução ecotrado uma boa estimativa iicial para o valor da raiz de f(). Para isso, vamos usar o método gráfico para o isolameto de raízes. Escrevedo: f() g() h() g() e h() e temos: 4 * ep() A partir do esboço gráfico acima, coclui-se que a raiz egativa ecotra-se o itervalo [,]. Devemos agora escolher uma fução de iteração ϕ(). Para isso, escrevemos: ( ) f e ± e ϕ( ) e Ou seja, podemos ter como fução iteração, os dois casos abaio: ϕ( ) e ( ) Usado ϕ ( ) e pois desejamos o zero egativo! e, temos: 4 ϕ ϕ ( ) ( ) e, 66,66, 66 ϕ ( ) ϕ (, 66) e, 78, 78 ϕ ( ) ϕ(, 78) e, 69,78,69, 69 ϕ ( ) ϕ(, 69) e, 77, 77 8

29 Verifique se as hipóteses do teorema da covergêcia, da págia 5 são satisfeitas, isto é: TEOREMA DA CONVERGÊNCIA ( Ruggiero e Lopes, págia 58 ): Seja α I uma raiz isolada de f ( ), ode I é um itervalo cetrado em α. Cosidere ϕ ( ) uma fução de iteração de f ( ) ( isto é, ( ) ϕ α todos os potos em I e α, ode ϕ também é defiida em I ), com ( ) ϕ derivável. Se ( ) ϕ ' M < para I, etão os valores em + ϕ ( ),,,, K covergem para α. OBSERVAÇÃO: Substituido os valores de k em f() para cada iteração k, vemos que a cada etapa os aproimamos mais da raiz de f(), pois o valor dessa fução fica mais próimo de zero a cada iteração, como mostrado a tabela abaio: f ( ) e -,6 -,66 -,78 -,78,67 -,69 -,4 -,77,7 PRATIQUE ) Determie a raiz de f ( ) se o itervalo [,5; ], até a quarta iteração (,9 ). f ) Seja ( ) a) Determie um itervalo de f cotedo um zero positivo. b) Ache algumas fuções de iteração. c) Use uma delas ( que covirja, é claro! ) e, com três iterações, determie uma aproimação para a raiz que se situa o itervalo obtido o item a). 9

30 LISTA DE EXERCÍCIOS. Quais são as causas mais importates de erros uméricos em operações realizadas em computadores e calculadoras?. Cite as características básicas de todo processo iterativo.. O que é um zero ou raiz de fução? 4. Como você poderia usar o método da bissecção para estimar o valor de 7? Estime esse valor com uma precisão de (ou erro meor que),. 5. Dada a fução f ( ) se + 4 : (a) Determie o itervalo em que cotém pelo meos uma raiz de f() (graficamete ou aritmeticamete usado o Teorema de Bolzao); (b) Partido-se desse itervalo, utilize o método da bissecção para determiar o valor dessa raiz após 4 iterações. (c) Qual é o erro o seu resultado fial? f e + : 6. Dada a fução ( ) (a) Determie graficamete o itervalo em que cotém pelo meos uma raiz de f(); (b) Faça a mesma estimativa, mas desta vez aritmeticamete usado o Teorema de Bolzao; (c) Partido-se desse itervalo, utilize o método da bissecção para determiar o valor dessa raiz com uma precisão de,5. 7. O que sigifica a covergêcia de um método iterativo? Que codições garatem a covergêcia o método da iteração liear? O que fazer caso seja costatado que o método da iteração liear ão irá covergir para um dado problema? 8. Dada a fução f ( ) estimar a raiz de f(). l + 4, mostre formas para a fução ϕ() que poderiam ser usadas para se 9. Mostre que as seguites fuções de iteração satisfazem as codições (i) e (ii) do teorema de covergêcia:

31 ϕ + 9 (a) ( ) (b) ( ) ϕ (c) ( ) cos / ( ) ep / e ϕ / (d) ϕ ( ) + ( ) Estime as raízes positivas das seguites fuções pelo método de iteração liear, usado o critério de parada como sedo de quatro iterações ( Use as fuções de iteração do eercício aterior ). (a) f ( ) 9 + (b) f ( ) cos (c) f ( ) e 4 (d) f ( ). Seja a seguite fução: f ( ) + Use o método de Newto-Raphso para ecotrar uma estimativa da raiz de f() tal que f() < -4. Parta de.. Seja a fução f ( ) e 4. (a) Ecotre o itervalo que deva possuir pelo meos uma raiz de f(). ϕ, estime a raiz de f() com - - <,. (b) Usado ( ) e (c) Faça a mesma estimativa usado o método de Newto-Raphso. Qual dos dois métodos coverge mais rapidamete? (d) Um outro critério de parada que poderia ser usado correspode à verificação se o valor de f() está próimo de zero. Qual resultado para a raiz de f() se obteria caso se usasse como critério de parada a codição f() <,?. Seja: f ( ) + (a) Mostre que f() possui uma raiz em [,]. + (b) Mostre que ϕ ( ) é uma possível fução de iteração obtida a partir de f().

32 (c) Verifique se ϕ() satisfaz as codições (i) e (ii) do Teorema de Covergêcia. (d) Ecotre uma estimativa para a raiz de f() através do método da iteração liear e usado a fução ϕ() do item (c), tal que f() <,7. (e) Faça a mesma estimativa, mas desta vez ao ivés de utilizar a fução ϕ() do item (c), utilize o método de Newto-Raphso.

33 SISTEMAS LINEARES INTRODUÇÃO As equações ão eistem por si, ou seja, ão são iveções abstratas da Matemática. Muito pelo cotrário, decorrem de situações cocretas de osso quotidiao. Veja os seguites eemplos e suas respectivas represetações a liguagem matemática: a) A difereça etre as idades de Mago ( ) e Marcos ( y ) é de 4 aos: y 4 b) Numa fábrica trabalham 5 pessoas etre homes ( ) e mulheres ( y ). O úmero de homes é o triplo do úmero de mulheres: + y 5 e y Os eemplos citados represetam equações lieares e, ao cojuto destas, chamamos de Sistemas Lieares. A resolução de sistemas lieares é um problema que surge em diversas áreas do cohecimeto e ocorre, a prática, com muita freqüêcia. Por eemplo: cálculo de estruturas a Costrução Civil, cálculo do poto de equilíbrio de mercado a Ecoomia e dimesioameto de redes elétricas. EQUAÇÃO LINEAR Etede-se por equação liear toda epressão da forma a + a + a a b ode:,,,..., são icógitas ou termos descohecidos e a, a, a,..., a são úmeros reais chamados coeficietes e b é um úmero real chamado termo idepedete ou seja, em cada termo da equação liear aparece uma úica icógita e seu epoete é sempre igual a EXEMPLOS: a) + ou + y b) + 5 ou + y z 5 c) ou 4y + z 5w 4 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Uma solução de uma equação liear é uma seqüêcia de úmeros reais ( k, k, k,..., k ), tal que, substituido-se respectivamete as icógitas da equação pelos úmeros reais k,..., k, a ordem em que se apresetam, verifica-se a igualdade, ou seja, a k + a k + a k a k b EXEMPLOS: a) Uma solução da equação 4y OBSERVAÇÕES IMPORTANTES b) Uma solução da equação y 5z c) Uma solução da equação + y z + w + é o par ( 5, ) + é a tera (,, 4 ) 4 é a quadra (,,, ). Se a a a... a b etão qualquer êupla (,,,..., ) é solução. k k k k. Se a a a... a e b etão a equação ão admite solução.

34 SISTEMAS LINEARES Chama-se SISTEMA LINEAR o cojuto de duas ou mais equações lieares. EXEMPLOS: a) y 4 + y b) + y z y + z c) + y z y + z 7 y z 9 d) y + y 8 + y 6 Geericamete, um sistema liear S de m equações e icógitas é escrito: a + a + a a b a + a + a a b S a + a + a a b M a + a + a a b m m m m m ij j i,, j Abreviadamete, o sistema liear é represetado por: S a b i,,,... m SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR Dizemos que a êupla ( k, k, k,..., k ) é solução de um sistema liear se verificar, simultaeamete, todas as equações do sistema EXEMPLOS: a) o par ( 5, ) é solução do sistema + y 5y b) o tero (,, ) é solução do sistema + y + z 4 y z + y z 6 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR De um modo geral, qualquer sistema liear pode ser escrito a forma matricial: A. X B. ode A a a a... a a a a a a a a a... a a a a m m m m, X. e b b B b. b m são, respectivamete, matriz dos coeficietes ( icompleta ), matriz das icógitas ( solução ) e matriz dos termos idepedetes. 4

35 Pode-se associar, também, a um sistema liear uma matriz deomiada matriz completa ( ou matriz ampliada ) que é: a a a... a b a a a a b M a a a a b... am am am am bm EXEMPLO: Represetar matricialmete o sistema 8 A. X B. y z + y + z 8 y y + 7z OBSERVAÇÃO: Há vários métodos para a resolução de sistemas lieares, algus deles eigem uma maior quatidade de operações que outros, isto é, há um esforço computacioal maior. Pesquisem sobre esse assuto ( esforço computacioal ) o livro do professor Barroso. MÉTODOS DIRETOS ( NÃO ITERATIVOS ) ) MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS Através das operações elemetares que vocês aprederam em Álgebra Liear o osso objetivo será A a, com solução úica e tal que trasformar a matriz dos coeficietes do sistema ( * ) abaio, ( ij ) a, i, K, uma matriz triagular superior ( isto é, ode todos os elemetos abaio da diagoal ii pricipal da matriz dos coeficietes são zero ) matematicamete ( ), ode veja o esquema abaio: a + a + L+ a b k + k + L+ k w a + a + L+ a b k + L+ k w ( ) M M M M M M M a + a + L+ a b k w K k k se i > j, OPERAÇÕES ELEMENTARES SOBRE LINHAS DE UMA MATRIZ ) Permutar duas lihas etre si. ij ij L' L EXEMPLO : A 4 5 B L' L 4 5 L L ou, simplesmete A 4 5 B

36 ) Multiplicar uma liha por uma costate real k ( de um modo geral a costate k é um úmero compleo, mas o osso curso trabalharemos apeas com úmeros reais ). EXEMPLO : L' L C 4 D 4. 5 / 4 ) Somar a uma liha de uma matriz A uma outra liha de A multiplicada por uma costate. EXEMPLO : 4 4 L' L + ( ) L E 7 π F 7 π. 5 DAREMOS UM EXEMPLO DO MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS: Seja resolver o sistema: Primeiro passo: Escrevemos a matriz ampliada A : A 5 4. Nosso objetivo iicial é torar ulos os elemetos 5 e que estão situados 4 4 abaio do primeiro elemeto da diagoal pricipal ( o úmero ). Para tato usaremos a fórmula geral: aij aij L ' L. L, ode os elemetos são chamados multiplicadores m ij e os elemetos a jj da i i a j a jj jj diagoal pricipal, cosiderado a matriz dos coeficietes, são chamados de pivôs observe: 5 L' L L A 5 4,5 4,5 7 L' L L 4 4,5 4,5 OBSERVAÇÃO: O úmero é o pivô. O úmero 5 é o multiplicador m e o úmero é o multiplicador m. Segudo passo: Cotiuado o processo, osso objetivo agora é torar ulo o elemeto,5 que está situado abaio do segudo elemeto da diagoal pricipal ( o úmero,5, que é o ovo pivô ).,5 Note que o ovo multiplicador é m. Assim:,5,5 L' L L,5,5 4,5 7,5 4,5 7,5 4,5 7, 744,4 6

37 Fazedo a substituição retroativa ou retro-substituição ( do fim para o começo ): 7,744.,4 ; ( ),5. 4,5. 7 ; + ( ). Portato a solução é: S (,, ).. RESOLVA OS SISTEMAS ABAIXO: { } a) b) c) { } RESPOSTA: S (,5, ) { } RESPOSTA: S (,,) { } RESPOSTA: S (,, ) d) RESPOSTA: S,, 5 5 e) + y + z 7 y + z 5 y + z { } RESPOSTA: S (,,) f) y z y z y z RESPOSTA: 7 7 S,, 8 7

38 ) MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO LU Cosidere o sistema liear A. X B, a forma matricial. Em várias situações é desejável resolver sistemas lieares ode a matriz dos coeficietes é a mesma. Há uma estratégia para resolver esse tipo de problema, para tato decompõe-se a matriz dos coeficietes A da seguite forma A LU. L l é uma, ode ( ij ) lij, i < j matriz triagular iferior uitária, isto é L ( além disso lij mij, i > j em que os m ij são lii os multiplicadores mecioados quado trabalhamos com o método da elimiação de Gauss ), e U u é a mesma matriz triagular superior obtida a partir do método da elimiação de Gauss. ( ij ) Fialmete, podemos, em geral, escrever:. (. )..(. ) A X B LU X L U X B ( pela associatividade da multiplicação de matrizes ), deomiado o produto etre parêtesis U. X ( ) ( ) U. X Y L. Y B VEJA UM EXEMPLO:, como a matriz L ( lij ) Y, teremos o sistema: e a matriz B são cohecidas, começamos resolvedo ( ) ( ATENÇÃO: mesmo sistema resolvido pelo método da elimiação de Gauss ). Usado a decomposição A LU. em relação à matriz dos coeficietes, temos: A 5 4,5.,5 4,5. 4 4,5,74 7, 744 Após decompor a matriz dos coeficietes A, vamos agora resolver o sistema liear A. X substituido: B,,5.,5 4,5.,5, 74 7, 744,5,5 4, y matrizy y y,5, 74 7, 744, logo: 8

39 y,5. y, resolvedo ( de cima para baio ):,5, 74 y y 5 + y y 7 +,4 + y y,4, deste modo, a matriz Y 7,,4 Portato:,5 4,5. 7, resolvedo ( de baio para cima ): 7, 744,4,, { } Cuja resposta, como já sabemos é: S (,, ) EXERCÍCIOS: ( RESOLVA PELA DECOMPOSIÇÃO LU ) a) Usado a decomposição A LU. temos: A { } Resolvedo, teremos: S (,,) b) Pela decomposição A LU. temos , L,,67,, 78, 7 e U 5 9,8,. Resolva você mesmo... 9,599,9 9, 79 9

40 ) MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO DE CHOLESKY Seja A ( aij ), uma matriz simétrica ( isto é, a a, i, j ) dizemos que A é defiida positiva se es t somete se V. AV. >, V. EXEMPLO ij ji A matriz simétrica A, é defiida positiva, pois: v ( v v v ).. v v v. v + v v. v + v ( v v ) + v + ( v v ) + v >, v a meos que v v v. Esta verificação em sempre é simples. Em sala eplicaremos um modo mais fácil. TEOREMA ( CHOLESKY ): Se A ( aij ), uma matriz simétrica e defiida positiva, etão eiste uma úica matriz triagular iferior L com elemetos diagoais positivos, tais que Mostraremos um caso particular do teorema cosiderado uma matriz ( ) 4 4 simétrica e defiida positiva: a a a a4 a a a a4 A, Admita que: a a a a4 a4 a4 a4 a 44 A L. L t. A a ij, supostamete l l l l l4 a a a a4 l l 4 4. l l l a a a a A, faremos agora a multiplicação de l l l l l 4 a a a a 4 l l l l l a a a a matrizes e igualaremos os resultados, a seguite ordem: para os elemetos da diagoal pricipal, começado com o a 44, assim: ( ) a l + l + l + l l a l + l + l, que pode ser escrita: Geeralizado para todos os elemetos da diagoal pricipal, temos: k k l a l. j jj jj jk k l a l. 4

41 Para os elemetos que ão pertecem à diagoal: MÉTODOS ITERATIVOS Cosidere o sistema ( * ) abaio, de ordem, isto é, com solução úica e ode os elemetos da diagoal pricipal são todos ão ulos ( a, i,, ii K ). ( ) ) MÉTODO DE GAUSS JACOBI a + a + L+ a b a + a + L+ a b M M M M a + a + L+ a b Para implemetarmos o método de Gauss-Seidel, devemos partir de uma aproimação iicial ( qualquer ) (,,..., ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,,...,) ( usualmete a aproimação iicial é a ula ) e, utilizamos a cada ova iteração o resultado da iteração imediatamete aterior. Matematicamete: 4

42 ( K ) b a a a ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) a ( K ) b a a a ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) a M M M M M M M ( K, ) b a a a a ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) VEJA OS EXEMPLOS QUE SEGUEM ABAIXO. EXEMPLO : 4

43 Iicialmete "tiramos" o valor de, e,do seguite modo : , que dá origem ao seguite processo iterativo: ( k ) ( k ) ( k + ) 7 ( k + ) 8 5 ( k + ) 6 ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) 8 5 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),7;,6;,6, substituido, a pricípio, k, temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), utilizado como aproimação iicial,,,,, temos: ( ) ( ) ( ) Fazedo agora k, obteremos:,96; -,86;,94 Podemos cotiuar o processo idefiidamete, uma tabela feita o Ecel ( tete costruí-la! ), os dá: Resolução por Gauss-Jacobi,,,,7 -,6,6,96 -,86,94,978 -,98,966,9994 -,9888,9984,9979 -,9996,9968 Desse modo, com cico iterações ( pois a solução ula ão cota, foi um chute iicial e ão uma,, ( substitua o sistema e verifique que, realmete esta é a solução iteração ), temos a solução ( ) procurada! ) EXEMPLO : 4

44 , , ,6 Começado com a solução ula (,,, ) e usado o Ecel: Resolução por Gauss-Jacobi,,,,,65,84 4,5,8,5,89,89,95,8,649,757,647,656,4,578,44,5,444,69,56,97,8,587,488,7,48,654,548,988,967,5977,4979,5,44,6,59,998,994,5996,4996,,4,6,5,,999,5999,4999,,4,6,5 Portato a solução, ( como tudo idica! ) é a quádrupla (,;,4;,6;,5 ). ) MÉTODO DE GAUSS SEIDEL Para implemetarmos o método de Gauss-Seidel, devemos partir de uma aproimação iicial ( qualquer ) (,,..., ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,,...,) ( usualmete a aproimação iicial é a ula ) e, utilizamos a cada ova iteração o resultado da iteração imediatamete aterior. Matematicamete: ( K ) b a a a ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) a ( K ) b a a a ( k + ) ( k + ) ( k) ( k ) a M M M M M M M ( ) ( ) ( k + ) ( k + ) ( k + ) b a a K a k +, a 44

45 VEJA OS EXEMPLOS QUE SEGUEM ABAIXO. EXEMPLO : Iicialmete "tiramos" o valor de, e, do seguite modo : , que dá origem ao seguite processo iterativo: ( k ) ( k ) ( k + ) 7 ( k + ) 8 5 ( k + ) 6 ( k+ ) ( k ) ( k+ ) ( k + ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) 8 5 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 7;, 74;,98, substituido, a pricípio, k, temos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), utilizado como aproimação iicial,,,,, temos: ( ) ( ) ( ) Fazedo agora k, obteremos:,9498;, 9864;, 59 Podemos cotiuar o processo idefiidamete, uma tabela feita o Ecel ( tete costruí-la! ), os dá: 45

46 Resolução por Gauss-Seidel,,,,7 -,74,98,9498 -,9864,59,9967 -,5,8, -,,, -,, Desse modo, com cico iterações ( pois a solução ula ão cota, foi um chute iicial e ão uma,, ( substitua o sistema e verifique que, realmete esta é a solução iteração ), temos a solução ( ) procurada! ) EXEMPLO : , , ,6 Começado com a solução ula (,,, ) e usado o Ecel: Resolução por Gauss-Seidel,,,,,65,675,45,75,7,5497,6,477,95,4,6,498,996,45,6,4999,,4,6,5,,4,6,5 Portato a solução, ( como tudo idica! ) é a quádrupla (,;,4;,6;,5 ). Será que ão fica, para vocês, meus curiosos aluos, uma perguta o ar: Professor, este método de Gauss Seidel sempre coverge, isto é, cada vez mais os valores obtidos a tabela se aproimam da solução do sistema? A resposta é... NÃO! Veremos abaio algus critérios que se satisfeitos, garatem a covergêcia do processo de Gauss-Seidel. Esses critérios são chamados de codições suficietes, para o Matemático isso sigifica que se esses critérios ão forem satisfeitos pode haver ou ão covergêcia, ou seja, ada podemos afirmar! CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA PARA O MÉTODO ITERATIVO GAUSS SEIDEL ( GS ) CRITÉRIO DAS LINHAS: 46