Limite, Continuidade e

Transcrição

1 Módulo Limite, Cotiuidade e Derivação Este módulo é dedicado, essecialmete, ao estudo das oções de limite, cotiuidade e derivabilidade para fuções reais de uma variável real e de propriedades básicas a elas relacioadas. Como as duas últimas oções repousam, fudametalmete, a de limite, é etão claro que esta desempeha um papel cetral o desevolvimeto do curso. Optamos por itroduzir o coceito de limite a partir daquele de seqüêcia covergete, por cosiderar este efoque mais acessível a um estudate iiciate do que aquele baseado em épsilos e deltas, utilizado em muitos livros. Após defiir a oção de limite e obter algumas propriedades elemetares de limites, dedicamos uma aula exclusivamete ao limite lim Limites ifiitos e limites o ifiito são também discutidos. x 0 se x x =. Estudamos as fuções cotíuas e algumas das suas propriedades elemetares. Euciamos também os teoremas de Weierstrass e do valor itermediário, procurado realçar a importâcia dos mesmos por meio de exemplos elucidativos. Fialmete, estudamos as fuções deriváveis e algumas das suas propriedades elemetares. Abordamos também o que se etede por derivação implícita, assim como o sigificado da derivada o cotexto da Física. 7 CEDERJ

2

3 O limite de uma seqüêcia. MÓDULO - AULA Aula O limite de uma seqüêcia. Objetivo Compreeder, a partir da discussão de exemplos cocretos, o coceito de seqüêcia covergete. Este importate coceito será utilizado para defiirmos a oção de limite, uma das oções fudametais da Matemática, que desempehará um papel cetral em tudo que estudaremos a seguir. Referêcias: Aulas 0, e de Pré-Cálculo. Faça o seguite esforço de abstração: imagie que você esteja o seu quarto a uma distâcia de metro de uma das paredes. Seu objetivo é tetar chegar à parede percorredo uma liha reta de maeira que, ao dar o primeiro passo, você atija a metade da distâcia; ao dar o segudo passo, você atija a metade da distâcia restate, e assim por diate. Assim, após o primeiro passo você estará a metro da parede; após o segudo passo você estará a = de metro da parede; após o terceiro passo você estará a = de metro da parede, e assim por diate. Repetido esse procedimeto idefiidamete, você pode observar dois fatos iteressates: o primeiro deles é que você uca atigirá efetivamete a parede; e o segudo é que a distâcia que o separa da parede se torará tão próxima de zero quato você queira, bastado para isso que você dê um úmero suficietemete grade de passos. Augusti Louis Cauchy ( ) foi talvez o maior matemático fracês da primeira metade do século XIX. Ele formulou as oções moderas de limite, cotiuidade e covergêcia de séries, obtedo resultados que marcaram uma ova época para a Aálise Matemática. Além de dar uma defiição rigorosa de itegral, foi ele que, em 89, o seu Leços sur le Calcul Différetiel, defiiu pela primeira vez uma fução complexa de variável complexa. 9 CEDERJ

4 O limite de uma seqüêcia. Por exemplo, imagie um poto que esteja a = de metro da parede o que, covehamos, é bem próximo. Etão, a partir do vigésimo primeiro passo, você estará a uma distâcia aida meor da parede, pois < 0, < 0, 3 < 0, 4 < 0,. O feômeo que ocorre com os úmeros,,, 3, 4,,,, o qual acabamos de discutir ituitivamete, é bastate profudo e ecerra uma idéia cetral, que é a oção de seqüêcia covergete. cuidadosa. Nos exemplos a seguir, discutiremos a mesma idéia de forma mais Exemplo. Cosideremos a seqüêcia,, 3, 4, 5,...,,,... (ver a Figura.), + também represetada por ( ) ou ( ) Figura. Lembre que se x > y > 0, etão x < y. O itervalo aberto de cetro a e raio r é o itervalo (a r, a + r). Todos os elemetos desta seqüêcia são maiores do que zero e se toram cada vez meores à medida que cresce. Com essa seguda afirmação queremos dizer precisamete o seguite: se e m são dois iteiros quaisquer, com > m, etão < m. Tomemos agora um itervalo aberto de cetro zero e raio pequeo, por exemplo,. 00 Para qualquer iteiro > 00, temos <. Isto implica que 00 (, 00 00) para todo 0 (ver a Figura.) Figura. 00 CEDERJ 0

5 O limite de uma seqüêcia. A bem da verdade, o que dissemos acima ão é uma exclusividade do itervalo ( 00, 00). Com efeito, cosideremos um itervalo ( r, r), ode r > 0 é arbitrário. Em vista de uma propriedade muito importate, satisfeita pelos úmeros reais, chamada propriedade arquimediaa, existe um iteiro m tal que m Coseqüetemete, < r. Logo, para todo iteiro > m, temos < m < r. ( r, r) para todo m. Esta afirmação os diz que, a partir de um certo istate, todos os elemetos da seqüêcia pertecem ao itervalo ( r, r). MÓDULO - AULA Propriedade arquimediaa: Para todo r > 0 existe um úmero iteiro m tal que m < r. Exemplo. Cosideremos a seqüêcia,, 4, 8, 6,,, +,, também represetada por ( ) 0 ou ( ). Você já percebeu que além dos elemetos desta seqüêcia serem todos positivos, eles se toram cada vez meores à medida que cresce. Mais precisamete, queremos dizer o seguite: se e m são dois iteiros quaisquer com > m, etão <. Realmete, = ( m)+m = m. m > m, m pois m > (visto que m > 0); logo, <. m Note também que > para todo (por exemplo, = >, = 4 >, 3 = 8 > 3, 4 = 6 > 4, ), fato este que pode ser justificado laçado mão da fórmula do biômio de Newto estudada em Matemática Discreta. De fato, = ( + ) = + ( ) + ( ) ( ) ( ) >, pois ( ) = e todas as parcelas que aparecem a soma acima são úmeros iteiros maiores do que zero. Tomemos agora um itervalo aberto de cetro zero e raio pequeo, por exemplo, 00. Usado o prícipio de idução fiita, visto o módulo 3 de Matemática Discreta, mostre que > para todo. A fórmula do biômio de Newto é: X (a + b) = a k k b k k=0 para todo. CEDERJ

6 O limite de uma seqüêcia. Como 6 = 64 e 7 = 8, temos < para todo 7. Isto implica 00 que (, 00 00) para todo 7 (ver a Figura.3) Figura.3 Novamete, o que dissemos acima ão é uma exclusividade do itervalo (, 00 00). Com efeito, cosideremos o itervalo ( r, r), ode r > 0 é arbitrário. Em vista da propriedade satisfeita pelos úmeros reais mecioada o exemplo aterior, existe um iteiro m tal que m < r. Como m > m, etão < ; logo, < r. m m m Mais aida, para qualquer iteiro > m, temos <. Assim, m ( r, r) para todo m. Esta afirmação os diz que, a partir de um certo istate, todos os elemetos da seqüêcia pertecem ao itervalo ( r, r) (ver a Figura.4). -r 0 r Figura.4 m+ m Exemplo.3 Cosideremos a seqüêcia,, 3, 4, 5, 6,, ( ) + ( ) +,, (ver a Figura.5), + ( ) ( ) também represetada por ( ) + ou ( ) Figura.5 Todos os elemetos desta seqüêcia são diferetes de zero, sedo positivos os elemetos correspodetes a ímpar (por exemplo,, 3, 5,...), e egativos aqueles correspodetes a par (por exemplo,, 4, 6,...). Vamos mostrar, como os exemplos ateriores, que os elemetos da seqüêcia se aproximam de zero quado cresce. Com efeito, seja r um úmero real positivo qualquer e seja m tal que m < r; etão ( )m+ m ( r, r), pois CEDERJ

7 O limite de uma seqüêcia. ( )m+ m = ( )m+ (ote que estará à esquerda de zero se m for par e à m m direita de zero se m for ímpar). Além disso, se > m, ( ) + = < m < r. Em resumo, acabamos de verificar que ( )+ < r para todo m, ou seja, que ( )+ ( r, r) para todo m (ver a Figura.6). MÓDULO - AULA m+ m -r r ( ) 0 ( ) m+ m+ Figura.6 Podemos etão afirmar que os Exemplos.,. e.3 ocorre um mesmo feômeo, a saber: para qualquer itervalo aberto I cotedo zero podemos determiar um iteiro m de modo que a partir do m-ésimo elemeto da seqüêcia todos os outros elemetos pertecem a I. Exemplo.4 Cosideremos a seqüêcia, 3, 3 4, 4 5, 5 6,..., +, +,... (ver a Figura.7), + também represetada por ( ) ou ( + +) Figura.7 Todos os elemetos desta seqüêcia pertecem ao itervalo (0,); em particular, todos são diferetes de. Notemos aida que, como + = + = + e como se aproxima de zero quado cresce, é ituitivo que de quado cresce. se aproxima + 3 CEDERJ

8 O limite de uma seqüêcia. Uma outra maeira de ver isso é a seguite: Notado que + = + Note que se r > 0 e x ( r, r), etão x ( r, + r). e lembrado que decresce quado cresce (como vimos o Exemplo.), + segue que os elemetos da seqüêcia crescem à medida que cresce (uma + vez que, a cada istate, estaremos dimiuido de um úmero cada vez meor), apesar de uca atigirem o valor. Além disso, qualquer itervalo aberto cotedo cotém todos os úmeros da forma + a partir de um certo istate, já que qualquer itervalo aberto cotedo zero cotém todos os úmeros da forma a partir de um certo istate (como vimos o Exemplo.). + O que vimos os Exemplos.,. e.3 caracteriza o fato de uma seqüêcia covergir para zero e o que vimos o Exemplo.4 caracteriza o fato de uma seqüêcia covergir para. Os exemplos vistos ateriormete motivam a itrodução do seguite coceito fudametal: Defiição. Sejam (x ) (ou (x )) uma seqüêcia arbitrária de úmeros reais (os Exemplos.,.,.3 e.4, x =, x =, x = ( ) e + x =, respectivamete) e x um úmero real. Diz-se que (x + ) coverge para x, e escreve-se lim x = x, quado para qualquer itervalo aberto I cotedo x (por meor que ele seja) é possível ecotrar um iteiro m, de modo que x I para todo m. lim x = x lê-se: limite de x quado tede a ifiito é igual a x. Pode-se provar que x, caso exista, é úico. Em outras palavras, (x ) coverge para x quado, para todo r > 0 (por meor que ele seja), existe um iteiro m tal que x (x r, x + r) para todo m, ou seja, tal que x x < r para todo m. Nos exemplos acima temos: lim = 0, lim ( ) + = 0, lim = 0 e lim + =. Quado ão houver x R para o qual uma determiada seqüêcia (x ) covirja, diz-se que (x ) diverge. Este é o caso da seqüêcia do exemplo a seguir. CEDERJ 4

9 O limite de uma seqüêcia. MÓDULO - AULA Exemplo.5 Cosideremos a seqüêcia x = ( ),. Temos que x = para par e x = para ímpar. Dado qualquer úmero real x, com x e x, é possível ecotrar um itervalo aberto I cotedo x tal que / I e / I ( ver a Figura.8, ode tomamos, por exemplo, 0 < x < ). 0 ( I ) x Figura.8 É claro que x / I para todo. Portato, (x ) ão coverge para x. Por outro lado, (x ) ão coverge para em para -. De fato, tomemos um itervalo aberto J cotedo tal que / J (ver a Figura.9). 0 ( J ) Figura.9 Como para todo ímpar temos que x / J, (x ) ão coverge para. Raciociado de modo aálogo, verificamos que (x ) ão coverge para -. Portato, (x ) diverge. O exemplo mais simples de seqüêcia covergete é o seguite: Exemplo.6 Seja c um úmero real e cosideremos a seqüêcia x =,,.... Etão é claro que lim x = c. = c para todo Resumo Você acaba de ser apresetado à uma oção básica e fudametal, qual seja, a de seqüêcia covergete de úmeros reais. 5 CEDERJ

10 O limite de uma seqüêcia. Exercícios. Ache os limites das seqüêcias (x ) abaixo: (a) x = ; (b) x = + 3 ; (c) x = ; (d) x = Ecotre iteiros m, m tais que: (a) ( ) + < 00 para m ; (b) ( ) + < 0000 para m. 3. Ache lim ( + ). 4. Ecotre iteiros m, m, m 3 tais que: (a) < 0 para m ; (b) < 00 para m ; (c) < 000 para m Mostre que ( lim ( + ) + ( + ) + + ) () Sugestão: Observe que Auto-avaliação 0 < ( + ) + ( + ) + + () }{{ } parcelas = 0. ( + ) <. Os exercícios desta aula têm por objetivo cotribuir para o amadurecimeto do coceito que acabamos de itroduzir. Por esta razão, é sumamete importate que você teha resolvido a maioria deles. Se você setiu alguma dificuldade, releia os exemplos, pois eles cotêm os igredietes para resolvêlos. Se persistir alguma dúvida, ão hesite em cosultar os tutores. CEDERJ 6

11 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. MÓDULO - AULA Aula Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. Objetivos Estudar operações com limites de seqüêcias, tais como: soma, produto e quociete. Referêcia: Aula. Compreeder o coceito de limite. Na aula aterior itroduzimos a oção de limite de uma seqüêcia de úmeros reais, a partir da discussão de algus exemplos. Nesta aula estudaremos algumas operações elemetares com limites de seqüêcias e itroduziremos o coceito de limite, o qual desempehará um papel cetral em todo o osso curso. A título de motivação, cosideremos iicialmete um exemplo. Exemplo. Seja a = +, =,,.... Raciociado como a aula, é possível cocluir que lim a = 0. Por outro lado, podemos escrever a = x + y, ode x = e y =. Além disso, já sabemos que lim x = lim y = 0. Portato, acabamos de observar que lim a = lim (x + y ) = lim x + lim y. Na verdade, o que ocorreu o exemplo acima ão é uma mera coicidêcia, como mostra a proposição a seguir. Proposição. Se lim x = x e lim y = y, etão lim (x + y ) = x + y. 7 CEDERJ

12 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. A validade desta proposição decorre do fato de que (x + y ) (x + y) = (x x) + (y y) x x + y y para todo e do fato de que podemos torar x x + y y tão próximo de zero quato queiramos desde que tomemos suficietemete grade (pois isto vale tato para x x quato para y y ). Voltemos à seqüêcia a = +, =,,..., do Exemplo.. Pela Proposição., obtemos Exemplo. ( lim a = lim + ) = lim + lim = = 0. Seja a = ( )+ +, =,, Etão a = x + y, ode x = ( )+ e y = +. Vimos, a aula, que Logo, pela Proposição., lim x = 0 e lim y =. lim a = lim (x + y ) = lim x + lim y = 0 + =. Ates de euciar outra proposição, façamos uma observação importate. Admitamos que uma seqüêcia (x ) covirja para x. Etão, por defiição, existe um iteiro m tal que x x < para todo m (isto sigifica que x (x, x + ) para todo m; ver a Figura.). x x m x x x x+ m+ m+ Figura. Coseqüetemete, para todo m. x = (x x) + x x x + x < + x CEDERJ 8

13 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. MÓDULO - AULA Como, felizmete, só há um úmero fiito de elemetos da seqüêcia que podem ão ter valor absoluto meor do que + x (quais sejam, x,..., x m ), podemos garatir que há um úmero M > 0 tal que x M para todo. Proposição. Se lim x = x e lim y = y, etão lim x y = xy. Subtraido e somado x y, obtemos: x y xy = x y x y + x y xy = x (y y) + y(x x). Por outro lado, acabamos de ver que existe M > 0 tal que x M para todo. Portato, para todo, x y xy = x (y y) + y(x x) x (y y) + y(x x) = = x y y + y x x M y y + y x x. Daí resulta que lim x y = xy, já que podemos torar M y y + y x x tão próximo de zero quato queiramos desde que tomemos suficietemete grade (pois isto vale tato para x x quato para y y ). Façamos agora uma pausa para um cometário que os parece relevate. Acreditamos ão ser pertiete, este mometo,dar uma demostração rigorosa de certos resultados, tais como as Proposições. e.. Por outro lado, é importate que você se coveça de que elas são verdadeiras; por esta razão, icluímos um esboço da demostração de ambas as proposições. Aliás, você deve ter percebido que a demostração da seguda é bem mais elaborada do que a da primeira. Decorre da Proposição. que, se lim x = x e c é um úmero real arbitrário, etão lim cx = cx. Realmete, defia t = c para todo. Como lim t = c, segue da referida proposição que lim cx = lim t x = ( )( ) lim t lim x = cx. 9 CEDERJ

14 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. Em particular, fazedo c =, obtemos que lim ( x ) = lim ( )x = x. Supohamos aida que lim y = y. Pela Proposição., podemos afirmar que lim (x y ) = lim (x + ( y )) = lim x + lim ( y ) = x y. Exemplo.3 Se lim x = x, etão lim x = x. De fato, pela Proposição., Exemplo.4 lim x = lim (x x ) = ( )( ) lim x lim x = x.x = x. Se lim x = x, etão lim x 3 = x 3. De fato, usado a Proposição. e o Exemplo.3, segue que lim x 3 = lim (x x ) = ( lim x )( ) lim x = x.x = x 3. Mais geralmete, para qualquer iteiro k, tem-se: Exemplo.5 O fato expresso o Exemplo.5 decorre da Proposição. e do pricípio de idução fiita. Se lim x = x, etão lim x k = x k. Exemplo.6 Seja p(x) = a m x m + a m x m + + a x + a 0 um poliômio arbitrário. Se lim x = x, etão lim p(x ) = p(x). De fato, em vista da Proposição.(e idução), da Proposição. e do Exemplo.5, segue que lim p(x ( ) ) = lim am x m + a m x m + + a x + a 0 = = lim a m x m + lim a m x m + + lim a x + lim a 0 = ( = a m lim x ) ( m + a m lim x ) ( ) m + + a lim x + a0 = = a m x m + a m x m + + a x + a 0 = p(x). Temos aida a seguite CEDERJ 0

15 Proposição.3 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. Se (y ) é uma seqüêcia de úmeros reais ão ulos covergido para um úmero real y ão ulo, etão a seqüêcia ( y ) coverge para y. Como coseqüêcia desta proposição e da Proposição. resulta que, se lim x = x e (y ) e y são como a Proposição.3, etão ( x lim = lim x ) = ( ( ) lim x y y lim ) y = x y = x y. MÓDULO - AULA Na Proposição.3 basta supor y 0, pois isto implica y 0 a partir de um certo. Exemplo.7 Seja a =, =,, Como a = = + +, podemos escrever a = x, ode y x = e y = + +. Mas e lim x = lim ( ) = lim lim = 0 = lim y = lim ( + + ) = lim + lim + lim = =. Podemos etão cocluir que lim a = lim x lim y = =. Cocluiremos esta aula itroduzido a oção de limite. vejamos mais dois exemplos. Mas ates, Exemplo.8 Cosideremos a fução f(x) = x 3 defiida para x R, cujo gráfico esboçamos a Figura.. CEDERJ

16 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. 8 x 3 0 x 8 Figura. Como vimos o Exemplo.4, se tomarmos qualquer seqüêcia (x ) de úmeros diferetes de tal que lim x =, teremos lim f(x ) = lim x 3 = 3 = 8. Exemplo.9 Cosideremos a fução f, defiida em R, dada por f(x) = x se x 0 e f(x) = + x se x > 0, cujo gráfico esboçamos a Figura Figura.3 CEDERJ

17 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. MÓDULO - AULA Como ambas as seqüêcias x = e y = ( =,,... ) covergem para zero, a seqüêcia (f(x )) coverge para zero (pois f(x ) = ) e a seqüêcia (f(y )) coverge para (pois f(y ) = + ). Coseqüetemete, ão podemos ecotrar l R com a propriedade de que, para toda seqüêcia (x ) de úmeros diferetes de zero tal que lim x = 0, se teha lim f(x ) = l. Itroduzamos agora um coceito fudametal. Defiição. Sejam f : D R, a R tal que todo itervalo aberto cotedo a itercepte D {a} e l R. Diz-se que f(x) tede a l quado x tede a a, e escreve-se lim f(x) = l, x a quado para toda seqüêcia (x ) de elemetos de D tal que x a para todo e lim x = a, tem-se lim f(x ) = l. Neste caso, diz-se que lim f(x) x a existe. Quado ão houver um úmero real l satisfazedo a propriedade acima descrita, diz-se que lim f(x) ão existe. x a A exigêcia feita sobre a, a defiição acima, sigifica que há potos de D diferetes de a tão próximos de a quato queiramos. Isto ocorre, por exemplo, se D é um itervalo ão trivial e a D ou a é um extremo de D (caso D R). É importate também otar que, mesmo que a perteça a D, o valor de f em a é irrelevate para o estudo do coceito em questão. lim f(x) = l lê-se: limite de x a f(x) quado x tede a a é igual a l. D represeta o domíio da fução f. Pode-se provar que l, caso exista, é úico. Um itervalo é ão trivial quado ão se reduz a um úico elemeto. Exemplo.0 Seja c R e defiamos f(x) = c para todo x R. Etão, para todo a R, lim f(x) = c. x a Exemplo. Cosideremos a fução f(x) = x defiida para x R, cujo gráfico esboçamos a Figura.4. Etão, para todo a R, lim f(x) = f(a). x a 3 CEDERJ

18 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. a x a x 0 Figura.4 Para quaisquer x, y R, temos x y x y. Com efeito, vejamos que para qualquer seqüêcia (x ) de úmeros reais diferetes de a tal que lim x = a, tem-se que lim x = a, isto é, lim f(x ) = f(a). Isto pode ser justificado por meio da relação x a x a, que é válida para todo (esta relação os diz que a distâcia etre x e a uca ultrapassa aquela etre x e a). Com efeito, dado r > 0 arbitrário, podemos ecotrar um iteiro m tal que x a < r para todo m (pois lim x = a). Portato, x a x a < r para todo m. Isto mostra que lim x = a. Assim, para todo a R, lim 5 = 5 e lim x 0 x = 0 = 0. Exemplo. x = a. Em particular, lim x = x a x 5 Cosideremos um poliômio p qualquer. Etão, para todo a R, lim p(x) = p(a). x a Com efeito, tomemos qualquer seqüêcia (x ) de úmeros reais diferetes de a tal que lim x = a. Como vimos o Exemplo.6, lim p(x ) = p(a). Assim, lim p(x) = p(a). x a CEDERJ 4

19 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. MÓDULO - AULA Em particular, lim (x 3 7x) = ( 3 ( ) 7 ) x = 7 = 8 = 7 e lim x 3 (x + 6x 5) = 3 + (6 3) 5 = =. Exemplo.3 Cosideremos a fução f : R {0} R dada por f(x) = 0 se x < 0 e f(x) = x se x > 0, cujo gráfico esboçamos a Figura.5. x 0 x Figura.5 Se tomarmos qualquer seqüêcia (x ) de úmeros reais ão ulos tal que lim x = 0, teremos que lim f(x ) = 0. Assim, lim x 0 f(x) = 0. Exemplo.4 Voltemos à fução f : R R do Exemplo.9. Vimos, o referido exemplo, que existem duas seqüêcias de úmeros ão ulos, (x ) e (y ), tais que lim x = lim y = 0, lim f(x ) = 0 e lim f(y ) =. Portato, ão existe. lim f(x) x 0 Resumo Nesta aula você estudou operações com limites de seqüêcias e foi apresetado à oção fudametal de limite. 5 CEDERJ

20 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. Exercícios. Ache os limites das seqüêcias (x ) abaixo: (a) x = ; (b) x = Mostre que lim x = 0 se, e somete se, lim x = Dê um exemplo de uma seqüêcia (x ) divergete tal que a seqüêcia ( x ) seja covergete. 4. Se lim x = x, use a defiição para mostrar que lim ( x ) = x. 5. Se lim x =, mostre que existe um iteiro m tal que x > para todo iteiro m. Em particular, os elemetos da seqüêcia (x ) são maiores do que zero a partir de um certo istate. Sugestão: Cosidere o itervalo aberto (, ) 3 de cetro e raio e aplique a defiição de limite de uma seqüêcia. 6. Se lim x = x e x > 0, mostre que existe um iteiro m tal que x > x para todo iteiro m. Sugestão: Raciocie como o Exercício 4, substituido (, ( 3 ) por x, ) 3x e otado que ( x, ) 3x é o itervalo aberto de cetro x e raio x. 7. Calcule os seguites limites: (a) lim x 0 (x 5 7x 4 + 9); (b) lim x (x4 + x 3 ); (c) lim x 0 ( + x ); (d) lim x x 4 x. 8. Defia f : R {} R por f(x) = x se x < e f(x) = se x >. (a) Esboce o gráfico de f. (b) Use (a) para ituir o valor de lim x f(x). 9. Defia f : R {0} R por f(x) = x se x < 0 e f(x) = x se x > 0. (a) Esboce o gráfico de f. (b) Use (a) para ituir o valor de lim x 0 f(x). CEDERJ 6

21 Operações com limites de seqüêcias. A oção de limite. MÓDULO - AULA 0. Defia f : R R por f(x) = se x e f(x) = se x >. (a) Esboce o gráfico de f. (b) Mostre que lim x f(x) ão existe. Desafio Cosidere duas seqüêcias (x ) e (y ) tais que lim x = 0 e existe M > 0 tal que y M para todo. Mostre que lim x y = 0. Auto-avaliação Os resultados desta aula serão importates para o estudo de limites, que iiciamos esta aula e retomaremos a próxima de maeira mais detalhada. Por esta razão, só passe para a próxima aula quado tiver feito todos os exercícios, que são de dois tipos: os seis primeiros e o desafio versam sobre a oção de seqüêcia covergete e os quatro últimos sobre a oção de limite. Se você teve alguma dúvida releia a aula (bem como a aterior) e depois retore aos exercícios. Este procedimeto pode ser muito útil. 7 CEDERJ

22 .