Análisede sistemalit no domínioz
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- Maria do Mar Furtado Prada
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1 álisede sistemalit o domíioz
2 RESPOST DE SISTEMS COM FUNÇÃO DE SISTEM RCIONL B H X N Q maior arte dos siais de iteresse rático tem trasformada Z racioal. Se o sistema é iicialmete relaxado, y-y-...y-n, a trasformada Z de saída do sistema tem a forma: Y H X B N Q O sistema, H, cotém olos simles,,..., N. O sial de etrada, X, cotém olos q, q,..., q N. q m ara todo,,...,n e m,,...,l. ssumimos que os eros do oliômio do umerador, B e N, ão coicide com os olos { } e { q } ão havedo cacelameto olo-ero.
3 RESPOST DE SISTEMS COM FUNÇÃO DE SISTEM RCIONL Fução de olos do sistema e é chamada de resosta atural do y Trasformada iversa : u q Q u q Q Y L N N N Fução de olos do sistema e é chamada de resosta atural do sistema. é a ifluecia do sial de etrada esta arte da resosta. Fução de olos q do sial de etrada e é chamada de resosta forçada do sistema. Q é a ifluecia do sistema esta arte da resosta. Quado X e H tem um ou mais olos em comum ou quado X e/ou H cotém olos de multila ordem, etão Y terá olos de multila ordem.
4 RESPOST TRNSIENTE E DE ESTDO ESTCIONÁRIO resosta de estado-ero de um sistema ara uma etrada dada ode ser searada em dua comoetes. N Resosta atural yr u ode,,...,n são olos do sistema e são fatores de escala que deedem das codições iiciais e das características da sequecia de etrada. Se < ara todo, etão, y r decai a ero quado se aroxima-se do ifiito. Neste caso, os referimos a resosta atural do sistema como a resosta trasiete. taxa em que y r decai ara ero deede da magitude da osição do olo. Se todos os olos tem magitude equea, o decaimeto é muito ráido. Se um ou mais olos estam localiados erto do circulo uitário, y r de cairá letamete ara ero e o trasiete ersistirá or um relativamete logo eríodo.
5 RESPOST TRNSIENTE E DE ESTDO ESTCIONÁRIO resosta forçada do sistema é dada or y fr Q q u ode q são olos da fução forçada e Q são fatores que deedem da sequecia de etrada e das características dos sistema. Se todos os olos do sial de etrada caem detro do circulo uitário y fr decairá ara ero quado aroximar-se do ifiito, como o caso da resosta atural. Quado o sial de etrada causal é uma seóide e os olos caem o circulo uitário, cosequetemete, a resosta forçada é tamém um seóide que ersiste ara todo. Neste caso, a resosta forçada é chamada de resosta de estado estacioário do sistema. L
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8 CUSLIDDE E ESTBILIDDE Um sistema LIT é causal quado h ara <. Um sistema LIT é causal se e somete se a ROC da fução do sistema é o exterior de um circulo de raio r <, icluido o oto Z. Uma codição suficiete ara um sistema LIT ser BIBO estável é h < Esta codição imlica que H deve coter o circulo uitário detro da sua ROC. H h H h h Quado avaliado o circulo uitário H h Um sistema LIT é BIBO estável se e somete se a ROC da fução do sistema iclue o circulo uitário.
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10 CNCELMENTO POLO-ZERO Quado uma trasformada Z tem um olo que esta a mesma localiação que um ero, o olo é cacelado elo ero e, cosequetemete, o termo cotedo aquele olo a trasformada Z iversa desaarece. Pode ocorrer a rória fução do sistema, reduido a ordem do sistema or um, ou o roduto da fução do sistema com a trasformada Z do sial de etrada Selecioado aroriadamete a osição dos eros do sial de etrada é ossível surimir um ou mais modos do sistema fatores olo a resosta do sistema. Similarmete, or seleção aroriada de eros da fução do sistema, é ossível surimir um ou mais modos do sial de etrada da resosta.
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14 POLOS DE MÚLTIPL ORDEM E ESTBILIDDE Uma codição ecessária e suficiete ara um sistema causal LIT ser BIBO estável é que todos os seus ólos estejam detro do circulo uitário. O sial de etrada é limitado se sua trasformada Z cotém olos {q },,,...,L, que satisfaem a codição q ara todo. resosta forçada do sistema tamém é limitada, mesmo quado o sial de etrada cotém um ou mais olos distitos o circulo uitário. é ilimitada ara dulo olo real o circulo uitário Em vista do fato de que um sial de etrada limitado ode ter olos o circulo uitário, ode arecer que um sistema estável ode tamém ter olos o circulo uitário. No etato, um sistema, que tem olo o circulo uitário, rodu uma resosta ilimitada quado excitado or um sial de etrada que tamém tem um olo a mesma osição o circulo uitário.
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16 POLOS DE MÚLTIPL ORDEM E ESTBILIDDE O exemlo demostra claramete que estailidade BIBO exigem que os olos do sistema estejam rigorosamete detro do circulo uitário. Se os olos do sistema estão todos detro do circulo uitário e a sequecia x cotém um ou mais olos que coicidam com os olos do sistema, a saíday coterá olos de múltila ordem. Tais olos de múltila ordem resultam em uma sequecia de saída que cotém termos da forma u Ode m - e m é a ordem do olo. Se <, estes termos decaem a ero quado aroxima-se do ifiito orque o fator exoecial domia o termo. Cosequetemete, ehum sial de etrada limitado ode roduir um sial de saída ilimitado se os olos do sistema estão todos detro do circulo uitário.
17 ESTBILIDDE DE SISTEMS DE SEGUND ORDEM Sistemas com dois olos formam o loco ásico de costrução ara a realiação de sistemas de ordem maiores. Cosidere um sistema causal de dois olos descrito ela equação a difereça de seguda ordem y a y a y x fução do sistema é H Y X a a Este sistema tem dois eros a origem e olos em a a, a ± a 4a 4
18 ESTBILIDDE DE SISTEMS DE SEGUND ORDEM O sistema é BIBO estável se os olos estam detro do circulo uitário, isto é, se < e <. Estas codições odem ser relatadas ara os valores dos coeficietes a e a. Sae-se que a a Codições que a e a devem satisfaer ara estailidade do sistema a < 3.5. a < a Portato, um sistema de dois olos é estável se e somete se os coeficietes a e a satisfaem as codições acima citadas. s codições de estailidade dadas em 3.5. e defiem uma região o lao dos coeficietes a,a, que está a forma de um triâgulo. O sistema é estável se e somete se o oto a,a ecotra-se detro do triâgulo, que chamamos de triâgulo de estailidade.
19 aixo da aráola ólos reais e distitos Na aráola ólos reais, iguais dulo cima da aráola ólos comlexos cojugados a < 4a a > 4 a a 4 a
20 PÓLOS REIS E DISTINTOS ESTBILIDDE DE SISTEMS DE SEGUND ORDEM 4 a a > u h Ode H é imulso ao Resosta h é a difereça de duas exoeciais decrescetes.
21 ESTBILIDDE DE SISTEMS DE SEGUND ORDEM PÓLOS REIS E IGUIS a 4 a Neste caso a / H resosta ao imulso é h u h é o roduto etre uma rama e uma exoecial decrescete.
22 PÓLOS COMPLEXOS CONJUGDOS ESTBILIDDE DE SISTEMS DE SEGUND ORDEM 4a a < : vale de arciais frações em exasão a costate cos Ode * * * H r a r a π re re re H H j j j < < h tem um comortameto oscilatório com um eveloe exoecial decrescete quado r<. O âgulo dos ólos determia a freqüêcia da oscilação e a distacia r dos olos da origem determia a taxa de decaimeto. Quado r é róximo a uidade, o decaimeto é leto. Quado r e róximo a origem, o decaimeto é ráido. ] [ : vale imulso ao resosta a emete, Cosequet u se se r j e e se r h jse e e e r re j j j j j j *
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