Capítulo IV - Equações não Lineares

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1 Capítulo IV - Equações ão Lieares C. Balsa & A. Satos. Itrodução Dada uma equação f ( diz-se que * é uma raiz da equação se, ao substituir o valor de por *, a equação aterior se trasforma a idetidade ( f *. O úmero * pode ser uma raiz de f, real ou complea, simples ou múltipla. Será simples se ( f ( *, mas f '( * e será múltipla (de multiplicidade k se ( k ( f ( * f '( * f ( * mas ( k f ( *. Neste curso faremos apeas referêcia à aplicação de métodos uméricos para o cálculo de raízes reais e simples de f. Por vezes é possível a determiação da raiz que se pretede calcular, quer de forma imediata, quer recorredo a fórmulas já cohecidas: E.:.. A solução de uma equação liear é a b, com a b a E.:.. As soluções da equação poliomial do º grau a b c + + podem ser reais, iguais ou diferetes, ou compleas; podem ser determiadas através da uma das fórmulas resolvetes seguites ± b b 4ac a ou k± k ac, com b k a Capítulo 4 Equações ão lieares 6

2 C. Balsa & A. Satos Mas em sempre é possível dispor de uma fórmula para calcular directamete as raízes de uma equação, sedo ecessário, a maior parte das situações, o uso de métodos uméricos para obteção de valores aproimados dessas raízes, i.e., valores que represetem essas raízes com um erro ε (absoluto ou relativo majorado por um valor tol previamete fiado ( ε tol. Os métodos uméricos podem agrupar-se em três grades classes: Métodos directos ou algébricos Cosistem a aplicação directa de fórmulas que coduzem a solução eacta (usado uma aritmética de precisão ifiita. Por eemplo as fórmulas para equações poliomiais do segudo grau ou o método da elimiação de Gauss para resolução de sistemas de equações algébricas lieares. Métodos iterativos Partido de uma aproimação iicial, geram um sucessão de valores,,,. Se o método for covergete, tal como desejado, estes valores vão se aproimado cada vez mais de * ; os valores gerados pela sucessão depedem (são fução de um ou mais valores ateriormete gerados: (,,, ϕ. + E.:.3. Fórmula iterativa do método da secate, a estudar durate este capítulo: + ( ( ( ( f f f f Métodos recursivos De defiição em tudo igual à aterior, ecepto em que os valores gerados pela sucessão depedem ão só de um ou mais valores ateriormete gerados, mas também estão relacioados com a ordem de uma ou mais iterações: (,,, ϕ + tal como se pode apreciar o seguite eemplo: Capítulo 4 Equações ão lieares 7

3 E.:.4. ( f ( + + C. Balsa & A. Satos Os métodos iterativos e recursivos são cosiderados métodos uméricos e é sobre estes que focalizaremos a ossa ateção. Do poto de vista computacioal, vão-os iteressar sobretudo os métodos iterativos. Neste é gerada uma sucessão de úmeros reais que se pretede covergete para *, raiz de f a calcular. A aplicação de métodos iterativos deve ter em cota duas questões esseciais: i Qual a garatia de que a sucessão seja, de facto, covergete para a raiz *? ii Quado deve o processo de cálculo ser suspeso, i.e., quado deve ser cosiderado que se atigiu a precisão desejada? Quato à primeira questão, serão estabelecidas, sempre que possível, codições suficietes de covergêcia que, em algus casos, terão aida a vatagem de permitir a previsão do úmero de iterações a efectuar. Quato à seguda questão, dois tipos de critérios podem ser usados. O primeiro é baseado o valor da aproimação à raiz a determiar *. O segudo, o valor de f ( que se pretede que seja o mais próimo possível de zero. é uma aproimação de *, raiz de f (, com erro ão superior a tol, se Δ * tol (critério baseado o erro absoluto de ou se * r tol (critério baseado o erro relativo de é uma aproimação de *, raiz de f (, com erro ão superior a tol, * se ( ( ( Δ (critério para o erro absoluto de f f f f f tol Em geral o critério do primeiro tipo é completado com o critério do segudo tipo de forma a evitar problemas devidos ao codicioameto do problema. Assim, cosiderado que o último termo da sucessão verifica um dos critérios do primeiro tipo, deve-se igualmete verificar se f ( está suficietemete próimo de zero. Em certos problemas mal codicioados podemos ter valores dos erros da aproimação bastate baio sem que o valor da fução o seja Uma vez que os problemas práticos ão cohecemos o verdadeiro valor da raiz * também é impossível determiar o erro da aproimação. Cotudo, algus métodos iterativos ão Capítulo 4 Equações ão lieares 8

4 C. Balsa & A. Satos os dão directamete uma solução aproimada mas sim um itervalo que sabemos coter a solução e cuja amplitude vai decrescedo de iteração em iteração. Para esses métodos cosideramos que o erro absoluto é igual amplitude desse itervalo a iteração k. Para os outros métodos uma boa forma de cotrolar o erro cosiste em calcular as mudaças relativas da aproimação em cada iteração Δ k +, que é uma aproimação pouco rigorosa do erro relativo da aproimação. Ocasioalmete, pode ocorrer que a covergêcia da sucessão { } para * seja demasiado leta, torado pesado o processo de cálculo. Para obstar a tal situação, pode ser implemetado um outro critério de paragem baseado a imposição de um úmero máimo de iterações a efectuar, como por eemplo ma se pretedermos que o úmero total de iterações ão ultrapasse. ma. Separação das raízes A fase iicial da resolução de uma equação f ( é a da separação das raízes, i.e., determiar itervalos [ a, b ] cada um deles cotedo uma e uma só raiz. Dois métodos são, geralmete, usados:.. Método gráfico Para algumas fuções ão é fácil a represetação gráfica de f. Tora-se, regra geral, vatajoso rescrever a equação f ( de uma forma equivalete ( ( f f em que os gráficos de e de f são mais fáceis de represetar. f E.:.. Separar as raízes de Capítulo 4 Equações ão lieares 9

5 C. Balsa & A. Satos e ( Neste eemplo a fução f e pode ser decomposta em e, com f ( uma parábola cetrada a origem e f ( e a fução epoecial. As itersecções destes dois gráficos idicam-os as raízes de f (. No gráfico seguite ilustramos esta situação para as raízes compreedidas etre -3 e 3. Figura Represetação gráfica das fuções f ( (traço cotíuo e f e ( (potilhado. Cocluímos assim que o itervalo de [ 3,3] a fução f ( cotem duas raízes α e β com α, ] [ e ],[ β... Método dos Números de Rolle Para algumas fuções (fuções poliomiais, por eemplo a separação das raízes de f pode ser feita de forma mais simples recorredo a dois teoremas da Aálise Matemática: o teorema de Bolzao e o teorema de Rolle, ou melhor, um dos seus corolários. Capítulo 4 Equações ão lieares 6

6 C. Balsa & A. Satos Teorema de Bolzao Seja f uma fução cotíua o itervalo [ ab,, ] e λ f ( a, f ( b [, ] : ( c a b f c λ. Etão, Em particular, ( ( [, ] : ( f a f b < c a b f c isto é, se os etremos do itervalo [ ab, ] f assume valores de siais cotrários, etão eiste pelo meos uma raiz de f esse itervalo. Teorema de Rolle Seja f uma fução cotíua e difereciável em ] ab, [ com f ( a f ( b. Etão, [, ] : '( c a b f c Uma das cosequêcias (corolário deste teorema é a seguite: Etre dois zeros cosecutivos da fução f ' eiste, quado muito, um zero da fução f. Uma maior geeralização deste corolário coduz à defiição do chamado cojuto dos úmeros de Rolle como o cojuto ordeado formado pelos potos froteira do domíio de f e pelas raízes de f '. Assim, o corolário pode ser euciado do seguite modo: «Etre dois úmeros de Rolle cosecutivos eiste, quado muito, um zero da fução f». E.:.6. Separar as raízes de π f ( π 9 3 ( 7 44 f + π Capítulo 4 Equações ão lieares 6

7 C. Balsa & A. Satos Parece evidete que qualquer forma de subdividir o gráfico de f coduz a uma represetação que, o míimo, provocará um problema de escala. Cotudo, vejamos que o método dos úmeros de Rolle resolve de forma satisfatória o problema de separação das raízes. Determiação dos úmeros de Rolle: Domíio de f : D { : R } ], + [ Raízes de f ' : '( f 8 4 f 6 ( 4 ( 4 ( ( Cojuto dos úmeros de Rolle da fução f : : L f f {,,, } L + Vejamos o que se passa o itervalo ], [ : i e são úmeros de Rolle cosecutivos; etão, o itervalo ], [ eiste, o máimo, uma raiz de f ; ii mas como f ( f ( pois < 9 3 ( ( π f lim < e ( 3 f 64 + π > de ode se coclui que o itervalo ], [ eiste pelo meos uma raiz de f. Da cojução das proposições i e ii surge a coclusão: f tem apeas uma raiz o itervalo ], [. Como o itervalo que cotém a raiz é muito eteso é usual separar as raízes em itervalos de meor comprimeto (uitários por eemplo. Vamos defiir um itervalo uitário: Capítulo 4 Equações ão lieares 6

8 C. Balsa & A. Satos f ( 64 > f ( < logo i.e., ( 3 ( ] 3, [ : ( f f < f é a úica raiz de f o itervalo ] 3, [. itervalos: De modo aálogo se procede para as restates raízes reais, localizadas os é a úica raiz de f o itervalo ], ; [ 3 é a úica raiz de f o itervalo ], 3. [ Fica a cargo do aluo, como eercício, a verificação das duas últimas afirmações. 3. Métodos iterativos para o cálculo de raízes. ] ab[ *,. Localizadas as raízes de f, supohamos que se deseja efectuar o cálculo de uma delas, Vários métodos eistem para alcaçar o fim a que os propomos. Estudaremos os seguites: - Método das bissecções Embora ão seja possível cosiderá-lo um método iterativo já que ão é possível estabelecer uma fórmula de recorrêcia do tipo ϕ (,, + veremos que os valores da sucessão { } vão, idirectamete, estar relacioados com valores ateriormete calculados. - Método do poto fio (ou método iterativo simples ( g( ; g( f + Capítulo 4 Equações ão lieares 63

9 C. Balsa & A. Satos - Método de Newto-Raphso f ( ; + f f ( '( - Método da secate f ( ; + ( ( ( ( f f f f - Método da falsa-posição f ( ; + ( ( ( ( a f f a f f a ou + ( ( ( ( f b b f f b f 3.. Método das bissecções Seja a equação f ( de que se pretede calcular *, úica raiz de f um certo itervalo [, ] Por divisão do itervalo [ ab, ] em dois subitervalos de igual comprimeto, i.e., por bissecção do itervalo [ ab, ] subitervalo que cotém *, repetido este processo vezes gera-se uma sucessão covergete para * : ab., e, fazedo uso do teorema de Bolzao, é possível seleccioar o { } Aalisemos, agora, o processo de defiição da sucessão { } de aproimações a * : i Partido do itervalo iicial I [ a, b ] [ a, b], calcula-se, poto médio desse itervalo [, ] [, ] ; ( a + b I a b a b e defie-se o itervalo I [ a, b ], de comprimeto a e b b, se f ( a f ( > ou a a e b, se f ( a f ( < b a b a a, de modo que b Capítulo 4 Equações ão lieares 64

10 C. Balsa & A. Satos ii Com base o itervalo I [ a, b] calculado em i, calcula-se, poto médio desse itervalo I [ a, b ] ; ( a + b e defie-se o itervalo I [ a, b ], de comprimeto de modo que a e b b b a b a b a,, se f ( a f ( > ou a e a b, se f ( a f ( < Repetido, de forma sistemática, os procedimetos idicados em i e ii, é possível defiir um itervalo [, ] I a b cujo poto médio ( a + b represeta uma aproimação da raiz *, com um erro iferior a uma vez que b b a b a a b a * b a permitido, esta codição, além de cotrolar o erro absoluto com que represeta *, prever o úmero de bissecções ecessárias para que uma margem de erro, previamete fiada, ão seja ultrapassada. Apreseta-se de seguida o algoritmo para o método das bissecções para o caso de se preteder uma aproimação da raiz com erro absoluto iferior a to l. Capítulo 4 Equações ão lieares 6

11 Algoritmo - Bissecções C. Balsa & A. Satos while (( b a > tol ( + m a b do if sig( f ( a sig( f ( a the a m else b m ed ed O algoritmo está escrito em liguagem Matlab/Octave sem etrar em detalhes. Utiliza-se a fução sig em que sig( se e sig( se <. 3.. Método do poto fio. Seja uma fução f ( de que se pretede determiar uma ou mais raízes, já separadas em itervalos disjutos [ ab., ] Defiição: Diz-se que a fução g, defiida em I [ ab, ], tem um poto fio p esse itervalo I, se g ( p p i.e., o gráfico de y g( itersecta o gráfico de y em p. E.:.7. A fução g( + tem dois potos fios em [ ] p : g ( p : g ( O coceito de poto fio permite coverter a resolução da equação f ( a de uma outra equação equivalete g( ; assim, determiar uma raiz da equação f ( é equivalete a calcular um poto fio da fução auiliar g. Este poto pode ser determiado através de um processo iterativo de aproimações sucessivas defiido pela formula de recorrêcia + g(, para,,,, 3 : Cotudo, em sempre este processo é covergete. O facto de haver um poto fio de itervalo ão é garatia de que o processo vai covergir. g um dado Assim, se ( ab, ; o que equivale a dizer que g ( admite um poto fio o mesmo itervalo, o processo iterativo atrás descrito (desigado por método do poto * fio vai covergir para a solução, qualquer que seja o poto de partida [ ab ; ], se se verificar que i g é uma fução cotíua em [ ab;, ] f admitir uma raiz o itervalo [ ] Capítulo 4 Equações ão lieares 66

12 ii g' ( L<, [ ab, ]. C. Balsa & A. Satos O erro absoluto associado à aproimação obtida após iterações é: L Δ * L Esta relação pode ser usada para obter uma estimativa do úmero máimo de iterações ( ecessárias para reduzir o erro abaio de uma certa toleracia ( tol. Cotudo como esta estimativa é feita com o valor máimo da derivada, a estimativa N ma é geralmete muito maior do que o úmero de iterções ecessárias a prática.. N ma E.:.8. Cosiderar a equação do segudo grau: +. Utilizado o método do poto fio vamos demostrar que a equação admite as raízes α e β A equação dada pode ser escrita a forma: + com g( + Verifica-se que o método coverge o cálculo de α mas ão o de β, pois ( < [ ] ( > [ ] g'.4.4 para, g'.4.6 para 4, Cálculo de α : + + Cálculo do úmero máimo de iterações: ; ; L ;. : Δ N ma 4 O valor de α é aproimadamete igual a 9 arredodado à 6ª casa décimal ( α Para a determiação de β 4.63 pode-se reescrever a equação dada sob a forma : g( Mostra-se que o método coverge o cálculo de β, mas ão o de α ; otar que: Capítulo 4 Equações ão lieares 67

13 C. Balsa & A. Satos g'. para 4, g' ( > para [, ] ( < [ ] Cálculo de β : Cálculo do úmero máimo de iterações: 4. ; 4.6 ; + 6 L. ; Δ. : N ma O valor de β é aproimadamete igual a 6 arredodado à 6ª casa décimal ( β Método de Newto-Raphso Dada a equação f ( de que se pretede calcular uma raiz * [ ab, ], através de uma sucessão { } covergete para * ; cohecida uma aproimação iicial dessa raiz, com erro Δ *, é possível calcular uma ova aproimação fazedo + h ; f ( f ( + h f ( + h f '( f ( h f '( f ( f '( Este prcesso cosiste em aproimar o valor de f o poto + h pelo poliómio de Taylor do primeiro grau em toro do poto. O erro absoluto é estimado através de f( Δ * h ' f (. Prosseguido com o processo assim iiciado, obtém-se uma sequêcia de valores h + ; f ( f ( h f ( hf ( f ( h f '( + + ' Capítulo 4 Equações ão lieares 68

14 f f ( '( C. Balsa & A. Satos h + + ; f ( f ( h f ( h f ( f ( h f '( f ( + f '( ' sucessivamete mais próimos da raiz * ; a igualdade costate da liha aterior é a deomiada fórmula de recorrêcia do método de Newto-Raphso. Pela formula de recorrêcia do método de Newto verificamos que uma codição ecessária para que o método covirja é a de que f ' ( a vizihaça da raiz, pelo que a covergêcia em sempre é garatida. O seguite teorema apreseta as codições suficietes que garatem a covergêcia. Teorema Se uma vizihaça ] ab, [ da raiz α suficietemete pequea se verificar que f C [ a, b] (admite seguda derivada em todo o itervalo e que para todo o ξ essa vizihaça ' '' < m f ( ξ M e f ( ξ M etão o método de Newto coverge, e o erro satisfaz a relação M Δ+ MΔ com M. m Demostração Uma demostração deste teorema pode ser ecotrada o livro Métodos Numéricos de H. Pia p. 8. Em termos práticos é por vezes difícil aalisar todas as codições do teorema. Pelo que se α ab, escolher uma aproimação iicial [ ab, ] mais f '( para todo [ ab, ] e que f "( ão mudado de sial para todo o [ ab, ]. deve seguir algumas regras práticas: se [ ] próima possível de α (itervalo [ ab, ] o mais pequeo possível, verificar que o Num algoritmo computacioal uma forma simples de moitorar a covergêcia cosiste em observar para ode covergem as sucessivas aproimações {,,,, }. Por eemplo verificar se +. Se acotecer que + coverge subitamete para um valor loge de teremos + o que sigifica que o método está a divergir. Deve-se etão iiciar de ovo o processo iterativo com outro poto de partida que verifique as codições acima referidas. O teorema idica também que a covergêcia pode ser quádrupla (o erro a iteração é proporcioal ao quadrado do erro a iteração, sigificado que o úmero de dígitos correctos Capítulo 4 Equações ão lieares 69

15 C. Balsa & A. Satos vai duplicar em cada iteração. Este tipo de covergêcia é também desigada de superliear por oposição à covergêcia liear em que o úmero de dígitos correctos aumeta costatemete de iteração para iteração (método das bissecções por eemplo. E.:.8. Cosiderar a equação do segudo grau: +. 9 Utilizado o método de Newto-Raphso, calcular, com erro absoluto iferior a. 9 erro relativo iferiro a, respectivamete, os valores das raízes α [,] e β [ 4,]. e ( f + ( f ' ; f "( + + Cálculo de α [,]. α..4 α α α α ( Resultado α cofirmado Cálculo de β [ 4,] β. 4.6 β β β β ( Resultado β cofirmado Método da Secate Se, ao aplicar o método de Newto-Raphso, ocorrer uma situação de divergêcia causada pelo facto de a derivada f '( ser ula (ou muito próima de zero em algum poto do itervalo [ ab,, ] tal derivada é substituída por: Capítulo 4 Equações ão lieares 7

16 f ' ( ( ( f f e a fórmula de recorrêcia, obtida a partir do método de Newto-Raphso, será: C. Balsa & A. Satos ( '( f + f + + f ( ( ( f f ( ( ( ( f f f + ( ( ( ( f f f f Cada termo da sucessão { } depede de dois termos ateriores; para iiciar o processo de cálculo com são, pois, ecessários dois valores iiciais, por eemplo a e b. E.:.9. Cosiderar a equação do segudo grau: +. [,] α. Utilizado o método da secate, calcular, com erro iferior a ( + ( + ( + ( , o valor da raiz ( + ( α. α.. α α α α α ( Resultado α cofirmado Capítulo 4 Equações ão lieares 7

17 C. Balsa & A. Satos 4. Sistemas de Equações Não Lieares. Um sistema de equações ão lieares (que, abreviadamete, desigaremos por sistema ão liear é todo o cojuto de equações ão lieares simultâeas da forma ( ( f,,, f,,,. f(,,, A resolução aalítica deste tipo de sistemas é, o míimo, etremamete elaborada, ou mesmo impossível. Como alterativa, eistem vários métodos iterativos que, mediate certas codições (suficietes de covergêcia, permitem o cálculo umérico de uma aproimação à solução do sistema. T Uma solução deste sistema ão liear é qualquer vector [ ] tal que F ( O. Por uma questão de maior simplicidade de represetação, adoptaremos a forma vectorial para represetar as gradezas em causa: f(,,, f(,,, F( O, f(,,, com, F( ( ( (,,, (,,, f f f f f ( f (,,, e O. Dois problemas de imediato se levatam i Como determiar a aproimação iicial? ii Como parar o processo iterativo? 4.. Localização das raízes Para sistemas de pequea dimesão (, uma boa aproimação iicial pode ser obtida por localização gráfica. A abordagem a este tema vai ser feita sob a forma de um eemplo: Capítulo 4 Equações ão lieares 7

18 C. Balsa & A. Satos Eemplo: Seja o seguite sistema de equações ão lieares: + y + y Esbocemos os gráficos de: ( ( f f, y + y f f, y + y Figura 3. Represetação gráfica de + y (tracejado e de + y (traço cotíuo. Tora-se, assim, possível verificar que o sistema tem uma raiz α (, e uma raiz β (, que, para ( efeitos de arraque do processo iterativo, cosideraremos como aproimação iicial da solução, isto é (,. No etato, a maior parte dos problemas, dado o elevado úmero de equações e icógitas, ão é possível localizar graficamete as raízes. Nesses casos, ão havedo mais ehuma iformação dispoível somos obrigado a ( partir de O. 4.. Critérios de paragem. Quato aos critérios de paragem, podem ser adoptados os mesmos que foram usados para os métodos iterativos, estudados o Capítulo III, para a resolução de sistemas de equações lieares. Um processo iterativo deve ser iterrompido se uma ou várias das seguites codições se verificarem: Capítulo 4 Equações ão lieares 73

19 C. Balsa & A. Satos i Se já foi coseguido o cálculo de uma aproimação à solução, com uma margem de erro absoluto iferior à tolerâcia desejada: ( k+ ( k+ ( k Δ l to ii Se já foi coseguido o cálculo de uma aproimação à solução, com uma margem de erro relativo iferior à tolerâcia desejada: ( k+ ( k ( k + tol iii Pode, aida ser estabelecido um critério de erro máimo para os valores das fuções (resíduo: ( ( k F < tol iv Ou se for detectado algum idício de divergêcia do processo: Δ Δ ( k+ ( k v E fialmete, se a sua covergêcia for demasiado leta; tal pode ser coseguido através da fiação de um úmero máimo de iterações a realizar: k k ma Método de Newto. O método iterativo mais utilizado para a resolução de sistemas de equações lieares é o método de Newto. Baseia-se a sua aplicação o desevolvimeto de uma fução multivariável em série de Taylor: F F + J + ( ( ( ( F em que J F ( é a chamada matriz Jacobiaa do cojuto de fuções F : J F ( f( f( f( f( f( f( f( f( f( Capítulo 4 Equações ão lieares 74

20 C. Balsa & A. Satos Da série de Taylor trucada a partir do termo maior ou igual a dois resulta a seguite fórmula iterativa do método de Newto: ( ( ( ( k+ ( k ( k k F J F. Notar que, em cada iteração tem que ser feito o cálculo da iversa J ( ( ( F de uma matriz Jacobiaa J F (. Tal pode ser evitado se a fórmula iterativa ( k+ ( k ( k ( k J F for substituída em cada iteração pelas seguites etapas: F ª etapa: resolver o sistema liear ( k ( k ( k F ( δ J F ( ª etapa: calcular ( k+ ( k ( k + δ. A primeira etapa cosiste a resolução se um sistema de equações lieares com equações e icógitas. Como tal a iteração só poderá progredir se a matriz dos coeficietes ( k F ( J for ão sigular. Para além das propriedades da matriz dos coeficietes, também a escolha da aproimação iicial (, suficietemete próima da solução eacta do sistema, assume um papel decisivo a covergêcia do método. Eemplo: Vamos aproimar com erro absoluto Δ.e + y ( aterior:. Cosiderado [. ] T como aproimação iicial. + y a solução do sistema apresetado o eemplo + y Começamos por determiar a matriz Jacobiaa da fução F(. Esta é + y f f y y JF ( f f y. + y ª iteração: Começamos por resolver o sistema ( ( ( 4 δ -3. JF ( δ F(. 3. δ -. Cuja solução é, Capítulo 4 Equações ão lieares 7

21 C. Balsa & A. Satos Actualizamos agora a aproimação à solução ( -.36 δ ( ( ( δ Como já foi referido, uma forma de estimar o erro absoluto em cada iteração cosiste em avaliar a difereça etre duas aproimações cosecutivas, isto é, Δ δ ( k+ ( k+ ( k ( k. Se tivermos em cota a orma ifiita, obtemos ( ( ( δ.843. Como este eercício o erro absoluto deverá ser iferior a tol.e, o que ão acotece esta ( k iteração pois, deve-se etão cotiuar o processo iterativo até que Δ tol. ª iteração: Resolvemoa o sistema ( ( ( δ F ( δ (. δ J F , cuja solução é (.499 δ -.9. Actualizado a solução aproimada obtemos ( ( ( δ A estimativa do erro absoluto é ( ( ( δ.9. Como aida ão é meor do que a tolerâcia desejada devemos cotiuar a iterar. Verifique que são ecessárias 4 iterações para que o critérios de covergêcia se verifique e que a solução aproimada à quita iteração é ( Capítulo 4 Equações ão lieares 76

22 C. Balsa & A. Satos 4.4. Eercícios propostos Sobre o Cálculo de Raízes de Equações Não-lieares. Localize as raízes das seguites equações: a e l b e c + l d e 4 e Pelos métodos de: Newto-Raphso Secate determie as raízes das equações dadas, com arredodameto à 7ª decimal.. Use o método dos úmeros de Rolle para localizar, em itervalos de comprimeto ão superior a uma uidade, todas as raízes dos seguites poliómios: a 3 p( 9 b 3 p( c 8 p( 64 + d 3 p( + e Pelos métodos de: Newto-Raphso Secate determie as raízes das equações dadas, com arredodameto à 7ª decimal. 3. Cosidere a equação: f ( e 4 a Verifique a eistêcia de duas raízes reais α [,] e β [, 3]. b Cosidere as seguites reformulações de f ( : i f ( e 3 ii f (.e iii f3 ( l ( 4 7 Determie valores aproimados das raízes, com erro que ão eceda., usado o método iterativo simples (poto fio, baseado-se a reformulação mais adequada. Faça uma previsão do úmero de iterações ecessárias. 4. Localize as duas raízes reais da equação: l. Determie valores aproimados dessas raízes, com erro que ão eceda. 7 : a Usado o método iterativo simples e fazedo uma previsão do úmero de iterações ecessárias. b Pelo método de Newto-Raphso. c Pelo método da secate. Capítulo 4 Equações ão lieares 77

23 C. Balsa & A. Satos. Determie o úmero de iterações ecessárias para calcular, pelo método iterativo simples, com precisão de, o valor de α [, ], solução de 3. Determie tal aproimação, com o grau de precisão idicado. 6. Cosidere a equação: e 4. a Localize, em itervalos de comprimeto uitário, as raízes da equação dada. b Determie uma aproimação para a maior raiz positiva da equação dada, em cico iterações: do método das aproimações sucessivas (Bissecção; do método de Newto-Raphso; 3 do método da secate. c Idique majorates dos erros das aproimações obtidas. 7. Cosidere a equação: 4+ 4 l. a Localize as suas raízes. b Determie, com erro iferior a % um valor aproimado da maior delas, usado o método de Newto-Raphso o método da secate Aproime a raiz de f ( + 99, pelo método de Newto-Raphso, em cico iterações. Idique um majorate do erro do resultado obtido e escreva correctamete arredodado, o valor dessa raiz Use o método de Newto para aproimar, com erro iferior a, o valor de correspodete ao poto do gráfico de y mais próimo de (,.. Pretede-se calcular a área da superfície plaa limitada superiormete pela recta que passa pelos potos ( e e (, e, iferiormete, pela curva y l., Calcule, pelo método de Newto-Raphso, com precisão ao sétimo algarismo sigificativo, o limite de itegração que é ecessário cohecer para calcular aquela área. Soluções dos problemas propostos. a α ], [ : α b α ], [ : α β ],[ : β γ ], [ : γ.78 c α ],[ : α β ],6[ : β Capítulo 4 Equações ão lieares 78

24 d α ],[ : α.3743 β ],3[ : β.394. a α ] 3,4[ : α b α ],3[ : α c α ],[ : α β ],3[ : β.3394 d α ] 3, [ : α.83 β ],[ : β.949 γ ],3[ : γ b α [,] ; f (.e β [, 3] ; f ( ( C. Balsa & A. Satos ; L.6 ; 37 : α l 4 ; L.48 ; 4 : β α [, ] ; β ],3[ a α [, ] ; (. [, ] β [, 3] ; ( + + l ; L.38 ; 8 : α l ; L.3 ; 6 : β α ; + ; L. ; 8 : α a α [, ] ; β [,] ; γ ] 4,[ ; e L.39 L 49 b e 8. α [, ] 9. (, L ; ;. ; l( ; 8 ; 4 α ; β.7489 ; γ α ; Δ 4. ; α.748 P P(, y P(, ( ( ( ( ϕ d P, P distâcia míima: ϕ '( 3 4 α ], [ ; α P (, P ( e ; recta por e : l( e,, Raízes: ],[ P α, β e, α.468 P y e Capítulo 4 Equações ão lieares 79

25 C. Balsa & A. Satos 4.. Resolução de sistemas ão-lieares.. Eecute iterações do método de Newto para aproimar as duas raízes do sistema + y 9 + y { Determie graficamete uma aproimação iicial X ( e estime o erro cometido da aproimação sigificativos. ( X. Sempre que for ecessário efectue os arredodametos a dígitos. Cosidere o seguite sistema de equações ão lieares: se( y 3y π Resolva o sistema com erro absoluto meor que,. Utilize com aproimação iicial o poto (;.. Trabalhe com dígitos sigificativos. 3. Determie, pelo método de Newto, com erro iferior a iicial sugerida, a solução do seguite sistema de equações ão lieares:. e cosiderado a aproimação + y 37 a y, + y + z 3 (, y y b, y + y 3 (,.. ( + y 9 c, ( y + y (. d 4 + y y + y + 8, (, y z 6 y e e + e z, y z 4 (, Capítulo 4 Equações ão lieares 8

26 C. Balsa & A. Satos. Bibliografia Richard L. Burde, J. Douglas Faires, Numerical Aalysis, 4th Editio, PWS-KENT, 988. Heitor Pia, Métodos Numéricos, McGrawHill 99. Edite Mauela G.P. Ferades, Computação Numérica, ª Edição, Uiversidade do Miho, 998. Maria Raquel Valeça, Métodos Numéricos, Uiversidade Aberta 996. Michael T. Heath. Scietific Computig a Itroductory Survey. McGraw-Hill, New York, ( Capítulo 4 Equações ão lieares 8

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