Matemática II 28 de Junho de 2010

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1 Matemática II 8 de Juho de 00 Eame UCP Gestão/Ecoomia Duração: h0m Perguta Cotação,5,5,5,5,5,5,5,5 GRUPO I. Calcule a derivada o poto P (, 4) da fução z(, y) log y a direcção do vector z.. Calcule aproimadamete o valor de 0,0 5e,0. ( Sugestão: utilize o coceito de diferecial) GRUPO II. Determie e classifique (se eistirem) os potos de estacioaridade da fução f (, y, z) yz se y z. 4. Seja mi f (, y) y y defiida o domíio y y 0. a. Idique as codições de Kuh-Tucker. b. Resolva graficamete o problema aterior. GRUPO III 5. Cosidere a série fucioal seguite: 6.. (4 4 )( ) a. Determie o domíio de covergêcia da série. b. Cosidere e determie a soma da série umérica correspodete.

2 6. Estude a covergêcia simples/absoluta das séries: se( ) a. b. ( ) (4 ) 5 GRUPO IV 7. Cosidere o seguite problema de programação liear (P): com a. Escreva a formulação a forma stadard (de forma a poder usar o algoritmo do simple). b. Utilize o algoritmo do simple e o método do big-m para resolver este problema. c. Escreva o problema dual de P. d. Usado os desvios complemetares determie a solução óptima do problema dual de P. 8. Uma refiaria de petróleo produz Gasolia e Gasóleo a partir de dois tipos de petróleo bruto. Na seguite tabela idicam-se as quatidades (em barris) de cada um dos produtos fiais que são obtidas a partir de um barril de cada um dos tipos de petróleo bruto, bem como o custo (por barril) de cada um dos tipos de petróleo bruto: Gasolia Gasóleo Custo por barril Petróleo bruto A Petróleo bruto B a. A refiaria pretede obter pelo meos 600 barris de Gasolia e 00 barris de Gasóleo o mês de Julho. Que quatidades de cada um dos tipos de petróleo bruto devem ser adquiridas de forma a miimizar a despesa da refiaria? Formule este problema em Programação Liear. Eplique o sigificado das variáveis, restrições e fução objectivo que cosiderar. b. Supoha agora que a refiaria tem a possibilidade de comprar gasolia e gasóleo a uma outra empresa (como alterativa à produção) ao preço de 00 por barril para a gasolia e 80 por barril para o gasóleo. No etato esta empresa requer que a quatidade de gasolia vedida à refiaria seja pelo meos o dobro da quatidade de gasóleo. Altere a formulação para cotemplar esta situação.

3 Resolução do Eame de Matemática II (8 de Juho de 00). As derivadas parciais de z(, y ) são, em P : GRUPO I z 6 z y 8, P y 5 y y P 5 e o gradiete será etão z (,4). P 5 z Uma forma epedita de calcular a derivada pedida é calcular o módulo do gradiete de z em P P z z P Alterativamete, como o versor da direcção é z 5 4 v (,4), (cos,cos ) z fica z z z cos cos. y P P P. Tem-se f 5e f y, 5e y y 5e y. O diferecial de f (, y ) é df 5e d y dy 5e y Fazedo 0, d e 00 y, y dy fica e f (0,0;,0) f (0,) f 9 0 5e

4 GRUPO II. f (, y, ) yz. Seja L(, y, z, ) yz ( y z ). As codições de estacioaridade sujeitas á codição dada são: L yz 0 yz 0 yz yz L z 0 z 0 z yz 0 z( y) 0 y y 0 y yz 0 y( z) 0 L y 0 y z y z y z z y z A) 0 z 0 y 0 0 z 0 B) z 0 y 0 y 0 C) y 0 z yz y y D) z z portato 0: A(,0,0), B(0,,0), C(0,0,) : D(,,) 0 0 z y z 0 y 0 z 4 yz ( y z) em A, 0, 9 Poto de Sela em B, 0, 9 Poto de Sela em C, 6, 9 Poto de Sela em D,, Poto de Máimo fma f(,,) (ão era ecessário calcular o máimo)

5 4. Seja mi f (, y) y y defiida o domíio y y 0. ma( f (, y)) y y a. Seja F(, y) y y ( y ). As codições de Kuh-Tucker são: F 0 F y y(y y) 0 y F ( y ) 0 F y,, 0 F 0 y b. Resolução gráfica ( y y ) K y K 4 Família de circuferêcias de cetro C 0, fmi f(,0) 0

6 5. a (4 4 )( ) (4 4 ) S. MOD. Usado o critério de Cauchy sobre a série de módulos: lim 6. (4 4 ) e para que seja covergete:,, Se a série fica: ( ) S. MOD. (4 4 )( ) (4 4 )( ) () Compara-se etão com que é uma série covergete: lim lim 0, como é fiito e diferete de zero, as séries comparadas têm a mesma atureza, portato a série de módulos é covergete e a série em estudo é Absolutamete Covergete. Se a série fica : (4 4 )() (4 4 ) 4 4 que é a série já estudada acima, o que permite cocluir que é covergete. Portato o domíio de covergêcia é,,.

7 b. A B com A, B / / etão Megoli p lim a. se( ) S. MOD. se ( ) se( ) cov. cov. (*) (*) lim lim 0, como é fiito e diferete de zero, as séries comparadas têm a mesma atureza, portato a série é covergete. Portato a série de módulos é covergete e a série em estudo é Absolutamete Covergete.

8 b. ( ) (4 ) ( ) (4 ) Compara-se etão com / que é uma série covergete: 4 4 (4 ) 4 lim lim lim lim 0, / como é fiito e diferete de zero, as séries comparadas têm a mesma atureza, portato a série é covergete. 7. a. ma z M 5 s.a b ma L ML z 0 0 M L ( M ) L z M 0 M 0 M L L L 0 () 0 L L z 0 0 M 4 L 0 () 4 L L 0 0 z Sol. Óptima: é (, ) = (0, 6) com z =

9 c. variáveis duais: u, u. mi w 6u u s. a u u u u 0, u 0 ou mi w 6u u s. a u u u u 0, u 0 d. 6 0 u u u 0 Logo, a solução óptima do problema dual é (u, u ) = (, 0) com w =. 8. a. A : quatidade de petróleo bruto de tipo A a adquirir (barris) B : quatidade de petróleo bruto de tipo A a adquirir (barris) ma A s.a 0,7 0,4 600 A 0, 0,5 00 A A B B miimizar custos de aquisição de matérias primas as quatidades de matérias primas adquiridas devem ser suficietes para cobrir os requisitos degasolia egasóleo 0 0 B B adquirir quatidades ão egativas b. C : quatidade de gasolia a comprar (barris) D : quatidade de gasóleo a comprar (barris) ma A B C D s.a 0,7 0,4 600 A B C 0, 0,5 00 A B D A B C D C 0 D quatidade adquirida de gasolia pelo meos o dobro da de gasóleo