Medidas, integração, Teorema da Convergência Monótona e o teorema de Riesz-Markov

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1 Medidas, itegração, Teorema da Covergêcia Moótoa e o teorema de Riesz-Markov 28 de Agosto de Defiições de Teoria da Medida Seja (Ω, F, ν) um espaço de medida: isto é, F é σ-álgebra sobre o cojuto Ω e ν é medida σ-aditiva sobre F. Defiição 1. Seja f : Ω R. Dizemos que f é F-mesurável se para qualquer itervalo I R temos f 1 (I) F. Exercício 1. Mostre que para qualquer f: G {U R : f 1 (U) F} é σ-álgebra. Use isto para provar que f : Ω R é mesurável se e somete se: O O : f 1 (O) F, ode O é qualquer uma das seguites coleções de subcojutos de R. 1. todos os itervalos fechados; 2. todos os cojutos da forma [, r] com r R; 3. todos os cojutos da forma (r, + ] com r R; 4. todos os itervalos da forma [, α) e (β, + ], com 0 < α, β < +. Exercício 2. Mostre que o limite crescete de fuções mesuráveis é mesurável. [Dica: se f f, f 1 (r, + ] f 1 (r, + ].] Vamos defiir agora o que é uma fução F-simples. Estas fuções são importates porque a itegral de Teoria da Medida é defiida a partir dela. 1

2 Defiição 2. φ [0, + ] Ω é dita F-simples se existem α 1, α 2,..., α R\{0} e A 1,..., A νf com: φ = α i I Ai. A itegral de φ 0 é defiida por: φ dν α i ν(a i ). Exercício 3. Mostre que esta itegral é bem-defiida e aditiva. Exercício 4. Mostre que toda f 0 F-mesurável é o limite crescete de fuções F-simples ão-egativas. A defiição de itegral em Teoria da Medida, para f 0 F-mesurável, é: { } f dν sup φ dν : 0 φ f F-simples. Exercício 5. Mostre que se f g 0 e tato f quato g são F-mesuráveis, f dν g dν. 1.1 Relação com teoria abstrata Aqui supomos que F e ν são costruídas a partir de uma itegral abstrata I : H R sobre um espaço padrão de fuções H, seguido a costrução abstrata (Daiell). Lembramos a seguite proposição abstrata. Proposição 3. Para qualquer seqüêcia {f } H + com f f R Ω, I(f ) f. Se f(ω) < + para todo ω e f < +, etão temos aida f H e I(f) = lim I(f ). Agora faremos a coexão etre a itegral abstrata e a itegral de medida. Nossos objetivos serão mostrar que: 1. as fuções mesuráveis 0 coicidem com os limites crescetes de seqüêcias em H + ; 2. a itegral f dν coicide com f. logo f dν = I(f) sempre que f H ou (equivaletemete) f dν < +. as fuções em H são F-mesuráveis. 2

3 Proposição 4. Toda fução em H é F-mesurável. Prova: [da Proposição] Vamos mostrar que g H, {g > 0} {ω Ω : g(ω) > 0} F. (1) Veja que isto mostra que {f > β} f 1 ((β, + ]) F para todo β > 0 e f H, pois: {( f {f > β} = β f ) } β 1 > 0 e g f/β (f/β) 1 H. Do mesmo modo, {f < α} = { f > α} F sempre que α > 0. Pelo exercício aterior a esta prova, deduzimos isto implica que f é mesurável. Para provar (1), fixe h H +. Observe: I {g>0} h = lim ({(g 0)]} 1) h Os termos da sequêcia do lado direito estão em H porque g está e este espaço é padrão, logo fechado por máximos, míimos e míimos por 1. Além disso, veja que esta sequêcia é crescete. Deduzimos que I {g>0} h é limite crescete de sequêcia de fuções em H +. Observe aida que I {g>0} h h < + porque h H + e a semiorma é moótoa. A Proposição 3 implica que I {g>0} h H, o que implica {g > 0} F porque h H + é arbitrária. [Fim da prova da proposição.] Proposição 5. Uma fução F-simples φ 0 está em H + se e somete se φ < +. Além disto, φ = φ dν. Prova: O somete se é evidete. Para provar o se, seja φ uma fução F-simples, que toma um úmero fiito de valores diferetes de 0: Observe que: 0 < α 1 < α 2 < α 3 < < α. φ α i I {αi φ<α i+1 }. Como φ é F-mesurável, cada cojuto {α i φ < α i+1 } está em F. Além disto, φ α i I {αi φ<α i+1 } I {αi φ<α i+1 } φ α i. 3

4 Se φ < +, temos ν{α i φ < α i+1 } < + e portato I {αi φ<α i+1 } H +. Como isto vale para todo 1 i, deduzimos que φ é combiação liear com coeficietes positivos de fuções de H +. Logo φ também está em H +. Para termiar, a liearidade de I e a defiição de itegral de medida implicam: φ = I(φ) = α i I(I {αi φ<α i+1 }) = α i ν{α i φ < α i+1 } = φ dν. i i Por outro lado, se φ = +, é trivial verificar a Proposição. Teorema 6. Uma fução f 0 mesurável satisfaz: f dν = f. Alé disto, f H + se e somete se f < +, e este caso f dν = f = I(f). Prova: Já provamos que f H + implica f mesurável. Agora vamos mostrar que f H +, I(f) = f dν. Para isso começamos escolhedo uma sequêcia de fuções simples 0 φ 1, φ 2, φ 3, f com φ dν f dν; isto existe pela defiição de itegral de Medida como sup. Escolha aidaoutra sequêcia de fuções F-simples {u } com u f, a qual existe porque f é mesurável. Para cada, os garate que φ, u H, pois: φ u f = I(f) < +. Se tomamos f = u ( φ i), vemos que: 1. Para todo, f H +, pois f é o máximo de + 1 fuções em H + ; 2. {f } H é seqüêcia crescete (óbvio); 3. f f, pois u f e u f f para cada ; 4

5 4. f, dν f dν porque φ, dν f, dν f, dν e φ, dν f, dν; 5. por fim, f, dν = I(f ) para cada, pois f é F-simples e tem itegral fiita (logo podemos aplicar Proposição 5). A Proposição 3 os garate que I(f ) I(f), mas o que vimos acima também os diz que I(f) = f dν, CQD. O que já provamos garate que f H + f dν = f = I(f). Se f H +, é fácil provar o mesmo resultado mostrado que há fuções simples f f com I(f ) = f dν f dν. Logo f = f dν = + este caso. Mostrar que f H + f < + é trivial. Exercício 6. Deduza da prova do teorema aterior que vale o seguite teorema. Se f : Ω [0, + ] é F-mesurável, etão existe uma sequêcia de fuções simples: 0 φ 1 φ 2 φ 3 f com φ j f e φ j dν f dν. 2 O teorema da covergêcia moótoa Vamos agora euciar um dos pricipais teoremas de Teoria da Itegração. Teorema 7 (Covergêcia moótoa). Seja (Ω, F, ν) um espaço de medida. Supoha que 0 f f formam uma sequêcia de fuções F-mesuráveis. Etão f dν f dν. Prova: Vamos provar este teorema separado dois casos. Caso 1: ν é obtida de uma itegral abstrata. Ou seja, f dν = f ode é a semiorma defiida a partir do fucioal I um espaço padrão H e F, ν são obtidas a partir de H e I. Temos duas possibilidades: 5

6 se f = + para algum, etão a covergêcia é óbvia, pois 0 f f +1 f e a semiorma é moótoa. se f < + para todo, etão todas as f estão em H + e, pela Proposição 3 f = lim I(f ) = lim f. Caso 2: ν ão é obtida de uma itegral abstrata. Neste caso imitaremos a prova que já vimos da cotiuidade de I por limites crescetes. Suporemos que sup f dν < +, pois o outro caso tudo segue da mootoicidade da itegral. Note que a existêcia de lim f dν e o fato que este limite é f dν são cosequêcias da mootoicidade da itegral. Logo resta provar que: Objetivo: f dν lim f dν, e para isso basta ver que φ dν lim f dν para qualquer 0 φ f que seja F-simples. Escreva φ = m α ii Ai com A i F. Escolha 0 < c < 1 e defia: B {f > c.φ}. Observe que é simples e satisfaz lim + c.φ.i B dν = lim c.φ.i B = m m c.α i I Ai B c.α i ν(a i B ) = m c.α i ν(a i ) = c. φ dν, já que: B B {f > c.φ} = Ω ν(a i B ) ν(a i ) (1 i m). (aqui usamos que c.φ < f sempre, já que f φ e 0 < c < 1.) Por outro lado, para cada N, 0 c.φ.i B f. 6

7 Logo N : c.φ.i B dν f dν. Tomado limites, descobrimos que: c. φ dν lim e madado c 1, verificamos que φ dν lim f dν f dν para qualquer 0 φ f simples. 3 Exercícios Exercício 7. Prove que as fuções mesuráveis são fechadas por somas, produtos, limites superior e iferior, supremos (de cojuto eumerável) e ífimos (de cojuto eumerável). [Isto é, faça todos os exercícios possíveis a este respeito.] Exercício 8. Seja {f } N uma sequêcia de fuções F-mesuráveis. Prove que o cojuto: L {ω Ω : lim N f (ω)} é mesurável. Prove aida que existe f mesurável que vale lim f em L e 0 fora deste cojuto. Exercício 9. Mostre que a itegral de f : [0, 1] R cotíua segudo a medida de Lebesgue é a itegral de Riema usual.[dica: dada uma partição de [0, 1], prove que as somas superior e iferior correspodem a sequêcias de fuções simples que covergem mootoamete a f.] Exercício 10. Prove que ão vale em geral o aálogo do Teorema da Covergêcia Moótoa ode f f. 7