META Suprir algumas deficiências sobre álgebra ensinada em matemática no nível médio

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1 ÁLGEBRA BÁSICA Aula 5 META Suprir algumas deficiêcias sobre álgebra esiada em matemática o ível médio OBJETIVOS Ao fi al desta aula, o aluo deverá: defi ir coceitos matemáticos de álgebra básica; iterpretar os coeficietes a e b em uma reta de um gráfi co y=a +b; e realizar operações com matrizes. PRÉ-REQUISITOS O aluo deverá ter em mãos seus livros ou caderos de matemática do esio médio e uma calculadora. Álgebra (Fote:

2 Itrodução à Física INTRODUÇÃO A física faz uso de equações e fórmulas para compreeder o mudo que os cerca. Vamos mergulhar jutos elas? Por que essa hesitação? Você tem medo de fórmulas? A matemática é muito difícil? Nem tato, tudo o que você precisa é um pouco de perseveraça e uma dose regular de estudo para trasformar qualquer dificuldade em uma arma em seu beefício. Nessa e a ossa próima aula, faremos uma revisão de algus resultados básicos de operações e métodos matemáticos a fim de assegurar que você se lembre bem deles. É recomedado que você esteja totalmete familiarizado com técicas algébricas, geometria aalítica e trigoometria logo o iício do curso. Caso você teha dificuldades ou ecotre resultados descohecidos é coveiete estudá-los mais cuidadosamete em livros e aotações de ível médio. Livros (Fote: REGRAS BÁSICAS Uma equação é uma epressão matemática; uma fór-mula é uma equação usada com a proposta de ecotrar certo valor ou resolver um problema prático. Equações e fórmulas podem coter certos coeficietes (úmeros específicos), costates (quatidades especificas represetadas por letras do alfabeto), e/ou variáveis (epressões que sigificam úmeros, mas ão os especificam). Cuidado, pois costates podem ser cofudidas com variáveis, a meos que sejam declaradas o teto idicado o que seu símbolo sigifica e especificado a uidade evolvida. Um eemplo comum é utilizarmos a letra c para represetar a velocidade da luz (cerca de m/s). 88

3 Álgebra básica Outro eemplo é a letra e, que represeta a costate epoecial, cujo valor é aproimadamete,788. Qualquer operação aritmética comum é possível em uma equação ou fórmula. Isso iclui adição, subtração, multiplicação, divisão. Algumas fuções também são usadas, tais como fuções logarítmicas, fuções epoeciais, fuções trigoométricas, ou algumas fuções mais sofisticadas. Quado uma operação algébrica é realizada, as leis da aritmética são aplicadas. Símbolos tais como, y e z são comumete usados para represetar quatidades que ão são especificadas, que deomiamos variáveis. Quado você escrever uma fórmula, teha o cuidado de defiir cada uma das costates e variáveis para que um leitor saiba para que a fórmula está sedo usada e o que todas as suas quatidades represetam. Aula 5 POR EXEMPLO, CONSIDERE A EQUAÇÃO: 8= Se ós queremos saber quem é o, podemos dividir (ou multiplicar) cada lado da equação pelo mesmo fator sem destruir a igualdade. Nesse caso, se dividimos ambos os lados por 8 teremos: 8 8 =4 8 Agora cosidere essa outra equação: + =8 Nesse tipo de epressão ós podemos adicioar ou subtrair a mesma quatidade em cada lado: + - = 8 - = 6 Geeralizado, se +a=b etão : + a - a = b - a = b - a Em todos os casos, qualquer que seja a operação realizada em um dos lados da igualdade, ela também deve ser realizada o outro lado. 89

4 Itrodução à Física POTENCIAÇÃO Quado potêcias de certa quatidade (mesma base) são multiplicadas, as seguites regras se aplicam: Eemplo: 4 m 4 4 m 6 Quado dividimos as potêcias de certa quatidade a regra é: Por eemplo, m m Se uma potêcia é uma fração, tal como raiz como segue:, correspode etão a uma Por eemplo, 7 7 Fialmete, uma quatidade elevado à m-ésima potêcia é: m m. Calcule Isso é bem fácil. Veja que só podemos somar os epoetes se tivermos a mesma base e quado elas estiverem sedo multiplicadas. Podemos trasformar o 9 em e 9 / em 9, etão: 9

5 ( ) 9 Álgebra básica Aula 5 Portato LOGARITMOS Supoha que a quatidade é epressa como uma potêcia de alguma quatidade a: = a y O úmero a é chamado de base. O logaritmo de com respeito à base a é igual ao epoete para o qual a base deve ser elevada de forma a satisfazer a epressão. Revertedo, o atilogaritmo de y é o úmero : Na prática, as duas bases mais usadas são a base, deomiada logaritmo de base comum, e a base, chamada de costate de Euler ou logaritmo de base atural. Quado logaritmos comus são usados: y=log (ou = y ) Quado o logaritmo atural é suado: y=l (ou =e y ) Calcule o log 5 e o l5 Podemos usar uma calculadora para obter o resultado: log 5 =,76 Por outro lado l 5 =,95 atilog,76=,76 =5 atil,95 = e,95 =5 Veja que os dois valores são diferetes, mas só mudamos a base. 9

6 Itrodução à Física Em geral, você pode coverter a base para a base e e vice-versa, através da igualdade: l=(,585)log Aqui estão algumas propriedades úteis sobre os logaritmos: log(ab)=loga+logb } log(a/b)=loga-logb Qualquer base log(a )= loga le=l le a =a FATORAÇÃO Em matemática, fatoração de um úmero é o problema de se ecotrar todos os divisores de um úmero iteiro. Lembrou? A fatoração de um poliômio cosiste em trasformá-lo em um produto de poliômios de graus meores, ou mais simples. Essa fatoração é idispesável a resolução de equações do segudo grau ou maior. Algumas regras úteis de fatoração são: a + ay + az = a( + y + z) a + ab + b = (a + b ) a - b = (a + b )(a - b ) a + b = (a + b )(a - ab + b ) a - b = (a - b )(a + ab + b ) fator comum em evidêcia triômio quadrado perfeito difereça de dois quadrados soma de dois cubos difereça de dois cubos EQUAÇÕES E POTÊNCIAS Em álgebra, é costume classificar as equações de acordo com o maior epoete (potêcia) das variáveis. Uma equação de pri meira ordem com uma variável pode ser escrita da seguite forma: a + b = Na qual a e b são costates e é a variável. Equações desse tipo têm sempre um úmero real como solução. Já uma equação de seguda ordem (ou quadrática) com uma variável pode ser escrita da seguite forma: a + b + c = 9

7 Álgebra básica em que a, b e c são costates (c ão é a velocidade da luz) e referidos como os coeficietes da equação e é a variável. Equações desse tipo podem ter um ou dois úmeros reais como solução, ou ão ter um úmero real como solução. Esta equação tem raízes dadas por: Aula 5 b b 4ac a Se b 4ac as raízes são reais. Quado o epoete em uma equação com uma úica variável cresce a solução tora-se cada vez mais complicada. Por eemplo, uma equação de ordem pode ser escrita da seguite forma: a + a - + a a - + a - + a = em que a, a,, a são costates e é a variável. Parece bem difícil resolver essas equações. Porém atualmete os cietistas têm a ajuda de computadores para solucioá-las. Mas isso ão sigifica que você ão deva saber como proceder para solucioá-las, mesmo que isso demore. Pelo meos deve saber qual o procedimeto para equações mais simples, como de ordem ou 4. Como você saberia que o computador está trabalhado corretamete se ão souber resolver um só cálculo? E aida, os programas computacioais são feitos por seres humaos que sabem como resolver essas cotas; você pode se trasformar em um deles! A equação ( - 4)( + 5)( - ) é um eemplo de uma equação de: a) primeira ordem. b) seguda ordem. c) terceira ordem. d) quarta ordem. e) ehuma das alterativas ateriores. O maior epoete de será ecotrado quado multiplicarmos todos os a equação. Como cada um dos três está elevado à primeira potêcia, temos..= ++ =. Portato essa é uma equação de terceira ordem, resposta c. 9

8 Itrodução à Física EQUAÇÕES LINEARES Uma equação liear tem a seguite forma y = m = b a qual m e b são costates. Essa equação é dita liear por que o gráfico de y versus é uma liha reta, como mostrada a figura. Figura - A costate b represeta o valor de y quado a liha itercepta o eio y. A costate m correspode à icliação da reta. Se quaisquer dois potos a liha forem especificados pelas coordeadas (,y ) e (,y ), como mostrado a figura, etão a icliação da reta pode ser obtida pela epressão: icliação m y y y Note que tato m quato b podem ter valores positivos ou egativos. Se m>, a liha tem uma icliação positiva. Se m<, a liha tem icliação egativa. RESOLVENDO UM CONJUNTO DE EQUAÇÕES LINEARES Cosidere a equação + 5y = 5, a qual tem duas icógitas, e y. Tal equação ão tem apeas uma solução. Por eemplo, ( = e y = 5) ou ( = 5 e y = ) são soluções dessa equação. Se o problema tem duas icógitas, para uma úica solução possível são ecessárias duas equações. Para resolver o sistema de equações evolvedo duas icógitas, primeiro ecotramos em fução de y em uma equação e substituímos essa epressão a seguda equação, que assim poderá ser 94

9 Álgebra básica solucioada, pois coterá apeas uma icógita y. O valor ecotrado pode etão ser substituído a primeira equação com o objetivo de ecotrar a solução para. Se um problema tiver icógitas, etão deverá haver um cojuto com equações para ecotrar uma solução úica para cada icógita. Um sistema de duas equações lieares com duas icógitas também pode ser resolvido por um método gráfico. Se as lihas correspodetes às duas equações forem desehadas em um sistema de coordeadas covecioal, a iterseção das duas lihas represeta a solução. Aula 5 Cosidere as equações: - y = - y = - Desehe ambas em um gráfico cartesiao e ecotre a solução para o sistema. Para desehá-las devemos atribuir, a primeira equação, dois valores aleatórios a y e ecotrar o correspodete ou vice-versa. Colocamos os potos (,y) e (,y) ecotrados o gráfico y. A liha reta que passa pelos dois potos represeta a equação dada. Repetimos o procedimeto para a outra equação. O poto ode elas se cruzam correspode a solução do sistema. As equações foram desehadas em um gráfico, e sua iterseção tem as coordeadas = 5 e y =, que é a solução para as equações. Você também pode checar esta solução pela técica aalítica discutida ateriormete. 95

10 Itrodução à Física MATRIZES Você sabe defiir o que é uma matriz. Podemos dizer que uma matriz é uma tabela com coluas e lihas. Uma matriz com m lihas e coluas é chamada de matriz m por (escreve-se m ), e m e são chamadas de dimesões, tipo ou ordem da matriz. Para represetar uma matriz devemos colocar as lihas e coluas etre parêteses, chaves ou etre duas barras duplas. A matriz a seguir é uma matriz de ordem, ou seja, com lihas e três coluas, com elemetos aturais: M Um elemeto de uma matriz A que esteja a i-ésima liha e a j-ésima colua é chamado de elemeto i,j ou (i,j)-ésimo elemeto de A. Ele é escrito como a i,j ou a[i,j]. Na matriz M do eemplo aterior, o elemeto m é 6, ou seja, o úmero que aparece a seguda liha e a primeira colua do quadro. A trasposta de uma matriz A m é a matriz A t m em que at ij = a ji, ou seja, todos os elemetos da primeira liha da matriz A, torar-se-ão elemetos da primeira colua da matriz A t, todos os elemetos da seguda liha de A, torar-se-ão elemetos da seguda colua de A t, etc. Geeralizado, todos os elemetos da liha de A, torar-se-ão elemetos da colua de A t. Ecotre a matriz trasposta de B, sedo: B

11 Álgebra básica Aula 5 Trocado lihas por coluas de B obtemos t B Uma matriz A é dita simétrica se A = A t. Uma matriz quadrada tem o mesmo úmero de lihas e coluas, isto é, é uma matriz. A matriz idetidade I é a matriz que tem todos os membros da diagoal pricipal iguais a e todos os outros fora da diagoal igual a. Eemplo: I A úica matriz idetidade que ão cotém zero é a matriz idetidade de ordem : I = [] DETERMINANTE Matrizes e determiates ão são ecotrados apeas o estudo da matemática, mas também a egeharia, iformática, tabelas fiaceiras, detre outras. O determiate é uma fução que associa um úmero (um escalar) a uma matriz quadrada. Ele é um importate coceito matemático, usado, por eemplo, a solução de sistemas de equações lieares. Represetamos o determiate de uma matriz A através de: det (A) ou A O determiate de uma matriz de seguda ordem é a difereça etre o produto dos termos da diagoal pricipal e o produto dos termos da diagoal secudária. Assim: a b det ad bc c d a b c Para uma matriz de ordem, A d e f g h i o determiate pode ser ecotrado repetido-se as coluas após a terceira colua. Marcamos diagoais que descem. Os produtos obtidos 97

12 Itrodução à Física as diagoais que descem devem ter o sial positivo. Marcamos diagoais que sobem. Os produtos obtidos as diagoais que sobem devem ter o sial egativo. O determiate da matriz A é a soma dos seis produtos, coservados os siais. Ecotre o determiate da matriz A. A= - O determiate de A é: = (..)+(..)+(.(-).)-(..)-(..)-(.(-).)= - Ou seja, det (A) = OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição Dadas as matrizes A e B do tipo m por, sua soma A + B é a matriz m computada adicioado os elemetos correspodetes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j]. 98

13 99 Álgebra básica Aula 5 Dadas duas matrizes A e B, com Calcule a soma de A+B A 7 B Etão, a soma de A+B é feita da seguite forma: B A B A MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO Para multiplicar um úmero k qualquer por uma matriz m A, basta multiplicar cada valor a ij de A por k. Assim, a matriz resultate B será também uma matriz m, com bij = k.a ij. Calcule B, sedo B a matriz: 7 B B

14 Itrodução à Física Com isso, você pode cocluir sobre a divisão de uma matriz por um úmero k: basta multiplicá-la pelo iverso desse úmero (/k). Mas cuidado: equato a multiplicação etre um úmero e uma matriz pode ser dita comutativa, o mesmo ão vale para a divisão, pois ão se pode dividir um úmero por uma matriz. MULTIPLICAÇÃO DE DUAS MATRIZES A multiplicação de duas matrizes é bem defiida apeas se o úmero de coluas da matriz da esquerda é o mesmo úmero de lihas da matriz da direita. Se A é uma matriz m e B é uma matriz p, etão seu produto AB é a matriz m por p (m lihas e p coluas) dada por: AB i, j Ai,B, j Ai,B, j... Ai, B, j para cada par i e j. Calcule AB sedo: A = - e B = A B = - = = 5 4 É importate otar que a comutatividade ão é geralmete garatida; isto é, dadas duas matrizes A e B, geralmete AB BA. CONCLUSÃO Mesmo que você já soubesse todas essas relações ma-temáticas, essa aula serviu para relembrá-lo de algus detalhes que serão muito úteis para o decorrer de seu curso. Logaritmos, matrizes, equações, tudo isso forma a base ferrametal da física e você deve estar completamete familiarizado com ela para dar prosseguimeto ao seu curso sem dificuldades.

15 Álgebra básica RESUMO Equações - equação é uma epressão matemática; uma fórmula é uma equação usada com a proposta de ecotrar certo valor ou resolver um problema prático. Qualquer que seja a operação realizada em um dos lados da igualdade, ela também deve ser realizada o outro lado. Uma equação de ordem com uma úica variável pode ser escrita da seguite forma: Aula 5 a a a... a a a em que a, a,, a são costates e é a variável. Regras de Poteciação - m m m m m m Logaritmo - Se a l,585 log y y loga e atilog a y a a Fatoração - Algumas regras úteis: a ay az a y z b b b a a ba b a ab b a b a b a ab b a ba ab b fator comum em evidêcia triômio quadrado perfeito difereça de dois quadrados soma de dois cubos difereça de dois cubos Forma de uma equação liear: y = m + b em que m e b são costates. Em um gráfico cartesiao b represeta o valor de y quado a liha itercepta o eio y, e m correspode à icliação da reta. Sejam dois potos a reto especificados pelas coordeadas ( y ) e (y) icliação = m = y - y - = y

16 Itrodução à Física Sistema de duas equações lieares: se um problema tiver icógitas, etão deverá haver um cojuto com equações para ecotrar uma solução úica para cada icógita. Em um sistema de coordeadas covecioal com duas retas, sua iterseção represeta a solução. Uma matriz é uma tabela com coluas e lihas. Se tiver m lihas e coluas será chamada matriz m. Um elemeto de uma matriz A que esteja a i-ésima liha e a j-ésima colua é o elemeto ai,j ou a[i,j]. A trasposta de uma matriz A m é a matriz At m em que. Uma matriz A é dita simétrica se A = At. Uma matriz quadrada tem o mesmo úmero de lihas e coluas, isto é, é uma matriz. a t ij = a ji A matriz idetidade I é a matriz que tem todos os membros da diagoal pricipal iguais a e todos os outros fora da diagoal igual a. O determiate é uma fução que associa um úmero (um escalar) a uma matriz quadrada. Adição de matrizes A e B do tipo m por : (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j]. Multiplicação de um úmero k por uma matriz m A: ka=b com b ij = k. aij. Multiplicação de duas matrizes: Seja A uma matriz m e B uma matriz p, AB é uma matriz mp. PRÓXIMA AULA Na próima aula, faremos uma revisão de trigoometria e de úmeros compleos para refrescar sua memória. Tchau. REFERÊNCIAS ALONSO, M. S. e Fi, E. J. Física. São Paulo: Ed. Edgard Blücher Editora, 999. GIBILISCO, S. Physics Demystified. New York: Mcgraw-Hill, < Cosultado em //8. Portal de esio de Física da USP, dispoível em < br/> cosultado em 6//8 SEARS, F. W.; Zemasky, M. W. Física I Mecâica. ed., Addiso Wesley, TIPLER, P. A. Física Ia. Rio de Jaeiro. ed. Guaabara, 98.

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