2- Resolução de Sistemas Não-lineares.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "2- Resolução de Sistemas Não-lineares."

Transcrição

1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS - Resolução de Sisteas Não-lieares..- Método de Newto..- Método da Iteração Método do Gradiete.

2 - Sisteas Não Lieares de Equações Cosidere u sistea ão liear de equações co icógitas. f(,, L, ) = f f (,,, ) f L = ou co e f() = f = = ( ) LLLLLLLL M M f(,,, ) = L f Note que coo caso particular podeos ter u sistea liear de equações algébricas: f(,, L, ) = a + a + La b = f(,, L, ) = a + a + La b = LLLLLLLLLLLLLLLL LLL f,, ) = + b = (, L a + a La ou A b =

3 .- Método de Newto Cosidere u sistea ão liear de equações co icógitas. f(,, L, ) = f f (,,, ) f L = ou co e f() = f = = ( ) LLLLLLLL M M f(,,, ) = L f Resolvereos este problea co aproiações sucessivas. Seja a aproiação co = (,, L, ) sedo ua das raízes de co erro = (,, L, ). Logo = +. f( + ) = ( ) Supodo que f() é cotiuaete difereciável u doíio coveo que cote e podeos epadir a fução e série de potecia etoro do poto e desprezaos as potecias aiores que (teros ão lieares).

4 Liearização do sistea ()..- Método de Newto f() = f( + ) f( ) + f '( ) = (3) ou f f f f( ) f(,, L, ) L+ = f f f f( ) f(,, L, ) L+ = LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL f f f f( ) f(,, L, ) L+ = Deveos eteder f '() coo sedo a atriz Jacobiaa das fuções f f,, co respeito as variáveis,,,., L f L

5 f '().- Método de Newto f f f L f f f L = W () = L L L L f f f L O sistea (3) é u sistea liear da fora: f f f f ( ) L f f f f ( ) L + = ou + = f( ) W ( ) L L L L M M f f f f ( ) L

6 .- Método de Newto Se a atriz W( ) é ão sigular, etão possui iversa e segue W( ) [ f( ) + W( ) ] = = W( ) f( ) logo + = + = W( ) f( ) co =,,,... Para a aproiação zero podeos escolher coo u valor estiado grotescaete para a raiz procurada. Este é o Método de Newto e ote que deveos calcular a atriz iversa e cada passo: + = W( ) f( ). Se a atriz iversa W() é cotiua a vizihaça da solução procurada e a aproiação iicial é suficieteete perto de, etão podeos fazer a seguite aproiação para obter o Método de Newto Modificado: W( ) W( ) + = W( ) f( )

7 ..- Eistêcia de Raiz do Sistea e Covergêcia do Método de Newto Teorea : Seja u sistea ão liear de equações co coeficietes reais, ode as fuções f() são defiidas e cotiuas juto co suas derivadas parciais de prieira e seguda orde u doíio Ω. Ou seja, f() C ( Ω). f f co e f() = f = = M M f Supoha e o fecho de sua vizihaça V ( ) = { } Ω sere potos de Ω, ode é a -ora e as seguites codições sere válidas: ) A atriz Jacobiaa W() e te iversa W( ) e são os cofatores A, co a ij, ij = W W i det( W( )) j = do eleeto W ij W( ) W( )

8 ..- Eistêcia de Raiz do Sistea e Covergêcia do Método de Newto ) B W( ) f( ), 3) fi ( ) = j C co ( i, j = L,, ) e V ( ), 4) as costates A, B e C satisfaze a desigualdade µ = A B C. Etão o Método de Newto coverge para esta escolha de aproiação iicial e p = f() = p li é a solução do sistea tal que B. p+ p p p = W( ) f( ), p =,,,... Note que, sepre que seja verificadas todas as hipóteses do teorea o étodo de Newto coverge para ua solução que é raiz do sistea a vizihaça de.

9 ..- Eistêcia de Raiz do Sistea e Covergêcia do Método de Newto Note que, se f() C ( Ω) e o sistea f() = te e Ω ua solução segue que f( ) = e W( ) e as codições do teorea são válidas para qualquer poto suficieteete perto de. Por outro lado, para que a codição ) seja válida é iportate observar que B forece ua estiativa da difereça etre as aproiações prieira e iicial. Desta fora podeos verificar rapidaete se esta desigualdade é verificada assi que a prieira aproiação seja calculada: ) = B W( ) f( ). Tabé, pode ser obtidos resultados de covergêcia aálogos aos ateriores para o caso e que a ora cosiderada é ou. l

10 ..- Eistêcia de Raiz do Sistea e Covergêcia do Método de Newto Defiição de Taa de Covergêcia para os Métodos iterativos: Dizeos que u étodo iterativo coverge para a solução co taa de covergêcia de orde Q se a seguite desigualdade se verifica + específica > c Q específica c ode ão depede de. Taa de Covergêcia Coputacioal ρ = l l + específica específica específica específica

11 ..- Uicidade da Solução do Método de Newto e Taa de Covergêcia e Estabilidade. Teorea : Se as codições ) a 4) do Teorea são verificadas, etão eistirá o doíio B ua úica solução do sistea f() =. Teorea 3: Se as codições ) a 4) do Teorea são verificadas, etão a seguite desigualdade se verifica para as p aproiações sucessivas p p p ( µ ) ( B ) ode é a solução do sistea f( ) = e µ = A B C. Falta algu resultado que garata a estabilidade da covergêcia do Método de Newto quado varia a escolha da aproiação iicial!

12 ..- Uicidade da Solução do Método de Newto e Taa de Covergêcia e Estabilidade. Teorea 4: Se as codições ) a 4) do Teorea são verificadas e ode µ = A B C <, etão o Método µ B C de Newto coverge para sua úica solução do sistea f() = o doíio B para qualquer escolha da aproiação iicial que perteça ao doíio % µ B. µ Note que se B < e µ < etão para a aproiação iicial sepre há ua vizihaça e qualquer poto desta vizihaça pode ser escolhido coo aproiação iicial para que o Método de Newto seja covergete para a solução procurada. Supoha B < qb = co q > fie µ = a( µ,/ q) logo pelo teorea e 4 o Método de Newto para qualquer aproiação iicial % µ que verifique a codição B será covergete para. µ %

13 ..3- Eeplo pag. 46 do Deidovich Use o Método de Newto para ecotrar a solução aproiada positiva do sistea de equações: + y + z = + y 4z = 3 4y + z = coeçado co a aproiação iicial = y = z =. 5. Solução: Nosso sistea é f(, y, z) = + y + z = M é t o d o d e N e w t o f(, y, z) = + y 4z = + = W ( ) f ( ) f3(, y, z) = 3 4y + z = W ( ) f f f y z f f f = y z f f f y z Para eecutar cada aproiação deveos calcular e cada passo f ( ), W ( ) e W ( )

14 ..3- Eeplo pag. 46 do Deidovich Solução: Nosso sistea é f(, y, z) = + y + z = f(, y, z) = + y 4z = = y = z =. 5. f3(, y, z) = 3 4y + z =.5 f(, y, z ) = (.5) + (.5) + (.5) =.5 ( ).5 f = = f(, y, z ) = (.5) + (.5) 4(.5) =.5. f3(, y, z ) = 3(.5) 4(.5) + (.5) =. y z W() = y W( = 6 4 z 3 4 W( 4 4 logo W( ) = 4 e det( )) ) = 4 6 e = =.5 4 W( ) f( ) 7.375

15 ..3- Eeplo pag. 46 do Deidovich Para a iteração deveos calcular.565 f(, y, z ) = (.875) + (.5) + (.375) =.565 ( ).85 f = = f(, y, z ) = (.875) + (.5) 4(.375) = f3(, y, z ) = 3(.875) 4(.5) + (.375) =.4375 y z W() = y = 6 4 z logo W( ) = e det( W( )) W( ) = e = W( ) f( ) = e assi sucessivaete, ote que a edida que = = = aueta o úero de 4966 f( ) 4 f( ) iterações f( )

16 ..3- Eeplo pag. 46 do Deidovich Visualização gráfica do problea

17 Frase do Dia True Laws of Nature caot be liear. Albert Eistei

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES 87 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES Uma equação que coteha uma epressão do tipo, -,,, se(), e +z, z etc, é chamada ão-liear em,, z,, porque ela ão pode ser escrita o que é uma equação liear em,, z, a

Leia mais

CCI-22 CCI-22 DEFINIÇÃO REGRA DO RETÂNGULO FÓRMULAS DE NEWTON-COTES CCI - 22 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL INTEGRAÇÃO NUMÉRICA.

CCI-22 CCI-22 DEFINIÇÃO REGRA DO RETÂNGULO FÓRMULAS DE NEWTON-COTES CCI - 22 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. CCI - MATMÁTICA COMPUTACIONAL INTGRAÇÃO NUMÉRICA CCI- Fórulas de Newto-Cotes Regras de Sipso Regra de Sipso de / Regra de Sipso de / Fórula geral de Newto-Cotes stiativas de erros DFINIÇÃO deteriadas situações,

Leia mais

Operadores Lineares e Matrizes

Operadores Lineares e Matrizes Operadores Lieares e Matrizes Ua Distição Fudaetal e Álgebra Liear Prof Carlos R Paiva Operadores Lieares e Matrizes Coeceos por apresetar a defiição de operador liear etre dois espaços lieares (ou vectoriais)

Leia mais

1 Formulário Seqüências e Séries

1 Formulário Seqüências e Séries Formulário Seqüêcias e Séries Difereça etre Seqüêcia e Série Uma seqüêcia é uma lista ordeada de úmeros. Uma série é uma soma iita dos termos de uma seqüêcia. As somas parciais de uma série também formam

Leia mais

Exercícios de Matemática Binômio de Newton

Exercícios de Matemática Binômio de Newton Exercícios de Mateática Biôio de Newto ) (ESPM-995) Ua lachoete especializada e hot dogs oferece ao freguês 0 tipos diferetes de olhos coo tepero adicioal, que pode ser usados à votade. O tipos de hot

Leia mais

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Difereciais Ordiárias 0. Itrodução Muitos feómeos as áreas das ciêcias egearias ecoomia etc. são modelados por equações difereciais. Supoa-se que se quer determiar

Leia mais

Cálculo 2, A função implícita Abril O que é uma função na forma implícita, em geral designada por função implícita?

Cálculo 2, A função implícita Abril O que é uma função na forma implícita, em geral designada por função implícita? Cálculo A fução iplícita Abril 9 O que é ua fução a fora iplícita e geral desigada por fução iplícita? Cálculo A fução iplícita Abril 9 Coeceos ao cotrário. Ua fução real de variável real coo 4se está

Leia mais

F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Colégio de S. Goçalo - Amarate - F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Este método, sob determiadas codições, apreseta vatages sobre os método ateriores: é de covergêcia mais rápida e, para ecotrar as raízes, ão

Leia mais

Exercícios de Cálculo III - CM043

Exercícios de Cálculo III - CM043 Eercícios de Cálculo III - CM43 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Dispoível o sítio people.ufpr.br/ eidam/ide.htm o. semestre de 22 Lista Sequêcias e séries de úmeros reais. Decida se cada uma das

Leia mais

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL. Conceito de derivada. Interpretação geométrica

CÁLCULO DIFERENCIAL. Conceito de derivada. Interpretação geométrica CÁLCULO DIFERENCIAL Coceito de derivada Iterpretação geométrica A oção fudametal do Cálculo Diferecial a derivada parece ter sido pela primeira vez explicitada o século XVII, pelo matemático fracês Pierre

Leia mais

Secção 1. Introdução às equações diferenciais

Secção 1. Introdução às equações diferenciais Secção. Itrodução às equações difereciais (Farlow: Sec..,.) Cosideremos um exemplo simples de um feómeo que pode ser descrito por uma equação diferecial. A velocidade de um corpo é defiida como o espaço

Leia mais

1- Resolução de Sistemas Lineares.

1- Resolução de Sistemas Lineares. MÉTODOS NUMÉRICOS PR EQUÇÕES DIFERENCIIS PRCIIS 1- Resolução de Sistemas Lieares. 1.1- Matrizes e Vetores. 1.2- Resolução de Sistemas Lieares de Equações lgébricas por Métodos Exatos (Diretos). 1.3- Resolução

Leia mais

Matrizes e Polinômios

Matrizes e Polinômios Matrizes e oliôios Duas atrizes A, B Mat R) são seelhates quado existe ua atriz ivertível Mat R) tal que B = A Matrizes seelhates possue o eso poliôio característico, já que: det A λ ) = det A λ ) ) =

Leia mais

Soluções dos Exercícios do Capítulo 6

Soluções dos Exercícios do Capítulo 6 Soluções dos Eercícios do Capítulo 6 1. O poliômio procurado P() a + b + c + d deve satisfazer a idetidade P(+1) P() +, ou seja, a(+1) + b(+1) + c(+1) + d a + b + c + d +, o que é equivalete a (a 1) +

Leia mais

SUCESSÕES E SÉRIES. Definição: Chama-se sucessão de números reais a qualquer f. r. v. r., cujo domínio é o conjunto dos números naturais IN, isto é,

SUCESSÕES E SÉRIES. Definição: Chama-se sucessão de números reais a qualquer f. r. v. r., cujo domínio é o conjunto dos números naturais IN, isto é, SUCESSÕES E SÉRIES Defiição: Chama-se sucessão de úmeros reais a qualquer f. r. v. r., cujo domíio é o cojuto dos úmeros aturais IN, isto é, u : IN IR u( ) = u Defiição: i) ( u ) IN é crescete IN, u u

Leia mais

Matemática FUVEST ETAPA QUESTÃO 1. b) Como f(x) = = 0 + x = 1 e. Dados m e n inteiros, considere a função f definida por m

Matemática FUVEST ETAPA QUESTÃO 1. b) Como f(x) = = 0 + x = 1 e. Dados m e n inteiros, considere a função f definida por m Mateática FUVEST QUESTÃO 1 Dados e iteiros, cosidere a fução f defiida por fx (), x para x. a) No caso e que, ostre que a igualdade f( ) se verifica. b) No caso e que, ache as iterseções do gráfico de

Leia mais

2.2. Séries de potências

2.2. Séries de potências Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise

Leia mais

O MÉTODO DE VARIAÇÃO DAS CONSTANTES

O MÉTODO DE VARIAÇÃO DAS CONSTANTES O MÉTODO DE VARIAÇÃO DAS CONSTANTES HÉLIO BERNARDO LOPES O tea das equações difereciais está resete a esagadora aioria dos laos de estudos dos cursos de liceciatura ode se estuda teas ateáticos. E o eso

Leia mais

Equações Recorrentes

Equações Recorrentes Filipe Rodrigues de S oreira Graduado e Egeharia ecâica Istituto Tecológico de Aeroáutica (ITA) Julho 6 Equações Recorretes Itrodução Dada ua seqüêcia uérica, uitas vezes quereos deteriar ua lei ateática,

Leia mais

Transformação de similaridade

Transformação de similaridade Trasformação de similaridade Relembrado bases e represetações, ós dissemos que dada uma base {q, q,..., q} o espaço real - dimesioal, qualquer vetor deste espaço pode ser escrito como:. Ou a forma matricial

Leia mais

Interpolação-Parte II Estudo do Erro

Interpolação-Parte II Estudo do Erro Iterpolação-Parte II Estudo do Erro. Estudo do Erro a Iterpolação. Iterpolação Iversa 3. Grau do Poliômio Iterpolador 4. Fução Splie em Iterpolação 4. Splie Liear 4. Splie Cúbica .Estudo do Erro a Iterpolação

Leia mais

AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO

AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 AULA 7 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Siais e Sistemas, a edição, Pearso, 00. ISBN 9788576055044.

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ao 00 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como a probabilidade do João acertar em cada tetativa é 0,, a probabilidade do João acertar as tetativas é 0, 0, 0, 0,

Leia mais

Resolução das Questões Objetivas

Resolução das Questões Objetivas Resolução das Questões Objetivas Questão : Seja f : R R dada por f ( x) = µ x + 0x + 5, ode µ 0 Teos que f ( x ) > 0 para todo x R, se e soete se, i) µ > 0 ; ii) A equação µ x + 0x + 5 = 0 ão possui solução

Leia mais

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ Aotações sobre somatórios Rodrigo Carlos Silva de Lima Uiversidade Federal Flumiese - UFF-RJ rodrigouffmath@gmailcom Sumário Somatórios 3 Somatórios e úmeros complexos 3 O truque de Gauss para somatórios

Leia mais

Sobre a necessidade das hipóteses no Teorema do Ponto Fixo de Banach

Sobre a necessidade das hipóteses no Teorema do Ponto Fixo de Banach Sobre a ecessidade das hipóteses o Teorema do Poto Fio de Baach Marcelo Lopes Vieira Valdair Bofim Itrodução: O Teorema do Poto Fio de Baach é crucial a demostração de vários resultados importates da Matemática

Leia mais

Capítulo 5 Cálculo Diferencial em IR n 5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares.

Capítulo 5 Cálculo Diferencial em IR n 5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares. 5. Defiição de fução de várias variáveis: campos vetoriais e. Uma fução f : D f IR IR m é uma fução de variáveis reais. Se m = f é desigada campo escalar, ode f(,, ) IR. Temos assim f : D f IR IR (,, )

Leia mais

APROXIMAÇÃO POR MÍNIMOS QUADRADOS. Consideremos a seguinte tabela de valores de uma função y = f(x):

APROXIMAÇÃO POR MÍNIMOS QUADRADOS. Consideremos a seguinte tabela de valores de uma função y = f(x): APROXIAÇÃO POR ÍNIOS QUADRADOS Cosideremos a seguite tabela de valores de uma fução y = f(x): i 3 x i 6 8 y i 8 Pretede-se estimar valores da fução em potos ão tabelados. Poderíamos utilizar o poliómio

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de

Leia mais

Tópicos: Análise e Processamento de BioSinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra

Tópicos: Análise e Processamento de BioSinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra Cap. 5-Trasformada de Z Uiversidade de Coimbra Aálise e Processameto de BioSiais Mestrado Itegrado em Egeharia Biomédica Faculdade de Ciêcias e Tecologia Uiversidade de Coimbra Slide Aálise e Processameto

Leia mais

Probabilidade II Aula 12

Probabilidade II Aula 12 Coteúdo Probabilidade II Aula Juho de 009 Desigualdade de Marov Desigualdade de Jese Lei Fraca dos Grades Números Môica Barros, D.Sc. Itrodução A variâcia de uma variável aleatória mede a dispersão em

Leia mais

Notas de Aula. Equações Diferenciais Numéricas

Notas de Aula. Equações Diferenciais Numéricas Notas de Aula Equações Difereciais Numéricas Rodey Josué Biezuer Departameto de Matemática Istituto de Ciêcias Exatas ICEx) Uiversidade Federal de Mias Gerais UFMG) Notas de aula da disciplia Equações

Leia mais

Lei de Fourier da condução

Lei de Fourier da condução Aula 11 Equação de Fourier da codução de calor/ Lei de Fick da difusão Solução estacioária: Equação de Laplace Equação de Poisso Método da relaxação Codições froteira (Dirichlet e vo Neuma) 1 Lei de Fourier

Leia mais

Matemática. Binômio de Newton. Professor Dudan.

Matemática. Binômio de Newton. Professor Dudan. Matemática Biômio de Newto Professor Duda www.acasadococurseiro.com.br Matemática BINÔMIO DE NEWTON Defiição O biômio de Newto é uma expressão que permite calcular o desevolvimeto de (a + b), sedo a +

Leia mais

Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais

Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais 2 Séries de úmeros reais Sabemos bem o que sigifica u 1 + u 2 + + u p = p =1 e cohecemos as propriedades desta operação - comutatividade, associatividade,

Leia mais

Capítulo I Séries Numéricas

Capítulo I Séries Numéricas Capítulo I Séries Numéricas Capitulo I Séries. SÉRIES NÚMERICAS DEFINIÇÃO Sedo u, u,..., u,... uma sucessão umérica, chama-se série umérica de termo geral u à epressão que habitualmete se escreve u u...

Leia mais

AULA Matriz inversa Matriz inversa.

AULA Matriz inversa Matriz inversa. Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira ÓPICOS Matriz iversa. U 6 Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar

Leia mais

META: Apresentar o conceito de módulo de números racionais e sua representação

META: Apresentar o conceito de módulo de números racionais e sua representação Racioais META: Apresetar o coceito de ódulo de úeros racioais e sua represetação decial. OBJETIVOS: Ao fi da aula os aluos deverão ser capazes de: Idetificar a fora decial de u úeros racioal. Idetificar

Leia mais

b) Fabrico de peças cilíndricas Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidades e complementos X - comprimento da peça Y - diâmetro da peça

b) Fabrico de peças cilíndricas Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidades e complementos X - comprimento da peça Y - diâmetro da peça Capítulo 5 - Distribuições cojutas de probabilidades e complemetos 5.1 Duas variáveis aleatórias discretas. Distribuições cojutas, margiais e codicioais. Idepedêcia Em relação a uma mesma eperiêcia podem

Leia mais

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,... Curso Metor www.cursometor.wordpress.com Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo

Leia mais

GRÁFICOS DE CONTROLE PARA X e S

GRÁFICOS DE CONTROLE PARA X e S Setor de Tecologia Departaeto de Egeharia de Produção Prof. Dr. Marcos Augusto Medes Marques GRÁFICOS DE CONTROLE PARA X e S E duas situações os gráficos de cotrole X e S são preferíveis e relação aos

Leia mais

Professor Mauricio Lutz LIMITES

Professor Mauricio Lutz LIMITES LIMITES ) Noção ituitiva de ites Seja a fução f ( ) +. Vamos dar valores de que se aproimem de, pela sua direita (valores maiores que ) e pela esquerda (valores meores que ) e calcular o valor correspodete

Leia mais

Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 4

Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 4 Aálise Complexa Resolução de algus exercícios do capítulo 4. Caso de C0, 0, : Caso de C0,, + : Exercício º z z i i z + iz iz iz porque iz < i + z i +3 z. z z i i z + iz iz porque iz > iz i z 3 i 3 z..

Leia mais

Mas o que deixou de ser abordado na grande generalidade desses cursos foi o estudo dos produtos infinitos, mesmo que só no caso numérico real.

Mas o que deixou de ser abordado na grande generalidade desses cursos foi o estudo dos produtos infinitos, mesmo que só no caso numérico real. Resumo. O estudo das séries de termos reais, estudado as disciplias de Aálise Matemática da grade geeralidade dos cursos técicos de liceciatura, é aqui estedido ao corpo complexo, bem como ao caso em que

Leia mais

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates

Leia mais

Capítulo IV - Equações não Lineares

Capítulo IV - Equações não Lineares Capítulo IV - Equações ão Lieares C. Balsa & A. Satos. Itrodução Dada uma equação f ( diz-se que * é uma raiz da equação se, ao substituir o valor de por *, a equação aterior se trasforma a idetidade (

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Sequêcias de Escalares Uma sequêcia { } diz-se uma sequêcia de Cauchy se para qualquer (depedete de ε ) tal que : ε > 0 algum K m < ε para todo K e m K Uma sequêcia { } diz-se ser limitada superiormete

Leia mais

Séries e aplicações15

Séries e aplicações15 Séries e aplicações5 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 5. Sequêcias 5. Séries 5. Séries especiais 5.4 Arquimedes e a quadratura da parábola 5.5 Sobre a Covergêcia de séries 5.6 Séries de Taylor

Leia mais

CCI-22 CCI-22. 7) Integração Numérica. Matemática Computacional. Definição Fórmulas de Newton-Cotes. Definição Fórmulas de Newton-Cotes

CCI-22 CCI-22. 7) Integração Numérica. Matemática Computacional. Definição Fórmulas de Newton-Cotes. Definição Fórmulas de Newton-Cotes CCI- CCI- Mateática Coputacional 7 Integração Nuérica Carlos Alberto Alonso Sances Fórulas de Newton-Cotes, Quadratura Adaptativa CCI- Fórulas de Newton-Cotes Regra de Sipson Fórula geral stiativas de

Leia mais

Cálculo II Sucessões de números reais revisões

Cálculo II Sucessões de números reais revisões Ídice 1 Defiição e exemplos Cálculo II Sucessões de úmeros reais revisões Mestrado Itegrado em Egeharia Aeroáutica Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Atóio Beto beto@ubi.pt Departameto de Matemática Uiversidade

Leia mais

Função Logarítmica 2 = 2

Função Logarítmica 2 = 2 Itrodução Veja a sequêcia de cálculos aaio: Fução Logarítmica = = 4 = 6 3 = 8 Qual deve ser o valor de esse caso? Como a fução epoecial é estritamete crescete, certamete está etre e 3. Mais adiate veremos

Leia mais

Elementos de Análise - Verão 2001

Elementos de Análise - Verão 2001 Elemetos de Aálise - Verão 00 Lista Thomas Robert Malthus, 766-834, foi professor de Ecoomia Política em East Idia College e em seu trabalho trouxe à luz os estudos sobre diâmica populacioal. Um de seus

Leia mais

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos:

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos: 48 DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL LEI DOS GRANDES NÚMEROS Pretede-se estudar o seguite problema: À medida que o úmero de repetições de uma experiêcia cresce, a frequêcia relativa

Leia mais

CORRELAÇÃO Aqui me tens de regresso

CORRELAÇÃO Aqui me tens de regresso CORRELAÇÃO Aqui me tes de regresso O assuto Correlação fez parte, acompahado de Regressão, do programa de Auditor Fiscal, até 998, desaparecedo a partir do cocurso do ao 000 para agora retorar soziho.

Leia mais

Novas Operações com Matrizes: Algumas de Suas Propriedades e Aplicações.

Novas Operações com Matrizes: Algumas de Suas Propriedades e Aplicações. Novas perações com atrizes: lgumas de Suas ropriedades e plicações toiel Nogueira da Silva e Valdair Bofim Itrodução: presete trabalho origiou-se durate o desevolvimeto de um projeto do rograma Istitucioal

Leia mais

Combinações simples e com repetição - Teoria. a combinação de m elementos tomados p a p. = (*) (a divisão por p! desconta todas as variações.

Combinações simples e com repetição - Teoria. a combinação de m elementos tomados p a p. = (*) (a divisão por p! desconta todas as variações. obiações siles - Defiição obiações siles e co reetição - Teoria osidereos u cojuto X co eleetos distitos. No artigo Pricíios Multilicativos e Arrajos - Teoria, aredeos a calcular o úero de arrajos de eleetos

Leia mais

Prova-Modelo de Matemática

Prova-Modelo de Matemática Prova-Modelo de Matemática PROVA Págias Esio Secudário DURAÇÃO DA PROVA: miutos TOLERÂNCIA: miutos Cotações GRUPO I O quarto úmero de uma certa liha do triâgulo de Pascal é. A soma dos quatro primeiros

Leia mais

( 7) ( 3) Potenciação

( 7) ( 3) Potenciação Poteciação Defiição: Calcular a potêcia de um úmero real a equivale a multiplicar a, por ele mesmo, vezes. A otação da operação de poteciação é equivalete a: Eemplos: 6; 7 9 a a. a. a... a vezes Propriedades:

Leia mais

DFS Série Discreta de Fourier DFT Transformada Discreta de Fourier Convolução Circular

DFS Série Discreta de Fourier DFT Transformada Discreta de Fourier Convolução Circular Sistemas de Processameto Digital Egeharia de Sistemas e Iformática Ficha 4 5/6 4º Ao/ º Semestre DFS Série Discreta de Fourier DFT Trasformada Discreta de Fourier Covolução Circular Para calcular a DFT,

Leia mais

AULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço.

AULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço. Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira TÓPICOS Subespaço. ALA Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar

Leia mais

Uma recorrência é uma equação que descreve uma função em termos do seu valor em entradas menores

Uma recorrência é uma equação que descreve uma função em termos do seu valor em entradas menores Uma recorrêcia é uma equação que descreve uma fução em termos do seu valor em etradas meores T( ) O( 1) T( 1) 1 se 1 se 1 Útil para aálise de complexidade de algoritmos recursivos ou do tipo dividir para

Leia mais

Capítulo 3. Sucessões e Séries Geométricas

Capítulo 3. Sucessões e Séries Geométricas Capítulo 3 Sucessões e Séries Geométricas SUMÁRIO Defiição de sucessão Mootoia de sucessões Sucessões itadas (majoradas e mioradas) Limites de sucessões Sucessões covergetes e divergetes Resultados sobre

Leia mais

LOGARITMOS DEFINIÇÃO. log b. log 2 2. log61 0. loga. logam N logam. log N N. log. f ( x) log a. log FUNÇÃO LOGARITMICA

LOGARITMOS DEFINIÇÃO. log b. log 2 2. log61 0. loga. logam N logam. log N N. log. f ( x) log a. log FUNÇÃO LOGARITMICA LOGARITMOS DEFIIÇÃO log 0,, 0 FUÇÃO LOGARITMICA f ( ) log Eelos. Esoce o gráfico d fução 0,, 0 y log Eelos: log 8 ois 8 log log6 0 ois 0 ois 6 CODIÇÃO DE EXISTÊCIA 0 log eiste 0, EXEMPLO: Deterie os vlores

Leia mais

Capítulo 2. Aproximações de Funções

Capítulo 2. Aproximações de Funções EQE-358 MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Capítulo Aproações de Fuções Há bascaete dos tpos de probleas de aproações: ) ecotrar ua fução as sples, coo u polôo, para aproar

Leia mais

M23 Ficha de Trabalho SUCESSÕES 2

M23 Ficha de Trabalho SUCESSÕES 2 M Ficha de Trabalho NOME: SUCESSÕES I PARTE Relativamete à sucessão a =, pode-se afirmar que: (A) É um ifiitamete grade positivo (B) É um ifiitésimo (C) É um ifiitamete grade egativo (D) É limitada Cosidere

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M7 Função Exponencial. 2 Encontre o valor da expressão

Matemática. Resolução das atividades complementares. M7 Função Exponencial. 2 Encontre o valor da expressão Resolução das atividades complemetares Matemática M Fução Epoecial p. 6 (Furg-RS) O valor da epressão A a) c) e) 6 6 b) d) 0 A?? A? 8? A A A? A 6 8 Ecotre o valor da epressão 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0. Aplicado

Leia mais

A letra x representa números reais, portanto

A letra x representa números reais, portanto Aula 0 FUNÇÕES UFPA, 8 de março de 05 No ial desta aula, você seja capaz de: Saber dizer o domíio e a imagem das uções esseciais particularmete esta aula as uções potêcias; Fazer o esboço de gráico da

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica

Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e b. (Fuvest 05) Dadas as sequêcias a 4 4, b, c a a e d, b defiidas para valores iteiros positivos de, cosidere as seguites afirmações: I. a

Leia mais

Lista 9 - Introdução à Probabilidade e Estatística

Lista 9 - Introdução à Probabilidade e Estatística Lista 9 - Itrodução à Probabilidade e Estatística Desigualdades e Teoremas Limites 2.=000. 1 Um ariro apota a um alvo de 20 cm de raio. Seus disparos atigem o alvo, em média, a 5 cm do cetro deste. Assuma

Leia mais

Cap. 4 - Estimação por Intervalo

Cap. 4 - Estimação por Intervalo Cap. 4 - Estimação por Itervalo Amostragem e iferêcia estatística População: cosiste a totalidade das observações em que estamos iteressados. Nº de observações a população é deomiado tamaho=n. Amostra:

Leia mais

Amostras Aleatórias e Distribuições Amostrais. Probabilidade e Estatística: afinal, qual é a diferença?

Amostras Aleatórias e Distribuições Amostrais. Probabilidade e Estatística: afinal, qual é a diferença? Amostras Aleatórias e Distribuições Amostrais Probabilidade e Estatística: afial, qual é a difereça? Até agora o que fizemos foi desevolver modelos probabilísticos que se adequavam a situações reais. Por

Leia mais

SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE

SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE começado a eteder CÁLCULO Volume Um - SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE Uma sequêcia ifiita de úmeros () é covergete a um úmero o quado () se tora (ou é sempre) igual a o, ou se tora cada vez mais próima

Leia mais

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre

Leia mais

MÓDULO VIII. EP.01) Simplifique (100 2 ) EP.02) (Vunesp) Calcule o valor de m, sabendo que. EP.03) Encontrando o valor de

MÓDULO VIII. EP.01) Simplifique (100 2 ) EP.02) (Vunesp) Calcule o valor de m, sabendo que. EP.03) Encontrando o valor de MÓDULO VIII. Potêcias de NOTAÇÃO CIENTÍFICA Ua potêcia cuja base é u úero últiplo de é deoiado de potêcia de. Veja algus exeplos de potêcias de :.000.000.000 =.000.000.000 = 9 0.000.000 = 8.000.000 = 7.000.000

Leia mais

Hidráulica Geral (ESA024A)

Hidráulica Geral (ESA024A) Faculdade de Egeharia epartaeto de Egeharia Saitária e Abietal Hidráulica Geral (ESA04A) Prof Hoero Soares º seestre 0 Terças de 0 às h Quitas de 08 às 0 h Uiversidade Federal de Juiz de Fora - UFJF Faculdade

Leia mais

No que segue, apresentamos uma definição formal para a exponenciação. Se a 0, por definição coloca-se a a a, a a a a e assim por diante. Ou.

No que segue, apresentamos uma definição formal para a exponenciação. Se a 0, por definição coloca-se a a a, a a a a e assim por diante. Ou. MAT Cálculo Diferecil e Itegrl I RESUMO DA AULA TEÓRICA 3 Livro do Stewrt: Seções.5 e.6. FUNÇÃO EXPONENCIAL: DEFINIÇÃO No ue segue, presetos u defiição forl pr epoecição uisuer R e., pr 2 3 Se, por defiição

Leia mais

Potencial elétrico para distribuições de cargas puntiformes: sobre a convergência de séries infinitas

Potencial elétrico para distribuições de cargas puntiformes: sobre a convergência de séries infinitas Revista Brasileira de Esio de Física, v. 32,. 3, 3309 200) www.sbfisica.org.br Potecial elétrico para distribuições de cargas putiformes: sobre a covergêcia de séries ifiitas Electric potetial of poit

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Se x é um elemeto do cojuto Notação S: x S Especificação de um cojuto : S = xx satisfaz propriedadep Uião de dois cojutos S e T : S T Itersecção de dois cojutos S e T : S T existe ; para todo f : A B sigifica

Leia mais

( ) ( ) ( ) ( ) 4.4- Forma de Newton-Gregory para o polinômio interpolador.

( ) ( ) ( ) ( ) 4.4- Forma de Newton-Gregory para o polinômio interpolador. 44- Forma de Newto-Gregory para o poliômio iterpolador No caso em que os ós da iterpolação x 0, x,, x são igualmete espaçados, podemos usar a orma de Newto-Gregory para obter p (x Estudaremos iicialmete

Leia mais

Instituto Universitário de Lisboa

Instituto Universitário de Lisboa Istituto Uiversitário de Lisboa Departameto de Matemática Exercícios de Sucessões e Séries Exercícios: sucessões. Estude quato à mootoia cada uma das seguites sucessões. (a) (g) + (b) + + + 4 (c) + (h)

Leia mais

Os testes da Comparação, Raiz e Razão e Convergência absoluta

Os testes da Comparação, Raiz e Razão e Convergência absoluta Os testes da Comparação, Raiz e Razão e Covergêcia absoluta Prof. Flávia Simões AULA 4 Os testes de Comparação Comparar uma série dada com uma que já sabemos se coverge ou diverge. Usamos geralmete as

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA 2 a FASE

PROVA DE MATEMÁTICA 2 a FASE PROVA DE MATEMÁTICA a FASE DEZ/04 Questão 1 a)o faturameto de uma empresa esse ao foi 10% superior ao do ao aterior; obteha o faturameto do ao aterior sabedo-se que o desse ao foi de R$1 40 000,00 b)um

Leia mais

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Exercícios A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico estudado as Aulas a 5 deste módulo à resolução de um cojuto de exercícios. objetivo Esperamos que, após o térmio desta aula, você teha cosolidado

Leia mais

Estudando complexidade de algoritmos

Estudando complexidade de algoritmos Estudado complexidade de algoritmos Dailo de Oliveira Domigos wwwdadomicombr Notas de aula de Estrutura de Dados e Aálise de Algoritmos (Professor Adré Bala, mestrado UFABC) Durate os estudos de complexidade

Leia mais

Cálculo IV: Métodos da Física-Matemática

Cálculo IV: Métodos da Física-Matemática Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro - UFRJ Istituto de Matemática - IM Departameto de Matemática Cálculo IV: Métodos da Física-Matemática Professor Adá J. Corcho Ferádez Rio de Jaeiro-RJ, 22 de ovembro

Leia mais

Faculdades Adamantinenses Integradas (FAI)

Faculdades Adamantinenses Integradas (FAI) Faculdades Adamatieses Itegradas (FAI) www.fai.com.br BAZÃO, Vaderléa Rodrigues; MEIRA, Suetôio de Almeida; NOGUEIRA, José Roberto. Aálise de Fourier para o estudo aalítico da equação da oda. Omia Exatas,

Leia mais

Carlos Fabiano Rosa. Série de Taylor e Aplicações

Carlos Fabiano Rosa. Série de Taylor e Aplicações Carlos Fabiao Rosa Série de Taylor e Aplicações UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Floriaópolis - SC 2013 Carlos Fabiao Rosa Série de Taylor e Aplicações Curso de Matemática - Habilitação Liceciatura

Leia mais

Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos

Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos Notas de aula de Métodos Numéricos. c Departameto de Computação/ICEB/UFOP. Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Míimos Marcoe Jamilso Freitas Souza, Departameto de Computação, Istituto de Ciêcias

Leia mais

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis:

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis: Capítulo 3 Sequêcias e Séries Numéricas 3. Sequêcias Numéricas Uma sequêcia umérica é uma fução real com domíio N que, a cada associa um úmero real a. Os úmeros a são chamados termos da sequêcia. É comum

Leia mais

Les 201 Matemática Aplicada à Economia. Relações entre CMg e CMe. Aulas Relações entre CMg e CMe. dct. dcme. CMe = = = =

Les 201 Matemática Aplicada à Economia. Relações entre CMg e CMe. Aulas Relações entre CMg e CMe. dct. dcme. CMe = = = = Les 0 Matemática Aplicada à Ecoomia Aulas -4 Derivadas Aplicação em Ecoomia Derivadas de Ordem Superiores Derivadas Parciais Determiate Jacobiao 9 e 0/09/06 Aplicações da a. Derivada em Ecoomia Dada a

Leia mais

Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica

Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica Istituto Muicipal de Esio Superior de Cataduva SP Curso de Liceciatura em Matemática 3º ao Prática de Esio da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Estudo da Fução Expoecial

Leia mais

Sequências, PA e PG material teórico

Sequências, PA e PG material teórico Sequêcias, PA e PG material teórico 1 SEQUÊNCIA ou SUCESSÃO: é todo cojuto ode cosideramos os seus elemetos colocados, ou dispostos, uma certa ordem. Cosiderado a sequêcia (; 3; 5; 7;...), dizemos que:

Leia mais

Estimação por Intervalo (Intervalos de Confiança):

Estimação por Intervalo (Intervalos de Confiança): Estimação por Itervalo (Itervalos de Cofiaça): 1) Itervalo de Cofiaça para a Média Populacioal: Muitas vezes, para obter-se a verdadeira média populacioal ão compesa fazer um levatameto a 100% da população

Leia mais

Análise de Regressão Linear Múltipla I

Análise de Regressão Linear Múltipla I Aálise de Regressão Liear Múltipla I Aula 04 Gujarati e Porter, 0 Capítulos 7 e 0 tradução da 5ª ed. Heij et al., 004 Capítulo 3 Wooldridge, 0 Capítulo 3 tradução da 4ª ed. Itrodução Como pode ser visto

Leia mais

LIMITES FUNDAMENTAL. Jair Silvério dos Santos * sen x

LIMITES FUNDAMENTAL. Jair Silvério dos Santos * sen x MATEMATICA APLICADA A NEGÓCIOS 4,?? 200) Cálculo Cálculo Diferencial e Integral I TEOREMA DO SANDUICHE LIMITES FUNDAMENTAL Jair Silvério dos Santos * Teorea 0 Dadas f, g, h : A R funções e 0 ponto de acuulação

Leia mais

Mas, a situação é diferente quando se considera, por exemplo, a

Mas, a situação é diferente quando se considera, por exemplo, a . NÚMEROS COMPLEXOS Se um corpo umérico uma equação algébrica ão tem raíes, é possível costruir outro corpo umérico, mais eteso, ode a equação se tora resolúvel. Eemplo: ± raíes irracioais Mas, a situação

Leia mais

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 - INTRODUÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES. Introdução.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 - INTRODUÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES. Introdução. 55 3 - INTRODUÇÃO À RESOLUÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES. Itrodução. No processo de resolução de um problema prático é reqüete a ecessidade de se obter a solução de um sistema de equações ão lieares. Dada

Leia mais

SUBSTITUIÇÕES ENVOLVENDO NÚMEROS COMPLEXOS Diego Veloso Uchôa

SUBSTITUIÇÕES ENVOLVENDO NÚMEROS COMPLEXOS Diego Veloso Uchôa Nível Avaçado SUBSTITUIÇÕES ENVOLVENDO NÚMEROS COMPLEXOS Dego Veloso Uchôa É bastate útl e probleas de olpíada ode teos gualdades ou quereos ecotrar u valor de u soatóro fazeros substtuções por úeros coplexos

Leia mais

Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra. Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Capítulo 1: Sucessões e séries

Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra. Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Capítulo 1: Sucessões e séries Departameto de Matemática - Uiversidade de Coimbra Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Exercícios Teórico-Práticos 200/20 Capítulo : Sucessões e séries. Liste os primeiros cico termos de cada uma das sucessões

Leia mais