Matemática I. Licenciatura em Economia. Exercícios. (1 + a) n 1 + na. n!, e que desta igualdade se tira imediatamente que p!(n p)! + p.

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1 Matemática I 1 o semestre /13 Liceciatura em Ecoomia Eercícios Aálise Matemática 2 Números reais. Breves Noções toológicas 2.1. Demostre elo ricíio de idução matemática: a (+1 2, ara todo o atural 1, b Desigualdade de Beroulli: Sedo a > 1 e IN, (1 + a 1 + a. c Biómio de Newto: Recorde que. (a + b 0 a b, IN, a,b IR., e que desta igualdade se tira imediatamete que!(! Cosidere as seguites igualdades 1 1; 1 4 (1 + 2; ; ( Tire daqui uma lei e tete demostrá-la or idução Iterrete geometricamete os seguites cojutos: a : < 1}, b : < 0}, c : a < ɛ}, ode ɛ > 0 d : > 0}, e : ( a( b < 0}, ode a < b

2 f : 3 > }, g : 1 } Resolva as equações seguites a b c Sejam A e B dois subcojutos de IR tais que A B e suoha que A é ão vazio e B é majorado. Justifique que eistem os suremos de A e B e rove que se verifica su A su B Mostre que a + y + y, b y y Resolva as iequações seguites e idique o cojuto das soluções: a 3 2 < 1, k b l 3 > 2 c 1 > 2 m 3 1 < 1 d < + 2 e 5 1 < 1 o f 5 < + 1 < 2 12 < 4 g 2 2 < 1 q h r 1+ 2 i s 2 ( 1 2 j t > Determie em IR o cojuto dos majorates, dos miorates, o suremo, o ífimo, o máimo e o míimo (caso eistam dos seguites cojutos: a 1, si 1, si 2} e m : m, IN} b ( 1 1 : IN} f ( 1m : m, IN} c a : IN} com a IR tal que a < 2 d m + 1 : m, IN} 2.9. Determie o iterior, o eterior, a froteira, a aderêcia, o derivado, o cojuto dos miorates, o cojuto dos majorates, o suremo, o ífimo, o máimo e o míimo (caso eistam dos seguites cojutos: a A [2, 3[ [4, 10[, c C [0, 1]\IQ, b B ]5, 7[ 15}, d D [2, 3] IQ Determie o iterior, o eterior, a froteira, o derivado e a aderêcia dos seguites cojutos: a A IR : 2 < 49}, b B : é irracioal e 2 < 49}. Page 2

3 2.11. Cosidere o cojuto A } IR : 1 + ( 1, IN a Determie o iterior, o eterior, o derivado, a froteira e a aderêcia de A. b Averigue se o cojuto A é aberto ou fechado Determie o eterior, o iterior, a froteira e o derivado do cojuto: A IQ : + 3 < 5} : é irracioal 2 13 } (Eame São dados os cojutos e Determie: a it(a B, b (A B. B A IR : 2 } 2 1 ( y IR : y ( } IN (Eame Dados os cojutos e A B IR : < 1 } 2 y IR : y } 2 IN a Determie A sob a forma de itervalos de úmeros reais. b Determie, caso eistam, o suremo e o ífimo de A B. 3 Sucessões uméricas Calcule o limite de cada uma das seguites sucessões: a s 1 c s e s b s 1 2 d s f s ( Sejam ( IR uma sucessão,, P ( a a 1 + a e Q( b 0 q b q 1 + b q duas fuções oliomiais de coeficietes reais,, q IN, a 0 0, b 0 0. Mostre que Page 3

4 a lim P ( lim a 0. b lim P ( Q( lim a 0 b 0 q a 0 b 0 se q, se > q, 0 se < q Calcule, se eistir, o limite de cada uma das seguites sucessões: a u 1 f u b u c u d u e u g u h u i u j u ( ( 1( 2 k u ( + 1( Calcule( os limites das seguites sucessões: 1 a cos 2 ( si, ( 1( 2( 3 b ( + 1( + 2( + 3, c (cos(, IR, 1 1 d , e , f ( (2 2, g , h Calcule os limites de cada uma das seguites sucessões: ( ( + 5 ( a u b u c u A sucessão s s } IN defiida or s 1 1 e s s é covergete. Elique orquê e calcule o seu limite. Page 4

5 4 Séries uméricas e de otêcias Diga se são covergetes as séries seguites. Em caso afirmativo, determie a sua soma. a ( 1 b 3 c ( d ( 1 e Determie ara que valores de covergem as séries e calcule a sua soma. ( ( 2 a b c (1 d ( e i ( ( + 3! f j ( ( 2 +2 g 0 2 h 0 ( Utilize a teoria das séries geométricas ara calcular os racioais corresodetes às dízimas: a 3, b 1, c 1, d 0, Calcule o raio de covergêcia e idique o maior aberto ode as seguites séries de otêcias são absolutamete covergetes: ( a c ( ( b d 1 1 Page 5