Os testes da Comparação, Raiz e Razão e Convergência absoluta

Transcrição

1 Os testes da Comparação, Raiz e Razão e Covergêcia absoluta Prof. Flávia Simões AULA 4

2 Os testes de Comparação Comparar uma série dada com uma que já sabemos se coverge ou diverge. Usamos geralmete as p-séries ou séries geométricas.

3 O Teste da Comparação Supoha que a e b sejam séries com termos positivos (i) Se b for covergete e a b para todo, etão a também será covergete. (ii) Se b for divergete e a b para todo, etão a também será divergete Obs : Não é preciso que seja para todo, estamos iteressados a parte ifiita, e portato, basta que seja a partir de um N.

4 O Teste da Comparação - Exemplo Determie se a série = 1 l coverge ou diverge. l >1, >3 l > 1, >3. Sabemos que a série harmôica diverge por defiição e por ser uma p série de p =1. Logo, pelo teste da comparação = 1 l diverge.

5 O Teste da Comparação ATENÇÃO!!! O teste da comparação deve ser utilizado com séries meores (termo a termo) do que uma série covergete ou maiores que uma série divergete. Em um caso diferete, ão podemos determiar ada com esse teste!

6 O Teste da Comparação o limite Supoha que a e b sejam séries com termos positivos. Se, lim a b =c Em que c é um úmero fiito e positivo, etão ambas as séries ou covergem ou divergem.

7 O Teste da Comparação - Exemplo 1 Teste se =1 2 1 é divergete ou covergete. a = b = 1 2 Assim, lim a = lim b =lim =lim =1>0 2 Logo, pelo teste da comparação o limite, temos que 1 = já que 1 =1 2 o é.

8 O Teste da Comparação o limite (variações) Supoha que a e b sejam séries com termos positivos e b covergete. Se, lim a b =0 Etão a também é covergete.

9 O Teste da Comparação o limite (variações) Supoha que a e b sejam séries com termos positivos e b divergete. Se, lim a b = Etão a também é divergete.

10 O Teste da Comparação Exercício Se a for uma série covergete com termos positivos, é verdade que se a também será covergete? Como a é covergete com termos positivos e lim a = 0 (pelo teorema aterior ao teste para divergêcia). Seja b = se (a ) que é uma série de termos positivos. lim b = lim a se (a ) a =1>0 Logo, pelo teste da comparação o limite, b = se (a ) também é uma série covergete.

11 O Teste da Comparação Exercício Se a e b forem séries covergete com termos positivos, é verdade que a b também será covergete? Como a é covergete com termos positivos e assim, lim a = 0 Portato, para algum N, teremos que a <1, > N. Teremos assim : =1 =1 N a b = = 1 N a b < = 1 a b + N +1 a b a b + b. N + 1 N =1 a b coverge pois é fiita e b também coverge por hipótese. N + 1 Logo, pelo teste da comparação, a b coverge pois é meor que uma série que coverge.

12 Covergêcia Absoluta Temos testes de covergêcia para séries de termos positivos (teste de comparação e da itegral). Neste tópico, veremos como observar se uma série é covergete mesmo se houver termos egativos.

13 Covergêcia Absoluta - Defiição Uma série a é dita absolutamete covergete se a série de valores absolutos a = a 1 + a a +... for covergete. Uma série a é chamada codicioalmete covergete se ela for covergete, mas ão for absolutamete covergete. Observe que, se a for uma série de termos positivos, etão covergêcia e covergêcia absoluta são a mesma coisa. TEOREMA : Se uma série a for absolutamete covergete, etão ela é covergete.

14 Covergêcia Absoluta - Exemplo A série = 1 ( 1) 1 2 é covergete? Se mostrarmos que é absolutamete covergete, teremos que a série será covergete. ( 1) 1 = 1 = =1 = 1 2 = 1 2 que é uma p série de p= 2>1. Logo, é covergete.

15 Covergêcia Absoluta - Exemplo Determie se a série cos é covergete ou divergete. = 1 2 Veja que há termos egativos e positivos. Assim, teremos que usar a covegêcia absoluta. cos = 1 = cos 2 = 1 2 Mas, cos 1 2,. 2 Mas, 1 é uma p série de p=2>1, e portato, covergete. 2 Logo, pelo Teste da Comparação temos que cos é covergete. =1 2 Como a série cos é absolutamete covergete, etão ela é covergete. = 1 2

16 O Teste da Razão (i) Se lim a +1 a = L <1, etão a série a é absolutamete covergete. (ii) Se lim a + 1 = L >1, ou se lim a a +1 a =, etão a série a é divergete. (iii) Se lim a +1 = 1, o Teste da Razão é icoclusivo. a

17 O Teste da Razão - Exemplo Teste a série 3 ( 1) quato a covergêcia absoluta. = 1 3 Usaremos o Teste da Razão : = ( 1) +1 ( +1) 3 a = a ( 1) 3 3 ( +1) = ( +1 3 ) = 1 3 ( ) 1 3 <1 Pelo Teste da Razão a série é absolutamete covergete e, portato, covergete.

18 O Teste da Raiz (i) Se lim (ii) Se lim (iii) Se lim a = L <1, etão a série a é absolutamete covergete. a = L >1, ou se lim a = 1, o Teste da Raiz é icoclusivo. a =, etão a série a é divergete. Obs.1 : Se L=1 o Teste da Razão, ão precisa tetar o da Raiz, pois também será 1. Obs.2 : O Teste da Raiz é idicado para séries com potêcias de.

19 O Teste da Raiz - Exemplo Teste a covergêcia da série = 1 ( ). a =( ) a =( )= <1 Etão a série dada coverge pelo teste da raiz.