CES Centro de Ensino Superior de C. Lafaiete Faculdade de Engenharia Elétrica Física II Prof. Aloísio Elói

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1 CES Cetro de Esio Superior de C. Lafaiete Faculdade de Egeharia Elétrica Física II Prof. Aloísio Elói Superposição e Odas Estacioárias Resumo Serway & Jewett, capítulo Pricípío da superposição: Se duas ou mais odas progressivas estão se movedo em um meio e se combiam em um dado poto, o deslocameto resultate do meio esse poto é a soma dos deslocametos das odas idividuais. Figuras 1, 2 e Odas lieares: são as que obedecem ao pricípio da superposição. As demais são chamadas de ão-lieares e têm, em geral, amplitudes grades. 3. Iterferêcia: Ver figuras 1, 2 e φ ( ) φ 2 2 Figura 1 Superposição: Iterferêcia costrutiva. Sey = Asekx ( ωt) e y = Asekx ( ωt+ φ) y= y+ y = Asekx ( ωt) + Asekx ( ωt+ φ) y= 2Acos sekx ( ωt+ ) Figura 2 Superposição: Iterferêcia destrutiva.

2 4. r φ =, ode λ 2π uma oda em relação a outra. 5. Odas estacioárias: Ver figura 4. r é um deslocameto arbitrário de Sey = Asekx ( ωt) e y = Asekx ( + ωt) 1 2 y= y + y = Asekx ( ωt) + Asekx ( + ωt) 1 2 y= (2 Asekx)cosωt Amplitude máxima λ x= ; = 1, 3, 5,... 4 Amplitude míima (= 0) odos λ x= ; = 1, 2, 3, 4, 5,... 2 atiodos 6. Odas estacioárias em cordas: Ver figura 5. 2 L λ = ; ( = v T f = = v= ;( = λ 2L 2L µ Figura 3 Superposição Figura 4 Oda estacioária em uma corda Figura 5 Odas estacioárias em cordas harmôicos de 1 a 3.

3 7. Odas estacioárias em coluas de ar: Ver figura 6. v Tubo aberto em ambas as extremidades: f = = v;( = λ 2L v Tubo aberto em uma das extremidades: f = = v;( = 1, 3, 5...) λ 4L 8. Batimetos: iterferêcia o tempo. Ver figura 7. Sey = Acos 2 πftey = Acos 2 πft y= y + y y= A(cos 2πft+ cos 2 πft) f f f + f y A π π 2 2 Figura 6 Odas estacioárias em coluas de ar = 2 cos 2 cos 2 Figura 7 - Batimetos Figura 8 Formas de oda para diapasão, flauta e clarieta

4 . 9. Padrões de oda ão seoidais Teorema de Fourier Ver figuras 8, 9 e 10. yt ( ) = ( Ase2πft+ Bse2 πft) Figura 9 Harmôicos das formas de oda represetadas a figura 8 Figura 10 Sítese de Fourier para uma oda quadrada

5 Exemplos 01 (14.1/482) Dois alto-falates separados pela distâcia de 3,00 m são excitados em fase pelo mesmo oscilador, coforme a figura ao lado. Um ouvite está origialmete o poto O, posicioado a 8,00 m do cetro da liha que coecta os dois alto-falates. O ouvite move-se etão para o poto P, que está a uma distâcia perpedicular de 0,350 m de O ates de alcaçar o primeiro cacelameto das odas, tedo por resultado um míimo a itesidade soora. Qual é a freqüêcia do oscilador? Cosidere a velocidade do som o ar como 343 m/s. 02 (14.2/485) Duas odas propagado-se em setidos opostos produzem uma oda estacioária. As fuções de oda idividuais y = (4,0 cmse ) (3,0x 2,0 t) ey = (4,0 cmse ) (3,0x+ 2,0 t). (a) Ecotre o deslocameto máximo de uma partícula do são 1 1 meio em x = 2,3 cm. (b) Ecotre as posições dos odos e dos atiodos. 03 ( 14.3/488) Uma corda C média em um piao tem a freqüêcia fudametal de 262 Hz e a ota lá tem a freqüêcia fudametal de 440 Hz. (a) Calcule as freqüêcias dos dois harmôicos seguites da corda C. (b) Se as cordas para as otas lá e dó tiverem a mesma massa por uidade de comprimeto e o mesmo comprimeto, determie a razão das tesões as duas cordas. 04 (14.4/491) Um tubo tem comprimeto de 1,23 m. (a) Determie as freqüêcias dos três primeiros harmôicos se o tubo estiver aberto as duas extremidades. (b) Quais são as três freqüêcias determiadas o item (a) se o tubo estiver fechado em uma extremidade? 05 (14.5/492) Um istrumeto simples para demostrar a ressoâcia em um tubo é descrito a figura ao lado. Um tubo logo, vertical, aberto as duas extremidades, é submerso parcialmete em um recipiete com água, e um diapasão de freqüêcia descohecida é colocado perto do topo desse tubo. O comprimeto L da colua de ar é ajustado movedo-se o tubo verticalmete. As odas sooras geradas pelo diapasão são reforçadas quado o comprimeto da colua de ar correspode a uma das freqüêcias de ressoâcia do tubo. Para um determiado tubo, o meor valor de L para o qual ocorre um pico a itesidade soora é 9,00 cm. A partir dessa medida, determie a freqüêcia do diapasão e o valor de L para os dois modos ressoates seguites. Exercícios 01 (01/501) Duas odas em uma corda são descritas pelas fuções de oda y = 3,0cos(4,0x 1,6 t) ey = 4,0 se(5,0x 2,0 t), 1 1 ode y e x estão em cetímetros e t está em segudos. Ecotre a superposição das odas y1+ y2 os potos (a) x = 1,00, t = 1,00, (b) x = 1,00, t = 0,500 e (c) x = 0,500, t = 0. (Lembre-se de que os argumetos das fuções trigoométricas estão em radiaos.) 02 (02/502) Dois pulsos odulatórios A e B estão se movedo em setidos opostos ao logo de uma corda retesada a uma velocidade de 2,00 cm/s. A amplitude de A é o dobro da amplitude de B. Os pulsos são mostrados a figura ao lado em t = 0. Faça um esboço da forma de oda da corda em t = 0, t = 1,5 s, t = 2,0 s, t = 2,5 s e t = 3,0 s.