CAPÍTULO 8. Exercícios Inicialmente, observamos que. não é série de potências, logo o teorema desta

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1 CAPÍTULO 8 Eercícios 8 Iicialmete, observamos que 0 ão é série de otêcias, logo o teorema desta seção ão se alica Como, ara todo 0, a série é geométrica e de razão, 0, etão a série coverge absolutamete ara todo 0 Para 0 a série é divergete e com soma Fazedo u 0, temos a série de otêcias au, cetrada em 0, e que será 0 covergete ara u 0 Pelo teorema da seção, tal série será absolutamete covergete ara r u r, ode r 0 ; segue que a série 0 será, etão, absolutamete covergete ara r 0 r, e, ortato, absolutamete covergete o itervalo ] 0 r, 0 r[ Eercícios 8 a) é uma série de otêcias com a 0 R lim a a lim Æ Æ A série coverge ara todo ], [ e diverge ara Como 0 0 a ( 0 ) e ( ) são divergetes, resulta que o domíio de f é ], [

2 b) é uma série de otêcias com a l l a l R lim lim a Æ Æ l ( ) A série coverge ara todo ], [ e diverge ara A série ( ) é alterada Como a seqüêcia a, l, é decrescete l e lim 0, segue que a série Æ l ( ) l é covergete A série l é divergete (comare com a série harmôica divergete Portato, o domíio de f é [, [ c) é uma série de otêcias com a a 0 a R lim lim ( ) Æ a Æ ( ) A série coverge ara todo ], [ e diverge ara Se, temos divergete, ois lim Æ 0 0 ) Se temos a série alterada ( ) que é divergete, ois lim ( ) Æ 0 ão eiste Portato, o domíio de f é ], [ d) é uma série de otêcias com a a R lim lim ( ) 3 Æ a Æ 3 A série coverge ara todo ], [ e diverge ara 88

3 Se, temos a série alterada ( ) que é covergete (Veja critério de 3 0 covergêcia ara séries alteradas) Se, temos a série que é covergete 3 0 (Comare com a série harmôica covergete Logo, o domíio de f é [, ] ) 0 e) é uma série de otêcias com a 0 a R a lim lim Æ Æ A série coverge ara todo ù, È ûú ÎÍ e diverge ara Para e temos séries divergetes ù Portato, o domíio de f é, È ûú ÎÍ f) é uma série de otêcias com a a R lim lim ( ) lim Ê ˆ ( ) Æ a Æ Æ Ë 4 34 e A série coverge ara todo Portato, o domíio de f é 89

4 4 Cosideremos a série a e seja A Ï a Ì 0 lim 0ý Ó Æ þ Iicialmete, 0 observamos que se lim as 0, s0, etão teremos também lim a 0 ara Æ Æ s De fato, de a as s e como s, segue lim a 0 Sedo, Æ etão, R o suremo de A, teremos lim as 0 ara todo s ]0, R[ Se R, eiste Æ s ]0, R[, tal que s De lim as 0 segue que tomado-se 0, eiste Æ um atural, tal que as ara todo Etão, ara, a as Logo, a série s s a é absolutamete covergete, 0 ois a série geométrica s é covergete Etão, ara todo, R R, a série 0 será absolutamete covergete Por outro lado, ara R a série ão será covergete, ois este caso teremos lim a 0 Portato, R é o raio de covergêcia da série Æ Ï 5 Pelo Eercício 4, temos A a Ì 0 lim 0ý e o raio de covergêcia da série Ó Æ þ 0 a Resulta que: é o suremo do cojuto A Ï a) Rsu 0 lim 3 Ì 0ýsu [ 0, [ ; Ó Æ þ b) Ï R su 0 lim 0 su 0, È È Ì ý ; Ó Æ þ ÎÍ ÎÍ c) Ï R su Ì 0 lim 0ý su { 0} 0; Ó Æ þ Ï 3 d) R su Ì 0 lim 0 su [ 0, ] Æ 4 ý Ó þ 90

5 6 a) De r, r0, segue que lim 0, ois Suodo, agora, Æ r r, resulta lim a 0 Æ b) Suodo lim a 0 e observado que a ( Æ a ), segue que lim a 0 Tedo em vista o item a, coclui-se que lim a 0 se e somete se Æ Æ lim a 0 Pelo Eercício 4, as séries a e a têm o mesmo raio de Æ 0 0 covergêcia lim ar Æ Eercícios 83 0 observado que a a r r Veja solução do item b do Eercício 6 da Seção 8 Seja a com raio de covergêcia R, R 0 ou R 0 a) Seja r ]0, R[ De lim ar 0, segue que a seqüêcia a r, atural, é limitada, Æ logo, eiste M 0 tal que ar Mara todo atural b) Sedo r ]0, R[, temos a r ar M ara todo r r r c) Pelo Eercício, R é o raio de covergêcia da série a, logo, a série coverge absolutamete ara R d) Sejam 0 r s R Olhado ara o item b, obtemos a s as M M s s s s r s ode M 0 é tal que as Mara todo atural De r s segue que a série geométrica r é covergete Etão, elo critério M de Weierstrass, a série s a é uiformemete covergete em ]r, r[ ara todo 0 r R 9

6 e) Basta alicar o Teorema 3 (derivação termo a termo) da Seção 74 Eercícios 84 a) Temos b) Para t t t t, d d 0 0 Ú Ú 0 0 Por outro lado, t t Ú d 0 Ú Ê d 0 Ë Á ˆ Portato, ara, 0 Temos È ù Íl Î ú û 0 0 l 0 Por (a), Portato, l 0 t È ù Íl Î ú û0 t l t 9

7 5 Um rocesso é o descrito o Eemlo 7 da Seção (série de Gregory) Outro rocesso é utilizado a itegração termo a termo (Teorema da Seção 83) que ermite a itegração termo a termo em todo itervalo [a, b] cotido o itervalo de covergêcia ]R, R[ Sabemos que Etão, ara, temos ( ) ara 0 arc tg dt ( ) t dt ( ) 0 t Ú Ú ou seja, ara, arc tg ( ) 0 O teorema da itegração termo a termo somete os garate a igualdade acima o itervalo aberto Para cocluir a validade o itervalo fechado [, ] a artir dessa igualdade, vamos recisar do seguite teorema: se uma série de otêcias, em volta de zero, é covergete ara R ( R), sedo R o raio de covergêcia, etão a soma s() da série será cotíua o itervalo fechado [0, R] ([R, 0]) (veja o Eercício 8) Como ( ) é covergete ara e (verifique) segue que 0 s ( ) ( ) é cotíua em [, ] Como arc tg é cotíua em [, ], e 0 arc tg 0 ( ) em ], [, resulta arc tg ( ) ara 0 0 a) Temos, ara 0: arc tg y tg y, 0 y ; arc tg z tg z cot z, 0 z 93

8 Logo, tg y cot z Daí, se cos se y se z cos y cos z Segue que y y cos (y z) 0, 0 y z Etão, (y z) arc cos 0 Portato, ara todo 0, temos arc tg arc tg 4 34 y 4 34 z Outro modo d d cos z, ou seja, se z È arc tg arc tg ù 0, ara todo 0 (verifique), logo, eiste uma ÎÍ ûú costate tal que arc tg arc tg resulta arc tg arc tg, ara todo 0 ara todo 0 Como ara,, b) Com a série de Gregory, calcula-se arc tg 3 com a recisão que desejar; em seguida, com a relação arc tg arc tg, calcula-se arc tg 3 c) Procedimeto aálogo ao do item b a) Seja a equação diferecial y y y 0 que admite uma solução y y () desevolvível em série de otêcias, em volta da origem, com raio de covergêcia, isto é, ara todo, Temos: y( ) ( ) y! y ( ) y y( ) y y ou! 3 ( ) y( )! 94

9 y( ) y y 4 ( ) y y( ) ou! ( ) y( ) y y y( ) y( ) 4 y ( )! 4 y( 3) ( 3)! ( ) ( ) y ( )! ( ) ( ) y! Substituido, e a equação y y y 0 (estamos suodo que y() é solução desta equação e reuido os termos segudo as otêcias de, obtemos: y y 4 ( ) ( ) y y y! ( ) y ( )! 4 [ y y] [ y y ] È y Î Í ( )! 4 ( ) ( 3) ( ) y ( )! ( ) ( ) Como todos os coeficietes deverão ser ulos, 4 y ( 3)! ( 3) y ù ( 3)! ú û y(0) y(0) 0 Þ y(0) y(0) Þ y(0) 0 (codição iicial y(0) 0) y(0) y(0) 0 Þ y(0) y(0) Þ y(0) ( ) ( ) ( 3) y y y 0, 4 ( )! ( )! ( 3)! Þ y( ) y( ) ( ) y( 3) 0, 4 Þ y( ) y( ) ( ) y( 3), 4 Þ Þ 0 0 b) Do item a, ara 4, y y ( ) ( ) y ( ) y ( 3) ( ) Pelo fato de a seqüêcia y () (0), 4, ser crescete (verifique), resulta 95

10 ( 3) y y, 4 Etão, ara 4, ( ), ou seja, y( ) y( ) y () (0) ( )y ( ) (0), 4 c) Utilizado o item b, ( ) y( ) ( ) y( ) ( )( ) y( )!!! ( )( ) ( ( 3)) y! Logo, y ( ),! 3 d) Para, Ê y( ) y ( ) ( ) 0 ˆ y y ( ) ( ) Á!! Ë! 3 3 Portato, y y( ) y( ) { 0 0 3!! 0 0 Ê y ˆ y ( ) Á! ( ) Ë 3 ( ) y( )! ( ) ( ) 4 a) Seja y ( ), Etão, y ( ), ode é um real dado ão atural Substituido y() a equação diferecial liear de ª ordem y y,, segue que ( ) ( ) ( ) Þ ( ) ( ) Portato, y ( ), satisfaz e y(0) 96

11 b) Suodo y g(),, solução de, segue que ( ) g() g() Etão, d È g ( ) ù ( ) g( ) g( ) ( ) d Í ( ) ú ( ) Î û ( ) [( ) g( ) g( )] 0, ( ) Portato, eiste uma costate tal que g ( ), isto é, g() ( ),, ( ) Fazedo 0 e observado que g(0), temos Daí, g() ( ) c) a R lim lim Æ a Æ lim Æ ( )( ) ( ) ( )!! ( )( ) ( ) ( ) ( ) d) Seja g ( ),! ( ) ( ) ( ) g ( )!! Como a série é covergete ara todo tal que, é válida a derivação termo a termo em ], [ Temos, g( ) ( )( ) ( ) ( )!, ou seja, ( )( )( )( ) g( ) Por outro lado,! ( )( ) ( ) g( ) Segue que! 97

12 ( )( ) ( )( ) g( ) g( ) Daí! È ( )( ) ( ) ù ( ) g( ) Í ú e, ortato,! Î Í û ú ( ) g() g(), Etão, g() é solução de e) Temos g() ( ), (elo item b) e ( )( ) g ( ), (elo item d)! Portato, ara todo ], [, ( )( ) ( )! 5 a) Cosiderado o item e do Eercício 4, ( ) Ê ˆÊ ˆÊ ˆ Ê ( ) ˆ Ë Ë Ë Ë! Ê ˆÊ 3 ˆÊ 5 ˆ Ê ( ) ˆ Ë Ë Ë Ë! ( ) 3 5 ( )! Portato, ara todo ], [, ( ) ( ) 3 5 ( ) 4 6 b) Para temos uma série umérica alterada Fazedo 35 ( ) a,

13 temos a, assim a seqüêcia a a é decrescete Ê a Como lim Á lim lim, Æ Ë ˆ Ê ˆ Á a Æ Ë 0 elo Eercício Æ 7 b da Seção 35, segue que lim a 0 Logo, a série alterada é covergete Etão, Æ ara, a série de otêcias dada coverge (Observação Como a série é covergete ara e tedo em vista o Eercício 8, segue que ( ) 35 ( ) 4 6 c) Para todo [0, ] temos ) È f( ) ( ) 35 ( ) ù Í ú 4 6 Î Í û ú ( ) 35 ( ) 4 6 a a ( ) ( ) ( ) , (Para 0, a série é alterada e a seqüêcia a é decrescete, ou seja, a a ) Daí, ara todo [0, ]: È f( ) Í Î Í ( ) 3 5 ( ) ù ú 4 6 û ú 35 ( ) ( ) d) Como lim 0, dado 0 eiste Æ tal que, ara 35 ( ) 0, 0 Etão, ara todo [0, ] e 4 6 0, È f( ) ( ) ( ) 35 ù Í ú 4 6 Î Í û ú 99

14 Logo, a série coverge uiformemete em [0, ] Assim, este itervalo, a soma da série é uma fução cotíua e, como ( ) / é cotíua este itervalo, resulta / ( ) ( ) (Veja, também, a solução do Eercício 8) 35 ( ), e) Como a igualdade aterior se verifica, também, o itervalo ], 0], segue que tal igualdade é válida ara 6 a) Pelo Eercício 5 (item a) ( ) ( ) 35 ( ), 4 6 ( ) Substituido or ( ), segue que ( ) ( 35 ) 4 6 ( ), b) Utilizado o Teorema da Seção 83 (itegração termo a termo), È arc se ( ) d Í 0 0 Î Í Daí, Ú Ú 35 ( ) 4 6 Ú 0 35 ( ) ù ú d 4 6 û ú d, 35 arc se ( ), 4 6 a) Pelo critério de Raabe, Ê a ( ) lim Á lim Æ Ë ˆ Ê ˆ Á a Æ Ë 3 ( )( 3) Etão, a série é covergete 00

15 b) Seja a série 35 ( ) 4 6 Temos, ara todo [, ], 35 ( ) 35 ( ) M A série umérica M é covergete (item a) Etão, elo critério M de Weierstrass, a série roosta é uiformemete covergete em [, ] c) Se, a série é covergete elo critério de Raabe Se, a série fica ( a ), logo, é covergete A fução f() arc se é cotíua em e em () Logo, o desevolvimeto vale ara Portato, 35 arc se ( ), 4 6 d) 35 arc se ( ) Temos a ar ara R Como a série umérica ar é 0 covergete, elo critério M de Weierstrass, a série a será uiformemete 0 covergete em [R, R], logo, a sua soma será cotíua este itervalo Vamos aroveitar e rovar, também, que se a série for codicioalmete covergete em R, a série será uiformemete covergete em [0, R] o que imlicará a cotiuidade da soma em ]R, R] Para a rova da covergêcia uiforme em [0, R] vamos recisar da desigualdade de Abel: se d for uma seqüêcia decrescete e se eistir um B 0 tal que b B ara todo atural, etão, bd Bd0 ara todo 0 0 atural 0

16 Por hiótese, a série 0 b, ode b a R, é covergete Etão, elo critério de Cauchy, dado 0, eiste 0 tal que, ara 0 e ara todo atural, 0 b Façamos, agora, c( ) Ê ˆ, 0 R Temos 0 c Ë R () c (), 0 R, ou seja, ara cada em [0, R], a seqüêcia c () é decrescete e limitada sueriormete or Observe, agora, que a ar Ê ˆ bc R ( ) Ë Etão, ara rovar que a série é uiformemete covergete em [0, R], basta mostrar, tedo em vista o critério de Cauchy ara covergêcia uiforme, que, ara todo 0, eiste 0 tal que, ara 0 e todo atural, bc ( ), alicar a desigualdade de Abel à soma bc ( ), 0 R ara todo em [0, R] Vamos, etão, bc ( ) bc( ) Bc( ) B, 0 R, 0 ode b B ara todo atural (Observe que a desigualdade acima c () 0 está substituido o d e o d 0 foi substituído or c ()) Mas, como vimos ateriormete, dado 0 eiste 0 tal que b 0 b ara 0 e ara todo atural Trocado em B or, temos: ara 0 e ara todo atural, bc ( ), 0 R, e, ortato, a série a é, elo critério de Cauchy, uiformemete covergete em 0 [0, R] Com raciocíio aálogo, rova-se que se a série for covergete ara R,

17 etão será uiformete covergete em [R, 0] Coclusão Se a série a for 0 covergete em R, tal série será uiformemete covergete [0, R] e, ortato, cotíua em ]R, R] Se a série for covergete em R, etão será cotíua em [R, R[ Se a série for coavergete em R e em R, etão será cotíua o itervalo fechado [R, R] 9 A série ( )( )( ) é covergete se 0 (Eercício 6 da! Seção 35) ( )( )( ) Logo, a série é absolutamete covergete se 0! Portato, elo Eercício 8, a série aterior coverge uiformemete em [, ] quado 0 A sua soma é cotíua este itervalo Assim, ara todo [, ], ( )( ) ( ) ( )! 0 a) Sedo 0, com ão-atural, a série alterada de termo geral ( )( )( ) ( )( )( ) ( )!! a Ê a é covergete, ois a é decrescete a ˆ Á e, elo Eercício 9 a da Ë Seção 35, lim a 0 Logo, a série é covergete ara Raciociado como o Æ Eercício 5, coclui-se que a série é uiformemete covergete em [0, ] Para, temos a série de termo geral a que é divergete (veja Eercício 6 da Seção 35) Etão, sedo ão-atural, 0, temos ( )( )( ) ( ),! b) Veja 9 b da Seção 35 03

18 Suohamos a) Temos: Ê Á Ë 0 Como ˆ ( )( ) b) Temos ( )( ) ( ) Ê ˆ e Á Ë ( ) Ê ˆ Ê ˆ 3 Á Á Ë 0 Ë Ê Como Á Ë Resulta que 0 ˆ 3 ( ) 3 (item a) Ê ˆ e Á Ë ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 Assim, 3 resulta que 0 ( ) ( ) 3 04