Matemática II º Semestre 2ª Frequência 14 de Junho de 2011

Transcrição

1 Matemática II 00-0 º Semestre ª Frequêcia de Juho de 0 Pedro Raposo; Maria João Araújo; Carla Cardoso; Vasco Simões O teste tem a duração de :0 horas Deve resolver os grupos em folhas separadas Grupo I (7 valores) Cosidere o seguite problema de programação liear: Ma z, z + + sa 8 +,,, a) Resolva-o pelo simple (Cotação: valores) b) Caracterize o tipo de solução ecotrada a alíea aterior Se possível apresete outra solução (Cotação: valor) c) Supoha que o eercício iicial era dado pelas seguites codições: Ma z, z + + sa Escreva o primeiro quadro do simple (ão resolva) (Cotação: valor) Cosidere o seguite problema de programação liear: Ma z, z sa , 0, 0, livre , 0 a) Resolva-o graficamete (Cotação: valor) b) A admiistração da empresa agradeceu a resolução gráfica do problema primal mas tem um pedido adicioal A admiistração da empresa quer se debruçar sobre o problema a perspectiva de miimizar os custos em vez de maimizar o lucro Escreva o respectivo problema (Cotação: valor) c) Sem resolver o problema primal pelo algoritmo do Simple,, determie e iterprete a solução do Dual utilizado as propriedades dos desvios complemetares (Cotação: valor) Grupo II ( valores) No seguite problema de programação liear, preecha o quadro (fial) que é idicado sem resolver o simple (Cotação: valores) a + a a + a mi z com a + a, Z (artifical) (folga) M- / /// (artifical) (folga) / /// / - / /// / / /// / /9

2 Os gestores da empresa X, Lda formularam o problema de maimização do lucro da empresa baseado a produção de produtos, e e utilizado recursos, recursos humaos, computadores e máquias pesadas Cosidere o respectivo problema de programação liear: a + a + a 0 a + a + a 0 ma z + + com a + a + a,, Em que o quadro fial do simple é o seguite: Z 8/ 0 0 / 0 / - / 0 / 0 - / 7-7/ 0 0 / - / 8 9/ 0 - / 0 / 9 a) Determie o itervalo de sesibilidade de b (Cotação: valor) * b) Determie e iterprete a ova solução se b alterar para b (Cotação: valor) c) Um dos gestores da empresa verificou, depois, que a receita uitária do produto era de um, e ão de um Ao dar cota disso a um colega de admiistração, este disse- lhe ão haver razão para preocupações Está de acordo com ele? Justifique (Cotação: valores) Grupo III ( valores) Notepadlk Calcule a soma da série ( ) (Cotação: valores) ( ) Mostre que se u coverge etão u também coverge, mas o cotrário ão é verdadeiro (Cotação: valores) Grupo IV ( valores) 7 Determie o domíio de covergêcia da série fucioal ( + ) (Cotação: valores) 8 Desevolva em série de Mac- Lauri a fução f( ) (Cotação: valores) ( ) Formulário: série do biómio k ( + ) + k+ k( k ) + k( k )( k ) + + k( k )( k + ) +!!! BOA SORTE /9

3 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO Grupo I (a) O problema ecotra-se a forma stadard / / / / 0 0 / / /8 / 0 0 /8 / / 0 / / 8 / 0 0 / -/ / / 0 /8 0 -/8 /8 / Ma Z 8 em (,,, ) ( 0, 8,,0 ) (b) Eistem múltiplas soluções, aparece com coeficiete 0 a liha da fução objectivo o último quadro / 0 / / / -/ / / / -/ / Outra solução: Ma Z 8 em (,,, ) ( 0, 8,, 0) (c) tem-se Fazedo, Ma z, z + sa ',,,, /9

4 ' M M a) Observado a figura seguite coclui-se que o poto correspodete ao máimo é a itersecão das rectas + + Ma Z 7 Z, + (b) Mi W y+ y y y+ 0y + y s a y+ y y y 0, y 0, y (c) /9

5 0 y + y y 0 y + y y seguda restrição é ão activa: y 0 e 7 y y y y 8 y y y 0 Mi W W,0, Grupo II No seguite problema de programação liear, preecha o quadro (fial) que é idicado sem resolver o simple a + a a + a mi z com a + a, Variáveis básicas: Preço sombra: y ( ) + () + 0 Quadro fial: Z (artificial) (folga) (artifical) (folga) 0 0 M- / 0 /// / / 0 / 0 /// / 7/ 0 - / 0 /// / 0 0 / /// / /9

6 Os gestores da empresa X, Lda formularam o problema de maimização do lucro da empresa baseado a produção de produtos, e e utilizado recursos, recursos humaos, computadores e máquias pesadas Cosidere o respectivo problema de programação liear: a + a + a 0 a + a + a 0 ma z + + com a + a + a,, Em que o quadro fial do simple é o seguite: Z 8/ 0 0 / 0 / - / 0 / 0 - / 7-7/ 0 0 / - / 8 9/ 0 - / 0 / 9 a Determie o itervalo de sesibilidade de b b 0 b +Δ +Δ Quadro iicial: a + a + a + +Δ Tudo o que acotece à variável de folga, acotece a Δ, etão: Δ Δ Δ Δ Como as varáveis básicas têm que ser ão egativas, fica: /9

7 7 Δ 9 8 Δ 0 Δ 0 b 9 + Δ * b Determie a ova solução se b alterar para b Como se ecotra detro do itervalo de sesibilidade e Δ 0, etão: * z + Δ * 7 Δ * 8 0 Δ * 9 + Δ R: com esta alteração, o lucro aumetou para z * c Um dos gestores da empresa verificou, depois, que a receita uitária do produto era de um, e ão de um Ao dar cota disso a um colega de admiistração, este disse- lhe ão haver razão para preocupações Está de acordo com ele? Justifique Começa- se por determiar o itervalo de sesibilidade de C C 0 C +Δ +Δ Quadro iicial: Quadro fial: z + ( +Δ) z + + (0 Δ ) + + Como é uma variável básica, etão tem que ter coeficiete igual a zero a fução objectivo do quadro fial, portato L L+Δ L 8 z Δ Δ +Δ + + Δ Δ + 7Δ 8 z + Δ + + Δ + Δ + 7Δ Como os coeficietes da fução objectivo têm que ser todos ão egativos: 7/9

8 8 Δ + Δ Δ C Δ R: Sim, pois um está detro do itervalo de sesibilidade, apeas haverá um aumeto do lucro: ma z 0, pois a fução objectivo fica: z+ + 0 GrupoIII ( ) ( ) ( ) A primeira série é covergete como se pode mostrar comparado com a série covergete série é uma série geométrica de razão covergetes é também covergete Como A B A B B B A ( ) + A seguda / portato é também covergete A soma algébrica de séries tem-se ( ) ( ) ( / ) lim lim 9 / 9/ Se u coverge, u Portato a série Pelo cotrário, se u < u, Com efeito, por eemplo se u é covergete u é Absolutamete covergete e u 0 Neste caso u > u u > coverge, como u < u e ada se pode cocluir acerca da atureza de u u, é u e: u u coverge mas u diverge 7 ( + ) ( + ) A série de módulos relevate é + Grupo IV e usado o Critério de Cauchy: 8/9

9 lim u + Impodo que este limite seja meor que obtemos o itervalo de covergécia: isto é: R { 0 } + Se 0 a série origial é 0 < + + > > 0 que é covergete, portato o domíio de covergêcia é R 8 Desevolver em série de MacLauri a fução f( ) ( ) R: Seja g ( ) ( ) +, etão logo: + g (0) g ( ) ( ) + g (0) g ( ) ( ) + g (0) ( )( ) g ( ) ( )( )( ) g ( ) ( )( )( ( ))( + ) + ( ) ( ) ( ) g (0) ( ) ( + ) 0 ( + ) g () + () + ()() + + () + 0!!!! ( + ) + ( )! Note-se que é ecessário deiar a parcela for a da soma uma vez que ão é possivel obtê-la a partir da soma Usado o critério de D Alembert aplicado á série de módulos Se a série origial é Se a série origial é logo ( + ) :! u lim u < ( + )( + ) que é divergete (CodNecessária de covergêcia) ( ) ( + )( + ) que pela mesma razão é divergete, etão ( + ) g ( ) + ( ), < <! ( + ) g( ) + ( ) ( ), < < ( )! ( + ) +, < <! e +, < < ( + )!! ( + )! + < <! + f( ), 9/9