Exercícios de DSP: 1) Determine se os sinais abaixo são periódicos ou não e para cada sinal periódico, determine o período fundamental.

Transcrição

1 Exercícios de DSP: 1) Determie se os siais abaixo são periódicos ou ão e para cada sial periódico, determie o período fudametal a x[ ] = cos( 0,15 π ) 1 18 b x [ ] = Re{ e } Im{ } jπ + e jπ c x[ ] = se( π+ 0,) j 16 d x [ ] = e π cos( π ) 17 R: a) periódico N=16, b) periódico N=7, c) seqüêcia ão periódica, d) periódico N=544 ) Dada a seqüêcia x [ ] = ( 6 ) u ( ) u ( 6) de: a y1[ ] = x( 4 ) b y[ ] = x( 3) c y3[ ] = x( 8 3) d y4[ ] = x( + 1), faça os gráficos 3) A potêcia de um sial de valor real x[ ] é defiida como a soma dos quadrados dos valores da seqüêcia: =+ P= x [ ] = Supoha que uma seqüêcia x[ ] teha uma parte par x [ ] igual a x [ ] e 1 = a potêcia da parte ímpar o [ ] R: Po= 5/3 Se a potêcia de x[ ] for P=5, ecotre x de [ ] 3 x 3) Cosidere a seqüêcia x[ ] = u( ), a ecotre o valor umérico de A x [ ] b calcule a potêcia de x[ ] c se [ ] = x for a etrada de um sistema variate o tempo defiido por y [ ] = x [ ], ecotre a potêcia do sial de saída R: a) A=3; P=9/5; P=468/15 4) Expresse a seqüêcia x [ ] 1 =0 =1 = 3 = 0 demais casos = como uma soma de degraus uitários escalados e deslocados R: x[ ] = u( ) + u( 1) + u( ) 3u( 3) 5) Determie quais dos sistemas abaixo são lieares: e

2 log( ) a y [ ] = x [ ] b y [ ] = x [ + ] + x [ + ] + x [ ] + c y[ ] = 6 x[ ] + ( x[ + 1] x[ 1)/ ] x[ ] d y [ ] = xse [ ] ( π ) Re{ } e y [ ] = x [ ] 1 * f y [ ] = ( x [ ] + x[ ] ) a) ão liear, b) ão liear, c) ão liear, d) ão liear; e) ão liear; f) ão liear 5) Determie se cada um dos seguites sistemas é ivariate ou ão ao deslocameto: a y [ ] = x [ ] + x [ 11] + x [ ] b y [ ] = xu [ ] [ ] c y [ ] xk [ ] = k = d y [ ] = x e y [ ] = x[ ] R: a) ivariate ao deslocameto; b) variate ao deslocameto; c) ivariate ao deslocameto; d) variate ao deslocameto; e) variate ao deslocameto; 6) Um sistema liear de tempo discreto é caracterizado por sua resposta hk [ ] a um amostra uitária retardada δ( k) Para cada sistema liear determie se o mesmo é ivariate ao deslocameto a hk [ ] = ( k) u[ k] b hk [ ] =δ( k) δ ( k 1) k par c hk [ ] = 5u [ k ] k impar R: a) ivariate ao deslocameto; b) variate ao deslocameto; c) variate ao deslocameto 7) Cosidere um sistema cuja saída y[] relacioa-se com a etrada x[] por y[ ] = x[ k] x[ k] Determie se o k = sistema é a) liear; b) ivariate ao deslocameto; c) estável e d) causal; R: a) ão liear; b) variate ao deslocameto; c) istável; d) ão é causal 8) Sabedo que x[] é a etrada do sistema e y[] é a saída, quais dos sistemas são causais? a y [ ] = x[ u ] [ ]

3 b y [ ] = x c y [ ] = x [ ] + x [ 3] + x [ 10] d y [ ] = x [ ] + x e y[ ] = x[ k] k= 1 f y [ ] = x [ k] k= R: a) causal, b) ão causal; c) causal; d) ão causal; e) causal; f) ão causal 9) O primeiro valor diferete de zero de uma seqüêcia x[] de comprimeto fiito ocorre o ídice =-6 e tem valor x[-6]=3 e o último valor diferete de zero ocorre o ídice =4 e tem valor x[4]=-4 Qual é o ídice do primeiro valor diferete de zero da covolução y[ ] = x[ ] * x[ ] e qual o seu valor? Que pode ser dito sobre o último valor diferete de zero? R: y[-1]=9; y[48]=16 10) Ecotre a covolução das duas seqüêcias de comprimeto fiito: x [ ] = 0,5 u ( [ ] u [ 6 ]) π h [ ] = se ( u [ + 3] u [ 4] ) R: y[-,-1,,8,]=[1,,,,3,-,-3,,,-4,- 5,0,0,] 11) Demostre a propriedade comutativa da covolução 1) Demostre a propriedade distributiva da covolução 13) Faça a covolução de x[ ] = ( 0,9) u[ ] com uma rampa h [ ] = u [ ] R: y [ ] = ( 0,9) u [ ] 14) A correlação de duas seqüêcias é uma operação defiida pela relação: x[ ] h[ ] = x( k) h[ + k] k= a) Ecotre a correlação etre a seqüêcia x [ ] = u [ ] u [ 6] e h [ ] = u [ ] u [ 5] b) Ecotre a correlação etre a seqüêcia x[ ] =α u[ ] cosigo mesma (autocorrelação de x[]) Cosidere α< 1 R: a) c[-4]=0, c[-3]=1, c[-]=, c[-1]=3, c[0]=3, c[1]=3, c[]=3, c[3]=, c[4]=1, c[5]=0, 1 b) rx [ ] = α 1 α

4 14) Cosidere um sistema descrito pela equação de difereças y [ ] = y [ 1] y [ ] + 0,5x [ ] + 0,5x Determie a resposta desse sistema a etrada x[ ] = ( 0,5) u[ ] com as codições iiciais: y[-1]=0,75 e y[-]=0,5 15) Um sistema de seguda ordem é descrito pela equação de difereças liear com coeficietes costates: 3 1 y [ ] = y [ 1] y [ ] + x [ ] x 4 8 a Determie a resposta h[] desse sistema à amostra uitária b Determie a resposta do sistema à etrada x [ ] = u [ ] u [ 10] com codições iiciais iguais a zero c Determie a resposta do sistema à etrada 1 x[ ] = u[ ] com codições iiciais iguais a zero 1 1 R: a) h [ ] = + 3 u [ ], b) y u u 4 4 [ ] = [ ] [ 10], c) y u 4 [ ] = [ ] 16) Cosidere um sistema liear ivariate o tempo (LTI) com resposta ao impulso h[] Se a etrada é uma seqüêcia periódica x[]=x[+n], mostre que a saída y[] é também uma seqüêcia periódica com período N 16) Um sistema LTI tem a resposta ao impulso 1, 0 h [ ] = = u [ ] Determie a resposta desse sistema a 0, <0 etrada x[] descrita como: [ ] 0, <0 a, 0 N1 x = 0, N<<N 1 + 0, N + N1 < N a, N <<N N1 R: 17) Cosidere a seguite equação liear de difereças com coeficietes costates: y [ ] = 3 y [ 1] 1 y [ ] + x 4 8 Determie y[] quado x[]=δ[] e y[]=0 para <0 1 1 R: hk [ ] = 8 u [ ] + 8 u [ ] 4 18) Cosidere um sistema com a etrada x[] e saída y[] que satisfaz a equação de difereças y[ ] = y + x[ ] O sistema é causal e satisfaz as codições iiciais, ou seja, se x[]=0 para < o etão y[]=0 para < o a Se x[]=δ[] determie y[] para todos os

5 b O sistema é liear? Justifique! c O sistema é ivariate o tempo? Justifique! R: Uma vez que o sistema é causal podemos recursivamete calcular a resposta a qualquer etrada Supoha x[]=δ[], etão y[]=0 para <0 y[0]=1; y[1]=1; y[]=; y[3]=6; y[4]=4 ou y[]=h[]=!u[] aplicado o teorema da superposição com x[]=aδ[]+bδ[] podemos mostrar que o sistema é liear c cosiderado a etrada x[]=δ[-1] Como o sistema ~e recursivo temos: y[0]=0 para <0 y[0]=1; y[1]=1; y[]=; y[3]=6; y[4]=4 utilizado h[] de a): h[-1]=(-1)!u[-1] y[] x[]=δ[-1] ou seja ão é ivariate o tempo 19) Um sistema LTI causal é descrito pela seguite equação de difereças: y [ ] = 5y [ 1] 6y [ ] + x a Determie a resposta homogêea do sistema, ou seja, as possíveis saídas se x[]=0 para todos os b Determie a resposta ao impulso do sistema c Determie a resposta ao salto do sistema R: a) [ ] 1( ) yh = A + A( 3) b) h [ ] = ( ) u [ ] + ( 3 ) u [ ] c) y [ ] = u [ ] 4( ) u [ ] + 3( 3 ) u [ ] j 0) a Determie a resposta em freqüêcia H ( e ω ) de um sistema LTI cuja etrada e saída satisfazem a equação de difereças: y [ ] = 1 y + x [ ] + x + x [ ] b Escreva a equação de difereças que caracteriza a resposta em freqüêcia do sistema: jω ( ) H e 1 jω j3ω 1 e + e = 1 jω 3 jω 1 e + e 4 j jω 1+ e + e H e = 1 jω 1 e R: a) ( ) ω jω

6 b) y [ ] = y [ 1] y [ ] + x [ ] + x + x [ 3]