( 1)n n n n=0 3 n. n=0. n=0. p n) = n=0. ( n+1+ n) ( 1) n=0 pn : ( p n+1+ p n) n+1 n + 1!

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1 Aalise Matematica I o Semestre de 005/06 9 a Aula Pratica - Semaa -5 a 5-5 Soluc~oes e algumas resoluc~oes abreviadas. a) O termo geral da serie e uma sucess~ao divergete ja que possui dois sublimites diferetes: e. Logo, como o termo geral da serie ~ao tede para 0 cocluimos que a serie e divergete. b) Comece por observar que, cotrariamete ao caso aterior, a sucess~ao do termo geral da serie coverge para 0 o que ~ao os permite tirar ehuma coclus~ao sobre a coverg^ecia da serie. Observe igualmete que ~ao se trata de uma serie de termos ~ao egativos pelo que os criterios ateriormete usados para esse tipo de series (comparac~ao, d'alembert, Cauchy) ~ao podem ser directamete aplicados aqui. Estudemos a serie de modulos correspodete. Como X ( ) 3 + X 3 + ; por comparac~ao P desta serie de termos positivos com a serie covergete (como em Ex.a) da aula 8) cocluimos que esta serie e covergete e, portato a serie dada e absolutamete covergete. c) Esta serie e absolutamete P covergete, uma vez que a serie dos modulos e dada por 3000, que e covergete (usado o Criterio 3 a d'alembert: + a! < ). 3 d) P ( ) ( p + p ) P ( ) P p p. Cosideremos a serie ( ++ ) ( ) de termos positivos p p P ( ++ P p ) p, e compar^emo-la com a serie divergete ( ++ ) p : ( p ++ p ) p q + +! 6 0; + logo a serie de modulos cosiderada e tambem divergete. Cocluimos que a serie dada ~ao pode ser absolutamete covergete. Tratado-se de uma serie alterada tetemos usar o criterio de P Leibiz: cosidere-se a serie dada a forma ( ) a com a p p > 0. Como ( ++ ) p p + a + a ( p + + p + )( p + + p ) < 0

2 o que mostra que a sucess~ao de termo geral a e decrescete, e como a! 0, podemos cocluir, pelo criterio de Leibiz, que a serie e covergete. Logo, a serie e simplesmete covergete. Uma observac~ao: o criterio de Leibiz so decide da coverg^ecia de uma serie, ada dizedo sobre a coverg^ecia ser simples ou absoluta. O resultado aterior foi obtido depois de termos vericado previamete que a coverg^ecia ~ao poderia ser absoluta.. a) E uma serie alterada. A serie P P dos modulos e dada por p, que e divergete (uma vez que coverge sse > ). Cocluimos que a serie dada ~ao e absolutamete covergete. Escrevedo P P ( ) p ( ) a, com a p, temos que a! 0, a > 0 e p p a a + p p + + p p + > 0 ou seja, (a ) e decrescete. Assim, pelo criterio de Leibiz, a serie e covergete. Logo, a serie e simplesmete covergete. b) E simplesmete covergete (proceder como em a)). c) E divergete: o termo geral tem dois sublimites e, logo e divergete. divergete. Como o termo geral ~ao coverge para 0, a serie e d) E absolutamete covergete: e uma serie geometrica de raz~ao P P (x) (+) cujo raio de coverg^ecia e dado por (+) x e uma serie de pot^ecias, cetrada em 0, R lim r (+) lim + : Logo, a serie e absolutamete covergete para jxj < e divergete para jxj >. Para jxj, temos: P P { se x : obtemos a serie (+) + +! e ; +. Uma vez que cocluimos que a serie diverge uma vez que o termo geral ~ao coverge para 0.

3 P { se x : obtemos a serie ( ). Ja vimos que lim (+) (+) e, logo ( ) (+) tem dois sublimites e e e, e a serie e portato divergete, uma vez que o termo geral ~ao coverge para 0. Coclui-se que P (x) (+) : { coverge absolutamete para jxj <, { diverge para jxj. P!(x ) 4. : e uma serie de pot^ecias, cetrada em, cujo raio de!+ coverg^ecia e dado por R lim!!+ (+)! (+)!+ lim! ( + )! + ( + )!! + ( + )! + lim ( + )(! + ) lim + (+)! +! : lim ( + )! + ( + )! + ( + ) Logo, a serie e absolutamete covergete para jx j <, 0 < x < e divergete para jx j >, x < 0 _ x >. Para jxj, temos: P! { se x, obtem-se a serie, que e divergete uma vez que!+!! 6 0.!+ P!( ) { se x 0, obtem-se a serie, que tambem e divergete,!+!( ) uma vez que tem dois sublimites e, logo o termo geral da!+ serie ~ao coverge para 0. Coclui-se que P!(x )!+ { coverge absolutamete para 0 < x <, { diverge para x 0 _ x. 5. Faca-se y (x) 3 : X : (x) 3 + X y + : Esta e uma serie de pot^ecias cujo raio de coverg^ecia e dado por R lim + + :

4 Logo, a serie e absolutamete covergete para jyj < e divergete P para jyj >. Se y obtemos a serie. Como + +!, P esta serie tem a mesma atureza que a serie harmoica, ou seja, P ( ) e divergete. Se y, obtemos a serie alterada. Dado + que! 0 e que < 0, deduz-se, aplicado o (+)(+) P criterio de Leibiz, que a serie e covergete. Como ( ) P e ja vimos que esta serie e divergete, cocluimos que para y a serie e simplesmete covergete. Et~ao, como + + jyj <, j(x) 3 j <, jxj < ; y, x e y, x cocluimos que a serie de pot^ecias dada e absolutamete covergete, simplesmete covergete se x e divergete se se x ; x ; [ ; a) E uma serie geometrica de raz~ao x se x x+ x x+ < e diverge se x <, x > P, ou seja para x > e diverge para x. ; x+ x+. Resolvedo em ordem a x, temos x, logo coverge absolutamete x+ coverge absolutamete b) R ; a a serie coverge absolutamete para < x <, coverge simplesmete para x e diverge para x < _ x. P c) o raio de coverg^ecia da serie y e R e esta serie coverge absoutamete para jyj <, coverge simplesmete para, coclui-se x x coverge absolutamete para x >, coverge y e diverge para y < _ y. Fazedo y x P que x simplesmete para x e diverge para x >. d) o raio de coverg^ecia da serie P (!) y ()! e dado por R lim (!) ()! + ((+)!) ((+))! lim ( + )( + ) ( + ) (vericar!), logo a serie coverge absolutamete para jyj < e diverge para jyj >. Para jyj, temos que

5 P 4 { se y, obtemos a serie (!), que e uma serie de termos ()! ~ao-egativos. Usado o criterio da raz~ao, temos 4 + ((+)!) (+)! 4 (!) ()! + + > P 4 (verique!), logo (!) ()! assim ~ao coverge para 0). e divergete ( 4+ (!) ()! e crescete, e P { se y, obtemos a serie alterada ( 4 (!) ) que e ()! tambem divergete uma vez que o seu termo geral ~ao coverge para zero (tera dois sublimites diferetes). Coclui-se que a serie P (!) y ()! jyj < e diverge para jyj. Fazedo y x ordem a x, temos et~ao que P (!) ()! coverge absolutamete para x e resolvedo em (x x) coverge absolutamete para < x < e diverge para x _ x. e) R ; a serie coverge absolutamete para x 3, coverge simplesmete para x e diverge para x < _ x 4; f) R 4; a serie coverge absolutamete para 3 x 5 e diverge para x < 3 _ x > a) O raio de coverg^ecia da serie P y (+)! e R +, logo esta serie coverge absolutamete P para y R. Fazedo y x, cocluise que a serie coverge absolutamete para qualquer x (+)! x R. P ( ) b) O raio de coverg^ecia da serie + y e R, e esta serie coverge absolutamete para < y <, coverge simplesmete para y e diverge para y _ y >. Fazedo y x, P P ( ) coclui-se que a serie + x+ ( ) x + x coverge absolutamete para < x <, coverge simplesmete para x _ x e diverge para x < _ x >. c) R 3; a serie coverge absolutamete para < x < 4, diverge se x _ x 4. d) R jaj; a serie coverge absolutamete para a jaj < x < a jaj (ou seja, para a > 0, a < x < 0, para a < 0, 0 < x < a) e diverge para x a jaj _ x a jaj (se jx + aj jaj, as series obtidas t^em um termo geral que ~ao coverge para 0). e) O raio de coverg^ecia da serie P y + e R ; esta serie coverge absolutamete para jyj e diverge para jyj >. Fazedo

6 P y (5x + ) (5x+), e resolvedo em ordem a x, temos que + coverge absolutamete para x 0 e diverge para x < 5 _ x > 0. 5 f) O raio de coverg^ecia e dado por R p lim (3 + ( ) ) 4 : A serie coverge absolutamete para jxj < 4 e diverge para jxj 4 (se jxj, o termo geral das series obtidas tem dois sublimites 4 diferetes, logo ~ao coverge para 0). 8. a) No poto 3 a serie dos modulos e dada por X X ja ( 3) j ja j3 X ja 3 j P Como o poto 3 a serie e divergete, a serie a 3 e divergete, e P ja 3 j e tambem divergete. simples. Logo a coverg^ecia em 3 e b) O raio de coverg^ecia da serie e 3, uma vez que a coverg^ecia em 3 e simples (se jxj < R, a serie coverge absolutamete em x, se jxj > R, a serie diverge em x, logo se a serie coverge simplesmete em x, tem-se jxj R). Logo a serie coverge absolutamete para jxj < 3 e diverge para jxj > 3. c) Por exemplo, P 3 x. 9. Seja r 00 o raio de coverg^ecia de P (a + b )x P (a x + b x ). a) se r r 0 +, et~ao P a x, P b x covergem para qualquer x R, logo P (a x + b x ) tambem coverge para qualquer x, ou seja r 00 +; b) r R, r 0 +: se jxj < r, et~ao P a x, P b x covergem logo P (a x + b x ) tambem coverge; coclui-se que r 00 r; se x > r, et~ao P a x coverge e P b x diverge logo P (a x +b x ) tambem diverge; coclui-se que r 00 r. Logo, r 00 r. c) r; r 0 R, r < r 0 : r 00 r (como em b)).