Sequências Reais e Seus Limites

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1 Sequêcias Reais e Seus Limites Sumário. Itrodução Sequêcias de Números Reais Exercícios Limites de Sequêcias de Números Reais Textos Complemetares

2 Uidade Itrodução. Itrodução O coceito de limite é o mais fudametal do Cálculo Diferecial e Itegral, pois é ele que se baseiam a Matemática atual as defiições de covergêcia, divergêcia, cotiuidade, derivada e itegral. A falta de compreesão da oção de limite, o passado, levou a vários paradoxos, sedo os mais atigos que se tem otícia devidos a Zeão de Eléia, datado de aproximadamete aos. Um dos problemas propostos por Zeão era equivalete ao seguite: Imagie que um atleta deva correr, em liha reta, de um poto a outro distado km. Quado o atleta chegar a metade do camiho, aida faltará 0,5 km para chegar ao seu destio. Quado ele percorrer a metade dessa metade do camiho, aida faltará 0,25 km e quado percorrer a metade dessa distâcia aida faltará 0,25 km e assim, sucessivamete. Repetido esse raciocíio idefiidamete, argumetava Zeão, o atleta uca chegaria ao destio, pois ão importado a distâcia percorrida, sempre restaria alguma distâcia a ser percorrida. Note que a distâcia que separa o atleta da sua meta se torará tão próxima de zero quato ele quiser, bastado para isso que ele repita os deslocametos acima descritos um úmero suficietemete grade de vezes. O paradoxo de Zeão só se sustetava pois ão levava em cota o fator tempo, subjacete a qualquer movimeto, e o fato de que, ao somar sucessivamete as distâcias percorridas, o resultado é limitado por e dele se aproxima o quato quisermos. São essas ideias ituitivas de estar tão próximo quato se quiser que ecerra o coceito de limite. Embora fudametal, esse coceito demorou mais de dois milêios para fialmete ser rigorosamete defiido pelos matemáticos do século XIX. 2

3 Sequêcias Reais e Seus Limites Uidade.2 Sequêcias de Números Reais A experiêcia fictícia de Zeão, gera a ifiidade de úmeros: 2, 2, 2 2,, 3 2,, que correspodem aos potos da imagem da fução x : N R defiida por x() = 2. Isto os recoduz ao coceito fudametal de sequêcia que já ecotramos em MA e MA2 e que relembraremos a seguir, jutamete com as propriedades a ele relacioadas. Uma sequêcia de úmeros reais é uma fução x : N R que a cada úmero atural associa um úmero real x = x(), chamado o -ésimo termo da sequêcia. Defiição Sequêcia Deotaremos por (x, x 2, x 3,..., x,...), ou por (x ) N, ou simplesmete por (x ), a sequêcia x : N R. É importate fazer a distição etre o cojuto formado pelos termos da sequêcia e a sequêcia em si. De fato, a sequêcia (,,,...) tem como cojuto dos seus termos o cojuto uitário X = {}. Neste caso, a fução x é a fução costate defiida por x =, para todo N. Em geral, chamaremos de sequêcia costate a toda sequêcia cujos termos são iguais etre si. A sequêcia (, 2,, 2,, 2,...) correspode à fução x() = se é impar e x() = 2 se é par; o cojuto de seus termos é o cojuto X = {, 2}, ou seja, uma sequêcia tem sempre ifiitos termos, embora o cojuto formado pelos seus termos possa ser um cojuto fiito. Exemplo Cosidere os seguites exemplos de sequêcias:. ( ) ( =,,,, ); ( ) ( 2 =,,,,, ); Exemplo 2 3

4 Uidade Sequêcias de Números Reais 3. ( ) ( =,,,,,, ); ( se 2( π 2 )) = (, 0,, 0,, 0,... ); 5. () = (, 2, 3,...,,... ); 6. (2 ) = (2, 4, 8, 6,... ). Uma observação importate a ser feita, é que as sequêcias, como particulares fuções reais, podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas ou quocietadas. Ou seja, dadas as sequêcias (x ) e (y ), podemos formar as sequêcias (x ± y ), (x y ) e ( x y ), desde que, esta última, y 0 para todo N. Observe que as sequêcias dos Exemplos, 2, 3 e 4, acima, tem-se que x [0, ], para todo N, o que ão ocorre para as sequêcias dos Exemplos 5 e 6, visto que para qualquer itervalo limitado escolhido, sempre existirão termos de ambas as sequêcias que escaparão desse itervalo. O fato de que todo itervalo limitado está cotido e cotém um itervalo da forma ( c, c), com c > 0, os ajudará bastate a simplificar as ossas argumetações. Por outro lado, a seteça x ( c, c) se traduz algebricamete a seteça x < c. Assim, os Exemplos, 2, 3, e 4, dado que x [0, ] ( 2, 2) para todo, temos que x < 2, para todo ; equato que os Exemplos 5 e 6, ão existe c > 0 tal que x < c para todo N. O que acabamos de ver é que todos os termos das sequêcias dos quatro primeiros exemplos estão cofiados em um itervalo limitado, equato os termos das sequêcias dos dois últimos exemplos ão estão cofiados em ehum itervalo limitado, o que os coduz á seguite defiição: Defiição 2 Sequêcia Limitada Uma sequêcia (x ) é dita limitada, se existe c > 0 tal que x < c, para todo N. Quado uma sequêcia (x ) ão é limitada, dizemos que ela é ilimitada. Note também que as sequêcias dos três primeiros exemplos têm a propriedade que seus elemetos decrescem, isto é, x > x 2 > x 3 > > x >. 4

5 Sequêcias Reais e Seus Limites Uidade Ou seja, a medida que cresce, os termos da sequêcia decrescem. Na verdade, observe que ao se escolher quaisquer dois úmeros aturais m >, os respectivos termos x e x m da sequêcia satisfarão a desigualdade x m < x. Em particular, o Exemplo, se tomarmos = 50 e m = 60, teremos x 60 = 60 < 50 = x 50. Do mesmo modo, o Exemplo 2, temos 2 60 < 2 50, visto que 2 60 > As sequêcias dos dois últimos exemplos têm comportameto oposto, ou seja, os seus termos são crescetes, isto é, x + > x, para todo N. Formalizemos estes tipos de comportametos das sequêcias as defiições a seguir. Uma sequêcia (x ) será dita decrescete se x + < x para todo N. Diremos que a sequêcia é ão crescete, se x + x para todo N. Defiição 3 Sequêcia Decrescete No caso das sequêcias ão crescetes, como a própria expressão diz, à medida que cresce, os termos da sequêcia ão crescem, ou seja, um termo é meor ou igual do que o atecede. Por exemplo, a sequêcia (,,,,,,,,,... ) é ão crescete, pois tem a propriedade x + x para todo, mas ão é decrescete, pois ão satisfaz a propriedade x + < x para todo. Uma sequêcia (x ) será dita crescete se x + > x para todo N. Diremos que a sequêcia é ão decrescete, se x + x para todo N. Defiição 4 Sequêcia Crescete As sequêcias crescetes, ão decrescetes, decrescetes ou ão crescetes são chamadas de sequêcias moótoas. Note, porém, que a sequêcia (, 0,, 0,, 0,... ) do Exemplo 4 ão é moótoa: se é ímpar, tem-se x > x +, equato x + < x +2. Vejamos se existe alguma relação etre os coceitos de sequêcias moótoas e de sequêcias limitadas, que acabamos de itroduzir. A sequêcia moótoa crescete (, 2, 3, 4,...,,... ) dos úmeros aturais (Exemplo 5) é ão limitada (esta é a chamada Propriedade Arquimediaa dos úmeros reais). O mesmo acotece com a sequêcia do Exemplo 6: (2, 4, 8,..., 2,... ). 5

6 Uidade Sequêcias de Números Reais Por outro lado, a sequêcia (x ) = ( ) é moótoa crescete e limitada, visto que em cada passo subtrai-se de um úmero cada vez meor e, portato, em cada passo o correspodete termo da sequêcia aumeta. Ao mesmo tempo que ehum termo da sequêcia ultrapassa, dode x (0, ) para todo N. Fialmete, embora as sequêcias dos três primeiros exemplos sejam decrescetes e limitadas, a sequêcia ( ) = (, 2, 3, 4,...,,... ) é também decrescete, mas ão limitada. Assim, vemos que os dois coceitos ão guardam ehuma relação etre si. Exemplo 3 Cosidere a sequêcia cujo -ésimo termo é x = +! + 2! + +!. Assim, x = +, x 2 = + + 2, x 3 = ,. Note que essa sequêcia é moótoa crescete, pois x + = x + (+)!. Além disso, ela também é limitada. Para ver isso, cosidere a progressão geométrica (, 2, 2 2,, 2, ). A soma S dos seus primeiros termos é dada pela fórmula S = = ( 2 ) 2 = 2 2, o que os mostra que S < 2. Como, para todo 3, temos! < (exercício fácil), segue-se, para 2 todo 3, que x = +! + 2! + 3! + +! < = + 2 < + 2 = 3. 2 Como x < 3 e x 2 < 3, temos que 0 < x < 3, para todo N, o que mostra que a sequêcia é limitada. 6

7 Sequêcias Reais e Seus Limites Uidade Para Saber Mais - Somas de termos de PGs com Razão Etre 0 e - Clique para ler Dada uma sequêcia (x ) N de úmeros reais, uma subsequêcia de (x ) é a restrição da fução x que defie (x ) a um subcojuto ifiito N = { < 2 < 3 < < k < }. Deotamos a subsequêcia por (x ) N, ou (x, x 2, x 3,, x k, ) ou aida (x i ) i N. Defiição 5 Subsequêcia Para Saber Mais - Defiição Educada de Subsequêcia - Clique para ler Cosideremos o subcojuto N = {3; N} do cojuto N. Se olhar- Exemplo 4 mos a restrição da sequêcia x() = 2 ao subcojuto N de N, obtemos a subsequêcia (,,,...,,... ) Se cosiderarmos a restrição da sequêcia ( ) ao subcojuto N = {, 3, 5, 7, 9,..., 2,...}, ou seja, o cojuto dos úmeros ímpares, obteremos a subsequêcia (,,,,, ) (2 ) 2 Para fializar esta seção, relembraremos os axiomas que caracterizam o cojuto dos úmeros reais que foi um dos pricipais objetos de estudo de MA, e do qual decorrem todas as suas demais propriedades. O cojuto dos úmeros reais forma um corpo ordeado completo. Axioma 6 Axiomas dos Reais A oção de corpo ordeado já foi bastate explorada e detalhada em MA. A oção cetral de completeza (ou completude) dos úmeros reais que utilizaremos está relacioada com a oção de covergêcia de sequêcias, assuto que desevolveremos a próxima seção. 7

8 Uidade Exercícios.3 Exercícios. Mostre que as sequêcias abaixo são limitadas e moótoas. Descreva o tipo de mooticidade de cada uma delas. (a) x = 2 (b) x = + 3 ; (c) x = 2 ; (d) x = + ; (e) x = ; 2. Para cada uma das sequêcias do exercício aterior, exiba três subsequêcias. 3. Existe um úmero fiito ou ifiito de subsequêcias da sequêcia (( ) + )? Justifique sua resposta 4. Cosidere a sequêcia (, 2,, 2, 3,, 2, 3, 4,, 2, 3, 4, 5, ). (a) Exiba três subsequêcias limitadas e três ão limitadas, (b) Exiba três subsequêcias moótoas crescetes e três moótoas ão decrescetes, (c) Exiba três subsequêcias moótoas decrescetes e três moótoas ão crescetes. 5. Sejam (x ) e (y ) duas sequêcias dadas. Discuta relativamete aos tipos de mootoicidade dessas sequêcias, os tipos de( mootoicidade ) x que podem ocorrer as sequêcias (x ± y ), (x y ) e y 8

9 Sequêcias Reais e Seus Limites Uidade.4 Limites de Sequêcias de Números Reais Observamos a argumetação de Zeão que o atleta uca chegaría à sua meta, embora fique próximo dela quato quiser, ou seja, a distâcia que o separa da meta se tora tão próxima de zero quato ele quiser. Vejamos isso com um pouco mais de rigor. A sequêcia em questão é ( 2 ). Já observamos que dados > m, tem-se 0 < 2 < 2 m, ou seja, a sequêcia é decrescete com todos os seus termos positivos. Cosideremos, agora, um itervalo de cetro zero e raio pequeo, digamos ( ), 0 9 0, que, covehamos, é muito pequeo. Agora, como 9 2 = < 0 < 9 2 = , vemos que ( ), Na verdade, como para todo 30 temos que, segue-se que, para todo 30, ( ), Isso os mostra que a partir de um certo valor de, a saber, = 30, todos os termos da sequêcia pertecem ao itervalo ( 0 9, 0 9 ). Mostremos agora que o que afirmamos acima ão é restrito ao itervalo escolhido ( ), De fato, escolha arbitrariamete um úmero real r > 0 9 e cosidere o itervalo ( r, r). Em vista da Propriedade Arquimediaa dos úmeros reais, sabemos que existe um iteiro 0 tal que 0 > r, logo 0 < r. Como 2 0 > 0, segue-se que < < r. Na verdade, como para todo > 0 tem-se que <, obtemos que para todo > m, < r. 2 Vemos, portato, que a partir de um certo valor 0 de, todos os termos da sequêcia pertecem ao itervalo ( r, r). Como o úmero r > 0 pode ser escolhido arbitrariamete, vemos que ão importa o quão pequeo ele seja, sempre existirá, para essa escolha de r, um iteiro positivo 0 a partir do qual todos os termos da sequêcia pertecerão ao itervalo ( r, r). É esse setido que etedemos que os termos da sequêcia se aproximam de zero quado cresce. (ver a Figura.). Exemplo 5 9

10 Uidade Limites de Sequêcias de Números Reais -r 0 r m+ m 2 2 Figura.: Dois termos da sequêcia ( 2 ) Exemplo 6 Cosideremos a sequêcia ( ) ) ( ) ( )+ (x ) = = (,,, 4,, 6,,, ( )+2 +,, da qual represetamos algus termos a Figura.2) Figura.2: Algus termos da sequêcia Todos os elemetos desta sequêcia são diferetes de zero, sedo positivos os elemetos correspodetes a ímpar (por exemplo,,,, ), e egativos 3 5 aqueles correspodetes a par (por exemplo,,,, ) Vamos mostrar, como o exemplo aterior, que os elemetos desta sequêcia se aproximam de zero quado cresce. Com efeito, seja r um úmero real positivo qualquer e seja 0 um úmero atural tal que 0 < r, etão ( ) ( r, r), pois ( ) = ( )0+ 0 (ote que 0 estará à esquerda de zero se 0 for par e à direita de zero se 0 for ímpar). Além disso, se > 0, ( )+ = < 0 < r. Em resumo, acabamos de verificar que < r para todo > 0, ou ( )+ seja, que ( )+ ( r, r) para todo > 0 (ver a Figura.3). m+2 m+ -r r ( ) 0 ( ) m+ m Figura.3: dois termos da sequêcia, com m ímpar 0

11 Sequêcias Reais e Seus Limites Uidade Podemos etão afirmar que, os dois exemplos acima, para qualquer itervalo aberto I cotedo zero, podemos determiar um iteiro 0 de modo que para todo acima de 0, o -ésimo elemeto da sequêcia pertece a I. Cosideremos a sequêcia ( ) (x ) = = ( 0, 2, 2 3, 3 4, 4 5, ),. Exemplo 7 Vemos que todos os termos da sequêcia pertecem ao itervalo [0, ]. Além disso, como =, segue-se que a sequêcia x é crescete pois à medida que cresce, subtraímos de um úmero cada vez meor. Seja r > 0 um úmero real positivo qualquer e cosideremos o itervalo ( r, + r). Como vimos ates, existe um úmero iteiro positivo 0 tal que 0 < r. Logo, 0 > r e, portato, adicioado-se à desigualdade, obtemos que 0 > r. Como para todo > 0 tem-se que < 0, segue que para todo > 0, > 0 > r, visto que estamos subtraido de o úmero que é meor que 0. O que acabamos de ver é que a partir de um certo valor de, a saber, para valores de tais que > 0, obtemos que x ( r, + r). Na verdade, como sempre subtraímos de um úmero positivo, todos os termos da sequêcia x são meores que, ou seja para todo > 0 tem-se que x ( r, ) ( r, + r). Como o úmero r > 0 é arbitrário, de ovo, vemos que para qualquer itervalo aberto I, agora cotedo o úmero, podemos determiar um iteiro 0 > 0 de modo que após o 0 -ésimo termo da sequêcia, todos os outros termos pertecem ao itervalo I. Note que os Exemplos 9 e 0, o itervalo I (por meor que seja) cotém o zero, equato que o Exemplo o itervalo I cotém o úmero. Por outro, lado para todos eles sempre se ecotra um iteiro positivo 0 acima do qual todos os termos da sequêcia pertecem à I. Efatizamos que como I pode ser tomado tão pequeo quato se queira, podemos ituir que os

12 Uidade Limites de Sequêcias de Números Reais Exemplos 9 e 0 os termos da sequêcia ficam tão próximos de zero quato se queira, equato o Exemplo os termos da sequêcia ficam tão próximos de quato se queira. O que acabamos de ver os Exemplos 9 e 0 caracteriza o fato de que em cada um deles a sequêcia x coverge para zero, equato que o Exemplo, a sequêcia x coverge para. Precisamete, temos a seguite defiição: Defiição 7 limite de Sequêcia Sejam (x ) uma sequêcia de úmeros reais e l um úmero real. Dizemos que (x ) coverge para l, ou é covergete, e escreve-se lim x = l, quado para qualquer itervalo aberto I cotedo l (por meor que ele seja) é possível ecotrar um iteiro 0, de modo que x I para todo > 0. Com o objetivo de torar mais operacioal a ossa defiição de covergêcia, ote que, o itervalo I, cotedo o úmero real l, pode ser tomado da forma (l r, l+r), ode r é um úmero real positivo. Portato, dizer que x coverge para l, isto é, que lim x = l, é o mesmo que dizer que: Para todo úmero real r > 0, existe um iteiro 0 tal que para todo > 0 tem-se que x (l r, l + r). Observemos aida que a codição x (l r, l + r) para todo > 0, equivale à codição algébrica x l < r para todo > 0. Em palavras: A distâcia de x a l se tora arbitrariamete pequea desde que seja tomado suficietemete grade. Assim, em relação aos exemplos acima, temos que: lim ( ) + = 0, lim 2 = 0 e lim =. Defiição 8 Sequêcia Divergete Quado ão existir um úmero l para o qual x covirja, dizemos que a sequêcia x diverge, ou que é divergete. É ituitivo o fato de uma sequecia (x ) ão poder covergir para dois úmeros reais l e l 2 distitos, pois, se este fosse o caso, poderíamos achar dois itervalos abertos I e I 2 disjutos, cotedo l e l 2, respectivamete, de tal modo que para valores de suficietemete grades, os termos da sequêcia estariam detro de cada um desses itervalos, o que ão é possível. A proposição abaixo apeas formaliza esta argumetação. 2

13 Sequêcias Reais e Seus Limites Uidade Se existir um úmero real l tal que lim x = l, etão ele é úico. Proposição 9 Para Saber Mais - Demostração Formal da Proposição - Clique para ler A seguir, damos dois exemplos de sequêcias divergetes. Cosideremos a sequêcia x = ( ),. Temos que x = para par e x = para ímpar. Seja l um úmero real arbitrário e tomemos o itervalo I = (l, l + ). Vemos que ão pode 2 2 ocorrer simultaeamete, I e I. Como x oscila de para, repetidamete, sempre haverá termos da sequêcia fora do itervalo I. Como l é arbitrário, segue-se que (x ) diverge. (ver a Figura.4), ode tomamos, por exemplo, 0 < l < ). Exemplo 8 0 l l /2 l+/2 Figura.4: Itervalo cotedo l Raciociado de modo aálogo ao exemplo aterior, mostra-se que a sequêcia ( se 2( )) π 2, ou seja, (, 0,, 0,, 0,...), também diverge. (Faça-o como exercício.) Exemplo 9 As sequêcias vistas acima, ( ) ( 2, ) (, ( ) + ) ( e ), têm uma particularidade em comum, a saber, todas elas covergem e também são todas limitadas. Na verdade, isso é um fato geral. Precisamete, Toda sequêcia covergete é limitada. Proposição 0 3

14 Uidade Limites de Sequêcias de Números Reais Demostração Seja (x ) uma sequêcia covergete, tal que lim x = l. Pela defiição de sequêcia covergete, temos que dado um itervalo limitado I cotedo l, existe um iteiro positivo 0 tal que para todo iteiro > 0, temse que x I. Assim, os úicos termos da sequêcia que evetualmete ão pertecem ao itervalo I, são os termos x, x 2,..., x m, portato em úmero fiito. Basta agora tomar um itervalo limitado J cotedo o itervalo I e também os termos x, x 2,..., x 0. Obtemos assim, que todos os termos da sequêcia pertecem ao itervalo J e que, portato, (x ) é limitada. Cosidere agora, a sequêcia moótoa decrescete ( ). Vimos que ela é limitada e coverge para zero. Aalogamete, a sequêcia moótoa crescete ( ) é limitada e coverge para. Isto ão é uma simples coicidêcia. Na verdade, este é o axioma para a completeza que adotamos: Axioma Completeza Toda sequêcia moótoa e limitada de úmeros reais coverge para algum úmero real l. Existem outras formulações do Axioma da Completeza que são equivaletes a esta e podem ser vistas em um curso de Aálise. Por exemplo, a que foi adotada em MA, dizia que toda expressão decimal, , ode,, 2, 3,... são dígitos de 0 a 9, represeta um úmero real. Há uma relação quase imediata etre as oções de sequêcias covergetes e de subsequêcias, que veremos a seguir. Teorema 2 Limite de Subsequêcia Seja (x ) uma sequêcia tal que lim x = l e seja (x i ) uma subsequêcia qualquer, etão lim i x i = l Demostração Seja r > 0 um úmero real, logo existe 0 tal que x (l r, l + r) para todo > 0. Por outro lado existe i 0 tal que se i > i 0, etão i > 0. Portato, se i > i 0, temos que x i (l r, l + r), que mostra que lim i x i = l. Outro fato iteressate a respeito de subsequêcias de uma sequêcia é forecido pelo seguite resultado: 4

15 Sequêcias Reais e Seus Limites Uidade Toda sequêcia (x ) possui uma subsequêcia moótoa. Proposição 3 Subsequêcia Moótoa Cosidere os dois seguites cojutos: Demostração A = {p N; existe > p tal que x x p } e A 2 = {p N; existe > p tal que x x p }. É claro que se tem A A 2 = N. Temos, agora, duas possibilidades: a) A é ifiito. Neste caso, é imediato extrair uma susequêcia ão decrescete de (x ). b) A é vazio ou fiito. Neste caso, A 2 é ecessariamete ifiito e, portato, podemos extrair de (x ) uma subsequêcia ão crescete. 5

16 Uidade Limites de Sequêcias de Números Reais.4. Exercícios. Ecotre iteiros, 2 tais que (a) ( ) + 2 < 00 para ; (b) ( ) + 2 < 0000 para Ecotre iteiros, 2, 3 tais que (a) 2 < 0 para ; (b) 2 < 00 para 2; (c) 2 < 000 para Ache os limites das sequêcias (x ) abaixo (a) x = 2 (b) x = + 3 ; (c) x = 2 ; (d) x = Comprove cada um dos seguites limites: (a) lim + =, + 3 (b) lim = 0 ; 5. O que se pode dizer sobre uma sequêcia covergete (x ) cujos termos são todos úmeros iteiros? 6. O que se pode dizer sobre as subsequêcias covergetes da sequêcia (( ) + )? 7. Ache lim ( + ). 8. Mostre que 6

17 Sequêcias Reais e Seus Limites Uidade ( lim ( + ) + 2 ( + 2) + + ) 2 (2) 2 Sugestão: Observe que 0 < ( + ) + 2 ( + 2) (2) }{{ 2 } parcelas = 0. ( + ) 2 <. 9. Verifique, pela defiição, que toda sequêcia costate (x = c) coverge para c. 7

18 Uidade Textos Complemetares.5 Textos Complemetares Para Saber Mais Somas de termos de PGs com Razão Etre 0 e Na verdade, o fato da sequêcia (S ), dada por S = ser limitada é um caso particular do fato da soma dos termos de uma PG qualquer de razão q, com 0 < q <, ser limitada. De fato, pela fórmula da soma dos termos de uma PG, temos S = a + aq + aq aq = a q q Como 0 < q < 0 e q > 0, temos S < q a q Logo, (S ) é limitada. a q. = a q q. 8

19 Sequêcias Reais e Seus Limites Uidade Defiição Educada de Subsequêcia Pode-se defiir a oção de subsequêcia de uma sequêcia como a composição de duas sequêcias. De fato, supoha dada uma sequêcia x: N R e uma sequêcia crescete : N N. A subsequêcia (x i ) = ( x, x 2,... ) é precisamete x : N R. Para Saber Mais 9

20 Uidade Textos Complemetares Para Saber Mais Demostração Formal da Proposição Supoha por absurdo que lim x = l e que lim x = l 2, com l l 2. Tome r = l 2 l > 0. Assim, existem iteiros positivos 2 e 2 tais que para todo >, x l < r e para todo > 2, x l 2 < r. Tomado-se 0 = max{, 2 }, temos que x l < r e x l 2 < r, para todo > 0, o que é equivalete a l r < x < l + r e l 2 r < x < l 2 + r, para todo > m. Multiplicado-se a primeira desigualdade por, obtemos a desigualdade l r < x < r l. Agora, adicioado-a à seguda, obtemos l 2 l 2r < 0 < l 2 l + 2r, ou seja, 2r < l 2 l < 2r, dode l 2 l < 2r = l 2 l, absurdo. Provamos assim que o limite é úico. 20