Potencial elétrico para distribuições de cargas puntiformes: sobre a convergência de séries infinitas

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1 Revista Brasileira de Esio de Física, v. 32,. 3, ) Potecial elétrico para distribuições de cargas putiformes: sobre a covergêcia de séries ifiitas Electric potetial of poit charges distributios: o the covergece criteria of ifiite series) Diego Ximees Macedo e Ilde Guedes,2 Departameto de Física, Uiversidade Federal de Ceará, Campus do Pici, Fortaleza, CE, Brasil 2 Seara da Ciêcia, Uiversidade Federal do Ceará, Fortaleza, CE, Brasil Recebido em 30//2009; Aceito em 22/2/2009; Publicado em 6/2/20 Neste trabalho calculamos o potecial elétrico para algumas distribuições ifiitas de cargas putiformes. Para cada distribuição discutimos os critérios de covergêcia das séries obtidas. Calculamos também a desidade de carga superficial iduzida em um plao codutor ifiito aterrado e em uma esfera codutora aterrada de raio a por uma distribuição ifiita de cargas putiformes com siais alterados e magitude ue dimiui harmoicamete com /). Palavras-chave: potecial eletrostático, séries ifiitas e covergêcia de séries. I this work we obtai the electric potetial for some ifiite distributios of poit charges. The covergece criteria for the resultig series are discussed. We also calculate the surface charge desity iduced o a ifiite grouded coductig plae ad o a grouded coductig sphere of radius a by a ifiite distributio of poit charges with alterate sigs ad harmoically decreasig magitude /). Keywords: electrostatic potetial, ifiite series, covergece.. Itrodução O potecial elétrico para uma distribuição de N cargas putiformes i é, de acordo com o pricípio de superposição, dado por [] V r) = N i= i r i ) diegoximees@fisica.ufc.br. ode cosideramos ue o ível zero de potecial esteja o ifiito V ) = 0, e r i é a distâcia da carga i ao poto r) em ue estamos calculado o potecial. Se N for fiito, o potecial elétrico da E. ) também é fiito e, etão, ão há ehuma restrição o cálculo da difereça de potecial etre dois potos uaisuer. Etretato, se N for ifiito devemos assegurar a covergêcia da série expressa pela E. ) para ue ão haja restrições o cálculo da difereça de potecial etre dois potos. Recetemete, Possa e Nogueira [2] calcularam o potecial elétrico e a força elétrica para duas distribuições ifiitas de cargas putiformes distribuídas ao logo do eixo x. Os autores discutiram os sigificados físicos das séries ifiitas divergetes e codicioalmete covergetes ue resultam de diferetes distribuições de cargas putiformes. Por exemplo, eles estudaram a covergêcia da série ue resulta do cálculo do potecial gerado por uma distribuição de cargas elétricas putiformes positivas de mesma magitude ) distribuídas ao logo de eixo x e colocadas em x =, -2, -3,.... Neste caso, o potecial é expresso por x+, com x e V ) = 0. Eles mostraram ue em x = 0, o potecial é proporcioal à ζ), ode ζs) é a fução zeta de Riema [3]. Por ser uma série harmôica, ζ) é divergete para ualuer valor fiito de x. Assim, ão podemos calcular a difereça de potecial etre dois potos gerado por esta distribuição de cargas. Uma forma de cotorar esta divergêcia e calcular a difereça de potecial etre dois potos é cosiderar outro poto de referêcia para o potecial. Outra série ue os autores cosideraram é similar à aterior, mas agora com as cargas tedo siais alterados. Neste caso V x) é dado por ) + x+. Em x = 0, a série é fiita, mas ão absolutamete covergete. De acordo com o Teorema de Riema [4], a soma de uma série codicioalmete covergete ão é úica, mas depede de como os ter- Copyright by the Sociedade Brasileira de Física. Prited i Brazil.

2 Macedo e Guedes mos são ordeados. O objetivo deste trabalho é esteder o estudo de covergêcia de séries realizado por Possa e Nogueira [2] para outras distribuições ifiitas de cargas. Cosideramos distribuições de cargas com mesmo sial ou siais alterados, cuja magitude decresce harmoicamete com /). Por exemplo, para a distribuição de cargas de mesmo sial e magitude ue decresce harmoicamete com distribuídas ao logo do eixo x, o potecial é dado por x+), ode cosideramos V ) = 0. Para x =, obtemos a série telescópica [4] cuja soma é igual a um. Na próxima seção discutimos brevemete os testes de covergêcia de séries ue utilizamos este trabalho. Na seção 3 discutimos os critérios de covergêcia para as séries ue resultam de diferetes distribuições de cargas e calculamos a desidade superficial de carga iduzida sobre um plao codutor ifiito e aterrado por uma distribuição ifiita de cargas putiformes cuja magitude dimiui harmoicamete com, cosiderado todas com o mesmo sial ou siais alterados. Calculamos aida a desidade superficial de carga iduzida sobre uma esfera codutora ifiita e aterrada por uma distribuição ifiita de cargas putiformes de siais alterados e cuja magitude dimiui harmoicamete com. Na Seção 4, apresetamos os cometários fiais. 2. Séries ifiitas e testes de covergêcia Uma série ifiita é uma soma de termos de uma seuêcia parcial a, expressa por a. Se a soma for fiita a série é covergete. Se a soma for ifiita + ou ) ou ão existir, a série é divergete. A covergêcia ou divergêcia de uma série é estabelecida através dos chamados testes ou critérios de covergêcia. Abaixo, discutiremos os três testes de covergêcia utilizados este trabalho. 2.. Teste de covergêcia para a série alterada Cosidere a série alterada ) a, a ual a seuêcia a é decrescete e lim a = 0, este caso a série ) a covergirá. No caso de séries alteradas pode ocorrer de a série covergir, mas, a soma dos módulos de seus úmeros divergir. Neste caso, a série coverge codicioalmete. Se por outro lado a soma dos módulos de seus úmeros também covergir, a série coverge absolutamete Teste da comparação Cosidere duas séries a e b. Supoha ue exista um úmero atural p tal ue, para todo k p, 0 a k b k. Neste caso existem duas possibilidades: i) Se b for covergete, etão a será covergete; e ii) Se b será divergete. a for divergete, etão 2.3. Teste do limite Cosidere as séries a e b com a 0 e b 0, para todo p, ode p é um úmero atural fixo. Se = L, três casos são possíveis: lim a b i) Se L > 0 e L R, ambas são ou covergetes ou divergetes; ii) Se L = + e for divergete, também será divergete; e iii) Se L = 0 e se a a também covergirá. b b for covergete, etão o 3. Potecial elétrico para distribuições de cargas putiformes Na Ref. [2] os autores cosideraram uma distribuição ifiita de cargas igualmete espaçadas ao logo do eixo x e de mesma magitude ), cujo potecial é dado por x+, com V ) = 0. Como eles demostraram, uma forma de cotorar a divergêcia desta série é cosiderar V x 0 ) = 0 para x 0. Outra é cosiderar ue as cargas sejam colocadas as posições -, -4, -9, -6,..., - 2. Em x = 0, o potecial é dado por V 0) = ζ2), ue é fiito. Em suma, um aumeto do espaçameto etre as cargas leva a um valor fiito do potecial. Isto reflete o fato ue o cálculo do potecial de uma distribuição fiita e/ou ifiita de cargas depede, em geral, ão apeas do valor das cargas, mas também de como elas estão distribuídas, ou em outras palavras, da geometria da distribuição. Como uma geeralização desta distribuição, cosidere ue ifiitas cargas putiformes de mesma magitude estão distribuídas sobre o eixo x de tal forma ue, pelo pricípio de superposição, o potecial elétrico em um dado poto do eixo x é expresso por x + B )) 2) ode B) é uma fução ue descreve a distribuição das ifiitas cargas sobre o eixo x e, mais uma vez, cosi-

3 Potecial elétrico para distribuições de cargas putiformes deramos V ) = 0. Depededo da forma de B), o potecial será divergete ou covergete. Cosidere ue as cargas estejam distribuídas em posições dadas pela seuêcia de Fiboacci [5], F ), a saber [ F ) =, se =, 2 F ) + F 2), se 3, 3) este caso o potecial é dado por x+f )). Vemos ue a partir de = 3 o iverso da seuêcia de Fiboacci, /F ), é meor ue a série harmôica / 2, e, pelo teste da comparação, a série é covergete. Agora, cosidere uma distribuição de cargas cujo potecial é dado por x+a ), com a > 0. Utilizado o teste do limite com a série harmôica / 2, verificamos ue esta série é covergete apeas para a >. A seguir vamos modificar o módulo das cargas das partículas putiformes. Cosidere uma distribuição ifiita de cargas elétricas putiformes de mesmo sial positivo), com magitude ue decresce harmoicamete com e colocadas sobre o eixo x as posições -, -2, -3,.... O valor do potecial este caso, cosiderado V ) = 0, é x + ). 4) Vemos ue se trata de uma série harmôica ue decresce com / 2, logo é uma série covergete. Na posição x =, o potecial é dado por V ) = A série + ) = + + ) 5) ) é deomiada de série telescópica [4]. Como sua soma é igual a um, obtemos V ) =. Assim, cocluímos ue esta distribuição ifiita de cargas produz o mesmo potecial ue uma carga localizada a origem. Realizado a soma dada pela E. 5) para todos os valores aturais de x, obtemos 4πɛ 0 x 4πɛ 0 π x + ) = 24ɛ o, se x = 0 x m, se x =, 2, ) m= Se as cargas da distribuição acima tiverem siais alterados, sedo positivo o sial da carga colocada em x = -, o potecial é dado por ) + x + ) 7) ue é absolutamete covergete, pois seu módulo coverge. Nos dois últimos casos podemos calcular a difereça de potecial etre dois potos sem ue haja ehuma restrição. Etretato, ao ivés disto calcularemos a desidade superficial de carga iduzida por estas distribuições sobre um plao x = 0) codutor ifiito aterrado utilizado o método das images eletrostáticas [6]. Cosidere iicialmete a distribuição de cargas cujo potecial é dado pela E. 4). O método das images garate ue podemos substituir o plao codutor por uma distribuição euivalete de cargas imagem egativas), ue por simetria são colocadas as posições, 2, 3,..., respectivamete. Neste caso, o potecial eletrostático calculado em um poto r localizado o semi-espaço x < 0 é dado por V x, y, z) = [x + ) 2 + y 2 + z 2 ] /2 [x ) 2 ) 8) + y 2 + z 2 ] /2 ue satisfaz ão apeas a euação de Laplace em todos os potos exteriores às cargas, como também as codições de cotoro do problema origial. O campo elétrico a superfície de um codutor é dado por E = σ ɛ 0 ˆ [], ode σ é a desidade superficial de carga e ˆ é o vetor uitário ormal à superfície extera ao codutor. Para a geometria cosiderada, V ˆ = ˆx, e, portato σ y, z) = ɛ 0 x em x = 0. Assim, a desidade superficial de carga é dada pela expressão σ y, z) = 2π 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 9) ue pelo teste do limite com a séria harmôica / 2 é uma séria covergete. A carga total iduzida o plao pode ser calculada itegrado a E. 9), resultado em Q = σ y, z) da = 0) ue ada mais é seão a soma das cargas images. Etretato a série acima é divergete. Esta divergêcia resulta do fato de ue a soma das cargas reais é ifiita. Cosidere agora a distribuição de cargas cujo potecial é dado pela E. 7). Neste caso, o potecial e a desidade de carga iduzida são dados respectivamete por

4 Macedo e Guedes e V x, y, z) = ) + [x + ) 2 + y 2 + z 2 ] + /2 ) [x ) 2 ) ) + y 2 + z 2 ] /2 σ y, z) = 2π ) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 2) as uais séries absolutamete covergetes, pois seus módulos covergem. Etretato a carga iduzida o plao Q = σ y, z) da = ) 3) é uma série codicioalmete covergete de acordo com o teste de covergêcia para série alterada. Do poto de vista da Matemática, o valor de Q depede de como a soma é realizada. Em outras palavras, diferetes formas de realizar a soma, por diferetes arrajos de seus termos, levam a diferetes valores de Q. Mas, do poto de vista da física isto ão faz setido. Para eteder isso, cosidere um plao codutor ifiito com uma carga Q 0 distribuída em sua superfície. O teorema da uicidade [7] garate ue uma vez escolhido o ível zero de potecial, o valor deste em um dado poto é úico. Ao mudarmos o valor da carga Q 0, mudamos o valor do potecial. Assim uma vez cohecido o valor do potecial em um dado poto, o valor da carga iduzida é uivocamete determiado, e, por coseguite, como a soma deve ser realizada. A seguir, calcularemos a desidade de carga superficial iduzida sobre uma esfera codutora aterrada de raio a e cetrada em r = 0 por uma distribuição de cargas de siais alterados e com magitude ue decresce harmoicamete com e colocadas sobre o eixo z as posições, 2, 3,.... Não é difícil ver da E. 7) ue o valor e a localização das cargas imagem são a, a 2, a 3,..., ) a... e a 2, a2 2, a2 3,..., a2,... respectivamete. Devemos lembrar ue a <, para ue ehuma carga real esteja detro da esfera. O potecial elétrico para estas duas distribuições de cargas é expresso por V r, θ) = ) + r r cos θ) 2 + ) a r 2 + a4 2r a2 2 cos θ) ) 2 4) Neste caso o potecial é a soma de uma série absolutamete covergete primeiro somatório) com uma série codicioalmete covergete segudo somatório). Porém, como o caso aterior, o teorema da uicidade garate um valor úico para o potecial devido às cargas imagem. Isto determia a forma como a seguda soma deve ser realizada. Como o exemplo aterior podemos determiar a desidade superficial de carga iduzida ue é V σ θ) = ε 0 r r=a = 5) ) 2 a 2 ) 4πa a a cos θ) 3/2 ue, pelo teste o limite com a série harmôica / 2, é uma série absolutamete covergete, pois seu módulo coverge. A carga iduzida é etão dada por Q id = σ θ) da = 2π π σ θ) a 2 seθdθdφ = ) a 0 0 6) Das Es. 3) e 6) observamos ue as cargas iduzidas respectivamete o plao e a esfera pela mesma distribuição de cargas, são proporcioais, diferido apeas pelo raio da esfera. Logo a aálise aterior permaece válida para o caso da esfera. 4. Coclusão Neste trabalho discutimos o critério de covergêcia para as séries ue resultam ao calcularmos o potecial elétrico para algumas distribuições ifiitas de cargas putiformes. Algus dos resultados foram: i) Ao cosiderarmos a distribuição de cargas de mesmo sial e cuja magitude decresce harmoicamete com, o potecial é dado pela E. 4), ue é covergete. Em x = o potecial é dado pela série telescópica, cuja soma é igual a. Isso sigifica ue podemos substituir a distribuição ifiita de cargas, por uma úica carga colocada a origem para obtermos o mesmo potecial; ii) Para os valores aturais de x calculamos a soma expressa pela E. 4). Se cosiderarmos de x >>, o resultado é proporcioal à lx), semelhate ao obtido ao calcular o potecial de uma barra de comprimeto fiito e com desidade liear de carga costate; iii) Ao calcularmos a carga iduzida sobre um plao codutor ifiito aterrado por uma distribuição ifiita de cargas elétricas putiformes de mesmo sial e magitude ue decresce harmoicamete com, obtivemos ue a série resultate é divergete. Esta divergêcia, como vimos, se deve ao fato ue a soma das cargas reais é ifiita.

5 Potecial elétrico para distribuições de cargas putiformes iv) Para a distribuição de cargas com siais alterados e magitude ue decresce harmoicamete com, a carga iduzida o plao é dada por uma série codicioalmete covergete. Com base o teorema da uicidade explicamos porue o valor da carga iduzida é úico; e v) Mostramos ue a carga iduzida o plao codutor aterrado e a esfera codutora aterrada de raio a pela distribuição descrita em iv) são proporcioais. Agradecimetos Os autores gostariam de agradecer o apoio do Coselho Nacioal de Desevolvimeto Cietífico e Tecológico CNP) e Fudação Cearese de Apoio ao Desevolvimeto Cietífico e Tecológico FUNCAP). Também, gostariam de agradecer aos Profs. Dr. Newto Martis Barbosa Neto do Istituto de Física da Uiversidade Federal de Uberlâdia e Dr. Nilso Sea de Almeida do Departameto de Física da Uiversidade Federal do Ceará pela leitura crítica deste trabalho. Referêcias [] H. Moysés Nussezveig, Curso de Física Básica 3 - Eletromagetismo Ed. Edgard Blucher, São Paulo 998), a ed. [2] Deimar Possa e José Alexadre Nogueira, Revista Brasileira de Esio de Física 25, ). [3] George B. Arfke e Has J. Weber, Física Matemática Ed. Campus, Rio de Jaeiro, 2005), 6 a ed. [4] Hamilto Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, Volume 4 Ed. LTC, Rio de Jaeiro, 2002), 5 a ed. [5] A.N. Philippou, A.F. Horadam ad G.E. Bergum, Applicatios of Fiboacci umbers Kluwer Academic, Califória, 988), a ed. [6] David J. Griffiths, Itroductio to Electrodyamics Pretice Hall, New Jersey, 999) 3 a ed. [7] Joh R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy, Fudametos da Teoria Eletromagética Ed. Campus, São Paulo, 982), a ed.