Mecânica dos Sólidos II
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- Nelson Domingues Bugalho
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1 Curso de Egeharia Civil Uiversidade Estadual de Marigá Cetro de Tecologia Departameto de Egeharia Civil Mecâica dos Sólidos II Bibliografia: Beer, F. P.; Johsto, Jr. E. R.; DEWolf, J. T. Resistêcia dos Materiais. Trad. Mario Moro Fecchio. 4ª ed. São Paulo: McGraw- Hill, p. Beer, F. P.; Johsto, Jr. E. R.. Resistêcia dos Materiais. Trad. Celso Pito Morais Pereira. 3ª ed. São Paulo: MAKRON Books, p. Gere, J. M. Mecâica dos Materiais. Trad. Luiz Ferado de Castro Paiva, Rev. Tec. Marco Lucio Bittecourt. São Paulo: Pioeira Thomso Learig, p. Hibbeler, R. C. Resistêcia dos Materiais. 5ª ed. São Paulo: MAKRON Books, p. Timosheko, S. P.; Gere, J. E. Mecâica dos Sólidos. Trad. José Rodrigues de Carvalho. Vol. e. Rio de Jaeiro: LTC Livros Técicos e Cietíficos, 984.
2 Curso de Egeharia Civil Uiversidade Estadual de Marigá Cetro de Tecologia Departameto de Egeharia Civil CAPÍTULO : ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES. Itrodução N (N) N A M (M) M I z V V M b I z s
3 . Itrodução T T ρ J T T má c a b ( a >b). - Itrodução As formulações para as tesões são para seção trasversal. A partir destas tesões já cohecidas, é possível determiar as tesões em qualquer plao oblíquo, assim como as deformações correspodetes cosiderado o material elástico liear.
4 . - Estado Simples de Tesão m As tesões são distribuídas de maeira uiforme a seção m, e a orietação da seção é especificada pelo âgulo etre o eio horizotal e a ormal (). A resultate da força P pode ser decomposta em duas compoetes, uma força Normal (F) e uma de Cisalhameto (V), que é tagete ao plao m.. - Estado Simples de Tesão As tesões ormal e de cisalhameto a seção m são obtidas por: F A A é a área da seção icliada: e V A A cos A A A A cos
5 . - Estado Simples de Tesão Coveção de siais: N: V: Logo, as tesões podem ser calculadas da seguite forma: F P cos P cos A A A cos V P se P se cos A A A cos. - Estado Simples de Tesão Fazedo: cos ( cos ) se cos Tesões em uma seção icliada: P A se cos se cos se
6 . - Estado Simples de Tesão Tesão ormal máima: ( má ) para 8 plaos verticais Tesões de cisalhameto máima: ( má) para Estado Plao de Tesões É composto por tesões ormais e de cisalhameto, porém ão pode ter tesão ehuma a face z.
7 .3 - Estado Plao de Tesões Esboço o quadro F A ( A cos) cos ( A cos) se ( A se ) se ( A se ) cos cos se se cos.3 - Estado Plao de Tesões F ' A ( A cos) se ( A cos ) cos ( A se ) cos ( A se) se se cos se cos ( ) se cos ( cos se ) ( cos se )
8 .3 - Estado Plao de Tesões Usado as relações trigoométricas: se se cos cos cos se cos cos cos se.3 - Estado Plao de Tesões cos cos se cos se se cos para ' 9 ' cos se
9 .4 - Tesões Pricipais e Tesão de Cisalhameto Máima.4. - Tesões Pricipais Deomia-se tesões pricipais à tesões ormais máimas ( ) e míima ( ) que ocorrem em toro de um poto. As direções das tesões pricipais são chamadas direções pricipais e os plaos ode elas atuam são chamados plaos pricipais. Seu valor é determiado tomado: ( ) se cos d d.4. - Tesões Pricipais se cos tg p ode p defie a orietação dos plaos pricipais.
10 .4. - Tesões Pricipais O âgulo p tem dois valores que diferem 9º. Um determia o plao ode atua e o outro ode atua. Os dois valores para p são cohecidos como direções pricipais, ode para um desses valores a tesão pricipal é máima, e para o outro a tesão pricipal é míima. Os valores das tesões pricipais são calculados substituido p a equação de. cos p se p cos ( p 9 ) se ( p 9 ) ( ) ( ).4. - Tesões Pricipais As tesões pricipais também podem ser obtidas da seguite maeira: R tg p p cos p R R se p R
11 Substituido em, obtemos a tesão pricipal máima, :.4. - Tesões Pricipais R R p cos p se R R R A tesão pricipal míima,, pode ser ecotrada a partir da codição:.4. - Tesões Pricipais
12 .4. - Tesões Pricipais Logo as Tesões Pricipais podem ser calculadas por:, ±.4. - Tesões Pricipais A tesão de cisalhameto os plaos pricipais são ulas. Esta é uma importate observação em relação aos plaos pricipais. se cos se tg tg p cos Logo, o plao ode a tesão de cisalhameto é ula é igual aos plaos pricipais.
13 .4. - Tesões de Cisalhameto Máimas se cos Fazedo: ( ) cos se d d.4. - Tesões de Cisalhameto Máimas se cos tg s S defie a orietação dos plaos de tesões de cisalhameto máimas positiva e egativa.
14 .4. - Tesões de Cisalhameto Máimas O âgulo S tem dois valores que diferem 9º. Comparado com os plaos pricipais, temos: tg s cotg p tg p Estudado a relação etre S e P, vemos que: s p Tesões de Cisalhameto Máimas Isto mostra que os plaos de tesão de cisalhameto máima ocorrem a 45º em relação aos plaos pricipais. A tesão de cisalhameto máima pode ser obtida substituido S a equação de, ou da seguite forma: R s R cos s R ; se s R
15 .4. - Tesões de Cisalhameto Máimas R R R R má má também pode ser obtida em fução das tesões pricipais, e Tesões de Cisalhameto Máimas R R R R, como R má má
16 .4. - Tesões de Cisalhameto Máimas No plao de má também cotém tesões ormais. Basta resolver a equação para com s : méd Eemplo Para o estado plao de tesão idicado, determie as tesões agido em um plao que está icliado de um âgulo de 5º o setido horário. 46 MPa 9 MPa MPa 5
17 Eemplo a) Tesão Normal: cos se ( 46) ( 46) cos 3 ( 3 ) ( 9) se( ) 3,6 MPa Eemplo b) Tesão de Cisalhameto se cos ( 46) se 3 ( 3 ) ( 9) cos( ) 3 MPa
18 Eemplo c) Tesão ormal o plao 9º: ' cos se ',4 MPa Eemplo d) Esboço:
19 Eemplo Para o estado plao de tesões idicado, determie: a) os plaos pricipais; b) as tesões pricipais; c) a máima tesão de cisalhameto e a correspodete tesão ormal. MPa 4MPa 5MPa Eemplo a) Plaos Pricipais: 5 MPa MPa 4 MPa 4 tg p,333 5 ( ) 53,3 e 33, 3 p p 6,56 e 6,56
20 Eemplo b) Tesões Pricipais:, ± ( ) 5 ( ) 5, ± 4 ± 5 ( má ) 7 MPa e ( mí ) 3 MPa Eemplo b) Esboço: cos 6,6 se 5 ( ) 5 ( ) cos 6,6 4 se 6,6 7MPa 3MPa 7MPa p 6,6º
21 Eemplo c) Tesão de Cisalhameto Máima: má ( ) 5 má 4 5 MPa ou má 7 ( 3) 5 MPa Eemplo c) Tesão ormal correspodete: méd c) Esboço: 5 MPa 5 ( ) tg,75 4 s s 36,87 e 43, 3 s 8,43 e 7,6
22 Eemplo c) Esboço: 7,6 se 5 ( ) se 7,6 4 cos 7,6 5MPa MPa cos 5MPa MPa s 7,6º.5 - Círculo de Mohr para Tesão Plaa cos se se cos Fazedo: méd e R e ( I ) ( II) ( II) ( I)
23 .5 - Círculo de Mohr para Tesão Plaa ( ) méd ( ) R méd Equação de um círculo de coordeadas e, raio igual a R e cetro ( méd, )..5 - Círculo de Mohr para Tesão Plaa Costrução do Círculo de Mohr: Sistema de eios (esboço o quadro); O cetro C tem as coordeadas ( méd, ); Poto A: Poto B: 9 AB diâmetro do círculo de Mohr e passa por C ;
24 .5 - Círculo de Mohr para Tesão Plaa Determiar as tesões em um plao cuja ormal faz um âgulo com o eio : Marca-se a partir de A o âgulo o setido atihorário. OF OC CM cos β R cos β MF CM se β R se β.5 - Círculo de Mohr para Tesão Plaa Fazedo: cos R R ( β ) e se ( β ) Acha-se: cos se cos se
25 .5. - Tesões Pricipais No círculo de Mohr, o maior valor para ocorre o poto P, ode a. O poto P represeta a tesão pricipal ( ), e o plao pricipal ( p ). O meor valor para ocorre em P, que é diametralmete oposto a P. Logo, o poto P represeta tesão pricipal ( ), e o plao pricipal ( p ) Tesões Pricipais Logo: OC CP OC CP cos( p) e se ( p) R R tg p p p 9 R R
26 .5. - Tesões de Cisalhameto Máimas No círculo de Mohr, as má positivas e egativas ocorrem os potos S e S, respectivamete. Estes potos estão a âgulos 9º dos potos P e P, cofirmado que. s p ± 45 Geometricamete má R méd Eemplo 3 Em um poto a superfície de um cilidro pressurizado, o material está submetido ao estado de tesões mostrado a figura. Usado o círculo de Mohr, determie: a) as tesões agido em um elemeto icliado a um âgulo 3º. b) Mostre o resultado em um esboço de um elemeto. MPa 9MPa 9 MPa MPa
27 Eemplo 3 ) Costrução do Círculo de Mohr. Esboço do Círculo de Mohr o quadro. OC 9 55 MPa R R 35 MPa 9 Eemplo 3 Poto A: Poto B: 9 MPa 9 MPa Para 3º, 6º Poto M Escala: MPa cm
28 Eemplo 3 Tesões o plao icliado 3º OC R cos cos6 7,5 MPa R se 35 se 3,3 MPa 6 - setido horário Eemplo 3 Na outra face perpedicular, poto M : ' OC R cos cos6 ' 37,5 MPa R se 3,3 MPa
29 Eemplo 3 b) Esboço 37,5MPa 3,3MPa 7,5MPa 3º Eemplo 4 Em um poto a superfície de um eio gerador, as tesões são mostradas a figura. Usado o círculo de Mohr, determie: a) as tesões agido em um elemeto icliado a um âgulo 45º; b) as tesões pricipais; c) as tesões de cisalhameto máima e as tesões ormais correspodetes; d) esboço do elemeto orietado corretamete. MPa 4MPa 5MPa 5 MPa MPa 4 MPa
30 Eemplo 4 Costrução do círculo de Mohr: Escala: MPa cm OC R Poto A Poto B 9 5 MPa 5 ( 4) 5 MPa 5 MPa 4 MPa MPa 4 MPa Eemplo 4 a) 45 9 OC R cos 36,87 5 cos36,87 6MPa R se 36,87 5 se 36,87 3MPa ati-horário R cos 36,87 OC 5 cos 36,87 MPa 3MPa horário MPa 3MPa 6MPa 45º
31 Eemplo 4 b) Tesões Pricipais: Poto P R OC 5 3 MPa Poto P R OC 5 7 MPa Eemplo 4 Plaos Pricipais e Esboço: ˆ p ACP 53,3 8 33, 3 p 6, 6 ˆ p ACP 53, 3 3MPa 7MPa 6,6º p 6, 6
32 Eemplo 4 c) Tesões de Cisalhameto Máimas: má Poto S e S má R má 5 MPa ˆ s ACS 53,3 9 43, 3 s 7, 6 s 9 6, 6 s OC MPa MPa 5MPa MPa 7,6º.6 - Lei de Hooke para Tesão Plaa Codições: Material homogêeo; Material isotrópico : mesmas propriedades em todas as direções. Deformações ormais em tesão plaa:,, z
33 .6 - Lei de Hooke para Tesão Plaa E E E z ν ν ; ; E E E z ν ν ; ; ; ; ; z.6 - Lei de Hooke para Tesão Plaa E E ν ( ) E ν ( ) z E ν G ( ) E ν
34 .6 - Lei de Hooke para Tesão Plaa e podem ser resolvidas para as tesões em termos das deformações: E ν ( ν ) E ν ( ν ) G E G ( ν ).7 - Tesão Triaial Cohecedo-se as tesões, e z, podem ser determiadas as tesões que atuam em plaos icliados paralelos aos eios, e z.
35 .7 - Tesão Triaial A) Plaos perpediculares ao plao e paralelo a z. cos se ( ) se.7 - Tesão Triaial B) Plaos perpediculares ao plao z e paralelo a. β cos β se z ( ) z se β β z
36 .7 - Tesão Triaial C) Plaos perpediculares ao plao z e paralelo a. z θ cos θ se θ z ( ) z se θ.7. - Círculo de Mohr para Tesão Triaial,, z > > z
37 .7. - Círculo de Mohr para Tesão Triaial Sedo, e z as tesões máimas de cada estado duplo de tesões, elas são tesões pricipais o elemeto. Logo: má mí z ( ) má ( ) má ( ) má z ± z ± z ± (o plao paralelo a z) (o plao paralelo a ) (o plao paralelo a ).7. - Lei de Hooke para Tesão Triaial E ν E z z ν E ν E E ν E E z ν z E E ( ) ( ) ( ) z z
38 .7. - Lei de Hooke para Tesão Triaial Estas equações podem ser resolvidas para as tesões em termos das deformações: ( ν ) ( ν ) [( ν ) ν ( )] E ( ν ) ( ν ) [( ν ) ν ( )] E z ( ν ) ( ν ) [( ν ) ν ( )] E z z z.8 - Estado Plao de Deformação Compoetes de deformação o plao :
39 .8 - Estado Plao de Deformação Um elemeto em deformação plaa ão possui deformação ormal z e de cisalhameto z e z., e z z z As equações para tesão plaa também podem ser usadas para tesões em deformação plaa. cosθ se θ se θ cosθ.8. - Equações para Deformação Plaa As equações para deformação plaa também podem ser usadas para as deformações em tesão plaa. O objetivo é determiar a deformação ormal e a deformação de cisalhameto associadas aos eios que são rotacioados o setido ati-horário através de um âgulo a partir dos eios.
40 .8. - Equações para Deformação Plaa a) Deformação Normal :.8. - Equações para Deformação Plaa O aumeto total d o comprimeto da diagoal é: d d cos d se d cos d ds d d cos se cos ds ds d ds
41 .8. - Equações para Deformação Plaa Como: d ds cos d ds se cos se se cos A deformação ormal a direção é obtida substituido por 9º Equações para Deformação Plaa b) Deformação de Cisalhameto A deformação de cisalhameto em relação aos eios e é igual à dimiuição o âgulo etre as lihas o material que estavam iicialmete em âgulos retos. θ θ β
42 .8. - Equações para Deformação Plaa Rotação da liha OA : d se ds d cos ds setido horário setido ati-horário 3 d se ds setido horário.8. - Equações para Deformação Plaa θ 3 d d θ se cos se ds ds d ds Sedo: d ds cos d ds se ( ) se cos se θ
43 .8. - Equações para Deformação Plaa Rotação da liha OB : 9 (setido horário positivo) ( ) se ( 9 ) cos ( 9 ) se ( ) β 9 ( ) se cos cos β.8. - Equações para Deformação Plaa θ β ( ) se cos ( cos se ) ( ) se cos ( cos se )
44 .8. - Equações para Deformação Plaa Sabedo que: cos ( cos ) se cos se Podemos escrever: se ( cos ) cos se se cos.8. - Equações para Deformação Plaa Comparado estas equações com as obtidas através das tesões plaas, verifica-se que: Assim as observações feitas para tesão plaa têm suas relações a deformação plaa. Por eemplo:
45 .8. - Deformações Pricipais tg p, ± As deformações de cisalhameto são zero os plaos pricipais Deformações de Cisalhameto Máimas Estão associadas aos eios icliados a 45 em relação às direções das deformações pricipais. má tg s mí má
46 Deformações de Cisalhameto Máimas Nas direções de deformação de cisalhameto máima, as deformações ormais são: méd Em um dado poto de um corpo tesioado, as deformações pricipais e as tesões pricipais ocorrem as mesmas direções Círculo de Mohr para Deformação Plaa É costruído da mesma maeira que o círculo para tesão plaa. R C méd ESBOÇO NO QUADRO
47 Eemplo 5 Um elemeto em deformação plaa está submetido às seguites deformações: 34-6, -6, 8-6. Determie: a) as deformações para um elemeto orietado a um âgulo 3º; b) as deformações pricipais; c) as deformações de cisalhameto máimas; d) faça esboços de elemetos orietados de forma apropriada. Eemplo 5 a) Orietado a um âgulo 3 : cos se 6 6 ( 34 ) ( 34 ) cos ( 3 ) 8 6 se 36 ( 3 ) 6
48 Eemplo 5 se cos 6 ( 34 ) se ( 3 ) 8 6 cos ( 3 ) 6 Eemplo ESBOÇO: 9µ µ 3º 36µ
49 Eemplo 5 b) Deformações pricipais:, ±, 6 ( 34 ) ( 34 ) ± Eemplo 5 tg p 8 tg 34 p,786 p p 38, e 8, 9 e 9
50 Eemplo 5 cos se 6 p / p / 9 8 ESBOÇO: 8µ 37µ plaos pricipais 9º Eemplo 5 c) Deformação de Cisalhameto Máima: má 46 6 má 9 6
51 Eemplo 5 tg s,78 s 5,95 e 8, 5 s 5,98 e 64 Eemplo 5 se p / 5, cos p / 64 9, 5 méd 6 6 ESBOÇO: 5µ 9µ 64º 5µ
52 Eemplo 6 Uma roseta de 45 é fiada em um poto da superfície da estrutura ates de ser carregada. Depois de carregada os medidores mediram as seguites deformações: a 4µ, b 98µ e c 33µ. Usado os eios idicados, determie: a) as deformações, e ; b) as deformações pricipais; c) a deformação de cisalhameto máima. Eemplo 6 a) Deformação, e : 4µ a e c 33µ cos se p / 45 b b a c
53 ou Eemplo 6 b µ a cos c ( 45 ) se ( 45 ) 59 µ Eemplo 6 b) Deformações Pricipais:, ±, 4 33 ± , 85 ± 88, 993, µ e 63, µ
54 Eemplo 6 59 tg p 5, p 79,66 e, 34 p 39,83 e 5, 7 p / 5,7 993, µ ESBOÇO: 63,µ 5,7º 993,µ Eemplo 6 c) Deformação de Cisalhameto Máima: má má 66, 3µ tg s,8 s,34 e 9, 34 88, µ s 5,7 e 95, 7
55 Eemplo 6 p / 5,7 66, 3µ p / 95,7 66, 3µ 85µ, ESBOÇO: 85µ 66,3µ 85µ 5,7º Eemplo 7 Para o elemeto em estado plao mostrado a figura abaio, foram medidas as deformações: 35-6, -3-6, z -3-6 e má Pede-se: a) os valores de, e ; b) a deformação Adote: E MPa e ν,3
56 Eemplo 7 a) E ( ν ) 35 ( ν ) 6,3,7 ( I) 6,3 ( ) 3 ( ) ν z E,MPa,MPa, ( II) Eemplo 7 má G má E G ( ν ) (,3 ) má 7, , 5 MPa 7,69MPa má má má,5 MPa
57 Eemplo 7 b) E ( ν ) (,,3,) 35 6
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