ENGC33: Sinais e Sistemas II. 28 de novembro de 2016

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1 Somatório de covolução ENGC33: Siais e Sistemas II Departameto de Egeharia Elétrica - DEE Uiversidade Federal da Bahia - UFBA 8 de ovembro de 6 Prof. Tito Luís Maia Satos / 57

2 Sumário Itrodução Revisão 3 Itrodução ao somatótio de covolução 4 Somatório de covolução 5 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo 6 Equações à difereças 7 Cometários Fiais Prof. Tito Luís Maia Satos / 57

3 Sumário Itrodução Revisão 3 Itrodução ao somatótio de covolução 4 Somatório de covolução 5 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo 6 Equações à difereças 7 Cometários Fiais Prof. Tito Luís Maia Satos 3/ 57

4 Itrodução Represetação de siais em tempo discreto em termos de impulsos Objetivos da aula de hoje: Apresetar o somatório de covolução; Obter a resposta de um Sistema Liear Ivariate o Tempo (SLIT) a partir do somatório de covolução; Discutir sobre algumas propriedades do somatório de covolução; Itroduzir a represetação de sistemas em tempo discreto via equações a difereças. Prof. Tito Luís Maia Satos 4/ 57

5 Sumário Itrodução Revisão 3 Itrodução ao somatótio de covolução 4 Somatório de covolução 5 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo 6 Equações à difereças 7 Cometários Fiais Prof. Tito Luís Maia Satos 5/ 57

6 Revisão Aula passada Liearidade: Um sistema é liear se é válida a propriedade da superposição (aditividade e homogeeidade). x [] y [] x [] y [] Sistema Sistema αx [] αy [] x []+x [] y []+y [] Sistema Sistema Prof. Tito Luís Maia Satos 6/ 57

7 Revisão Aula passada Ivariâcia o tempo: Coceitualmete, um sistema é ivariate o tempo se o comportameto e as característica do mesmo são as mesmas ao logo do tempo. x[] Sistema y[] x[ ] y[ ] Sistema Sistemas lieares ivariates o tempo (SLIT ou LTI) importates a prática e simplificam a teoria. Prof. Tito Luís Maia Satos 7/ 57

8 Revisão Aula passada Ivariâcia o tempo: Coceitualmete, um sistema é ivariate o tempo se o comportameto e as característica do mesmo são as mesmas ao logo do tempo. x[] Sistema y[] x[ ] y[ ] Sistema Sistemas lieares ivariates o tempo (SLIT ou LTI) importates a prática e simplificam a teoria. Prof. Tito Luís Maia Satos 7/ 57

9 Revisão Aula passada Fução impulso uitário { {,, δ[] =, = δ[ ] =, = Observação. Observação. x[]δ[] = x[]δ[] x[]δ[ ] = x[ ]δ[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos 8/ 57

10 Sumário Itrodução Revisão 3 Itrodução ao somatótio de covolução 4 Somatório de covolução 5 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo 6 Equações à difereças 7 Cometários Fiais Prof. Tito Luís Maia Satos 9/ 57

11 Itrodução ao somatório de covolução Represetação de siais em tempo discreto em termos de impulsos Um sial x[] pode ser represetado pela combiação liear de impulsos uitários deslocados (δ[ ]). x[] 5 5 x[]δ[+] x[]δ[] x[]δ[ ] x[] x[] x[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos / 57

12 Itrodução ao somatório de covolução Represetação de siais em tempo discreto em termos de impulsos Um sial x[] pode ser represetado pela combiação liear de impulsos uitários deslocados (δ[ ]). Assim, x[] =...+x[ ]δ[+]+x[ ]δ[+]+x[]δ[] Ou alterativamete, + x[]δ[ ]+x[]δ[ ]+... x[] = = x[]δ[ ]. Resposta ao impulso de um SLIT os permite obter a resposta deste sistema a qualquer sial de etrada. Prof. Tito Luís Maia Satos / 57

13 Itrodução ao somatório de covolução Represetação de siais em tempo discreto em termos de impulsos Um sial x[] pode ser represetado pela combiação liear de impulsos uitários deslocados (δ[ ]). Assim, x[] =...+x[ ]δ[+]+x[ ]δ[+]+x[]δ[] Ou alterativamete, + x[]δ[ ]+x[]δ[ ]+... x[] = = x[]δ[ ]. Resposta ao impulso de um SLIT os permite obter a resposta deste sistema a qualquer sial de etrada. Prof. Tito Luís Maia Satos / 57

14 Itrodução ao somatório de covolução Somatório de covolução Sistema ivariate o tempo. δ[ ] Sistema h[ ] x[] Sistema y[] Somatório de covolução y[] = x[] h[] = x[]h[ ]. = Prof. Tito Luís Maia Satos / 57

15 Sumário Itrodução Revisão 3 Itrodução ao somatótio de covolução 4 Somatório de covolução 5 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo 6 Equações à difereças 7 Cometários Fiais Prof. Tito Luís Maia Satos 3/ 57

16 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Cosidere x[] h[] Prof. Tito Luís Maia Satos 4/ 57

17 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Cosidere x[] h[] Notem que y[] = x[] h[] = x[]h[]+x[]h[ ]..5h[] h[ ] 4 4 Prof. Tito Luís Maia Satos 5/ 57

18 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Assim.5h[] h[ ] resulta em 3 y[]=.5h[]+h[ ] 4 Prof. Tito Luís Maia Satos 6/ 57

19 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Sial deslocado u[+5].5.5 u[].5 u[ 5] Sial deslocado com reversão temporal u[ +5] u[ ] u[ 5] Prof. Tito Luís Maia Satos 7/ 57

20 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Sial deslocado u[+5].5.5 u[].5 u[ 5] Sial deslocado com reversão temporal u[ 5] u[ ] u[ +5] Prof. Tito Luís Maia Satos 8/ 57

21 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Cosiderem a mudaça de variável = : x[] h[] x[] h[] Prof. Tito Luís Maia Satos 9/ 57

22 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Sedo y[] = = x[]h[ ] x[] h[] x[] h[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos / 57

23 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Sedo y[ ] = x[]h[ ] = = x[] h[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos / 57

24 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Sedo y[] = = x[]h[ ] =, 5 x[] h[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos / 57

25 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Sedo y[] = = x[]h[ ] =, 5 x[] h[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos 3/ 57

26 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Sedo y[] = x[]h[ ] =, 5 = x[] h[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos 4/ 57

27 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Sedo y[3] = x[]h[3 ] =, = x[] h[3 ] Prof. Tito Luís Maia Satos 5/ 57

28 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Sedo y[4] = x[]h[4 ] = = x[] h[4 ] Prof. Tito Luís Maia Satos 6/ 57

29 Somatório de covolução Exemplo. (Oppeheim,Willlsy; 997) Foram utilizados métodos para solução dos exemplos (./.): Decompor x[] em siais do tipo impulso e calcular o somatório do efeito de cada um deles. Calcular o somatório do efeito do sial de etrada deslizado a resposta ao impulso deslocada h[ ] ao logo de x[]. x[] h[] Prof. Tito Luís Maia Satos 7/ 57

30 Somatório de covolução Exemplo.3 (Oppeheim,Willlsy; 997) Determiar a resposta y[] de um sistema o qual h[] = u[] e o sial de etrada é dado por x[] = α u[] com < α <. Sabemos que e de maeira que y[] = x[] = y[] = = x[]h[ ] {, < α, α h[ ]. = Prof. Tito Luís Maia Satos 8/ 57

31 Somatório de covolução Exemplo.3 (Oppeheim,Willlsy; 997) Determiar a resposta y[] de um sistema o qual h[] = u[] e o sial de etrada é dado por x[] = α u[] com < α <. Sabemos que e de maeira que y[] = x[] = y[] = = x[]h[ ] {, < α, α h[ ]. = Prof. Tito Luís Maia Satos 8/ 57

32 Somatório de covolução Exemplo.3 (Oppeheim,Willlsy; 997) Determiar a resposta y[] de um sistema o qual h[] = u[] e o sial de etrada é dado por x[] = α u[] com < α <. Além da relação sabe-se que ou y[] = α h[ ], = h[ ] = u[ ] = h[ ] = u[ ] = {, <, {, <,. Assim, chega-se a y[] = α. = Prof. Tito Luís Maia Satos 9/ 57

33 Somatório de covolução Exemplo.3 (Oppeheim,Willlsy; 997) Determiar a resposta y[] de um sistema o qual h[] = u[] e o sial de etrada é dado por x[] = α u[] com < α <. Além da relação sabe-se que ou y[] = α h[ ], = h[ ] = u[ ] = h[ ] = u[ ] = {, <, {, <,. Assim, chega-se a y[] = α. = Prof. Tito Luís Maia Satos 9/ 57

34 Somatório de covolução Exemplo.3 (Oppeheim,Willlsy; 997) Determiar a resposta y[] de um sistema o qual h[] = u[] e o sial de etrada é dado por x[] = α u[] com < α <. Além da relação sabe-se que ou Assim, chega-se a y[] = α h[ ], = h[ ] = u[ ] = h[ ] = u[ ] = y[] = = {, <, {, <,. α = α+ α. Prof. Tito Luís Maia Satos 3/ 57

35 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Determiar a resposta y[] de um sistema o qual {, 4 x[] =, outros casos e h[] = { α, 6, outros casos. Notar que o euciado poderia apresetar x[] = u[] u[ 5] e h[] = α (u[] u[ 7]). Prof. Tito Luís Maia Satos 3/ 57

36 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Determiar a resposta y[] de um sistema o qual {, 4 x[] =, outros casos e h[] = { α, 6, outros casos. Notar que o euciado poderia apresetar x[] = u[] u[ 5] e h[] = α (u[] u[ 7]). Prof. Tito Luís Maia Satos 3/ 57

37 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Cosiderem a mudaça de variável = : x[] h[] x[].5.5 h[].5.5 Prof. Tito Luís Maia Satos 3/ 57

38 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Sedo y[] = = x[]h[ ] x[] h[] x[].5.5 h[ ] Surgirão 5 situações diferetes. Prof. Tito Luís Maia Satos 33/ 57

39 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Primeira situação <. x[].5.5 h[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos 34/ 57

40 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Primeira situação <..5 x[].5 6 h[ ].5.5 Neste caso x[]h[ ] =,. Prof. Tito Luís Maia Satos 35/ 57

41 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Seguda situação e 4. x[].5.5 h[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos 36/ 57

42 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Seguda situação e 4..5 x[].5 6 h[ ].5.5 Neste caso ( 4) x[]h[ ] = { a,, para outros casos Prof. Tito Luís Maia Satos 37/ 57

43 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Terceira situação > 4 e 6. x[].5.5 h[5 ] Prof. Tito Luís Maia Satos 38/ 57

44 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Terceira situação > 4 e 6..5 x[].5 h[5 ] Neste caso (4 < 6) x[]h[ ] = { a, 4, para outros casos Prof. Tito Luís Maia Satos 39/ 57

45 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Quarta situação 6 > e 6 4. x[].5.5 h[8 ] Prof. Tito Luís Maia Satos 4/ 57

46 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Quarta situação 6 > e x[].5 h[8 ] Neste caso (6 < ) x[]h[ ] = { a, ( 6) 4, para outros casos Prof. Tito Luís Maia Satos 4/ 57

47 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Quarta situação 6 > e x[].5 h[8 ] Neste caso (6 < ) x[]h[ ] = { a, ( 6) 4, para outros casos Prof. Tito Luís Maia Satos 4/ 57

48 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Quita situação 6 > 4. x[].5.5 h[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos 4/ 57

49 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Quita situação 6 > 4. x[].5.5 h[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos 43/ 57

50 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Quita situação 6 > 4. x[].5.5 h[ ] Prof. Tito Luís Maia Satos 43/ 57

51 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Assim chegamos a:, < = α, 4 y[] = 4 = α, 4 < 6 4 = 6 α, 6 <, <. Prof. Tito Luís Maia Satos 44/ 57

52 Somatório de covolução Exemplo.4 (Oppeheim,Willlsy; 997) Assim chegamos a:, < y[] = α + α, 4 α 4 α + α, 4 < 6 α 4 α 7 α, 6 <, <. Prof. Tito Luís Maia Satos 45/ 57

53 Sumário Itrodução Revisão 3 Itrodução ao somatótio de covolução 4 Somatório de covolução 5 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo 6 Equações à difereças 7 Cometários Fiais Prof. Tito Luís Maia Satos 46/ 57

54 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Caracterização via resposta ao impulso Apeas os sistemas lieares ivariates o tempo são completamete determiados pela resposta ao impulso. Exemplo h[] = u[] u[ ] está relacioada a Para casos ão-lieares está relacioada a y[] = x[]+x[ ]. h[] = u[] u[ ] y[] = x[] + x[ ] ou y[] = max(x[], x[ ]). Prof. Tito Luís Maia Satos 47/ 57

55 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Propriedade comutativa Neste caso x[] h[] = h[] x[] = h[]x[ ] = Prova. Seja x[] h[] = x[]h[ ], = etão pode-se cosiderar r = = r. De maeira que r, e r,. Assim x[] h[] = x[ r]h[r] = x[ r]h[r] = h[] x[]. = = Prof. Tito Luís Maia Satos 48/ 57

56 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Propriedade comutativa Neste caso x[] h[] = h[] x[] = h[]x[ ] = Prova. Seja x[] h[] = x[]h[ ], = etão pode-se cosiderar r = = r. De maeira que r, e r,. Assim x[] h[] = x[ r]h[r] = x[ r]h[r] = h[] x[]. = = Prof. Tito Luís Maia Satos 48/ 57

57 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Propriedade comutativa Neste caso x[] h[] = h[] x[] = h[]x[ ] = Prova. Seja x[] h[] = x[]h[ ], = etão pode-se cosiderar r = = r. De maeira que r, e r,. Assim x[] h[] = x[ r]h[r] = x[ r]h[r] = h[] x[]. = = Prof. Tito Luís Maia Satos 48/ 57

58 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Propriedade distributiva Neste caso x[] (h []+h []) = x[] h []+x[] h [] Prova. Seja x[] h[] = x[]h[ ], = com h[] = h []+h []. Assim x[] h[] = x[](h [ ] + h [ ]) = = x[]h [ ] + x[]h [ ] = x[] h []+x[] h [] = = Prof. Tito Luís Maia Satos 49/ 57

59 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Propriedade distributiva Neste caso x[] (h []+h []) = x[] h []+x[] h [] Prova. Seja x[] h[] = x[]h[ ], = com h[] = h []+h []. Assim x[] h[] = x[](h [ ] + h [ ]) = = x[]h [ ] + x[]h [ ] = x[] h []+x[] h [] = = Prof. Tito Luís Maia Satos 49/ 57

60 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Propriedade associativa Neste caso y[] = (x[] h []) h [] = x[] (h [] h []) Qualitativamete. A resposta de um sistema liear h[] = h [] h [] ao sial x[] equivale à resposta do sistema h [] ao sial z[] = x[] h []. x[] z[] y[] Sistema Sistema Prof. Tito Luís Maia Satos 5/ 57

61 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Propriedade associativa Neste caso y[] = (x[] h []) h [] = x[] (h [] h []) Qualitativamete. A resposta de um sistema liear h[] = h [] h [] ao sial x[] equivale à resposta do sistema h [] ao sial z[] = x[] h []. x[] z[] y[] Sistema Sistema Prof. Tito Luís Maia Satos 5/ 57

62 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Sistemas iversíveis Neste caso y[] = x[] h[] y[] h [] = x[] Observação. Para tato basta que h[] h [] = δ[]. x[] x[] Sistema Sistema Prof. Tito Luís Maia Satos 5/ 57

63 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Sistemas iversíveis Neste caso y[] = x[] h[] y[] h [] = x[] Observação. Para tato basta que h[] h [] = δ[]. x[] x[] Sistema Sistema Prof. Tito Luís Maia Satos 5/ 57

64 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Causalidade Neste caso h[] =, < Observações. Com relação ao somatório de covolução: y[] = x[]h[ ] = ou alterativamete com r = y[] = x[ r]h[r] r= Prof. Tito Luís Maia Satos 5/ 57

65 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Causalidade Neste caso h[] =, < Observações. Com relação ao somatório de covolução: y[] = x[]h[ ] = ou alterativamete com r = y[] = x[ r]h[r] r= Prof. Tito Luís Maia Satos 5/ 57

66 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Estabilidade Etrada limitada saída limitada. Observações. Cosiderado x[] < B,, pode-se obter y[] = x[ ]h[] x[ ]h[] = h[] B = B = = = h[] assim chega-se à seguite codição y[] B h[] < = se h[] <. = Prof. Tito Luís Maia Satos 53/ 57

67 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo Estabilidade Etrada limitada saída limitada. Observações. Cosiderado x[] < B,, pode-se obter y[] = x[ ]h[] x[ ]h[] = h[] B = B = = = h[] assim chega-se à seguite codição y[] B h[] < = se h[] <. = Prof. Tito Luís Maia Satos 53/ 57

68 Sumário Itrodução Revisão 3 Itrodução ao somatótio de covolução 4 Somatório de covolução 5 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo 6 Equações à difereças 7 Cometários Fiais Prof. Tito Luís Maia Satos 54/ 57

69 Equações à difereças Equações à difereças com coeficietes costates Correspodem à equação diferecial para sistemas em tempo discreto. São apresetadas a forma ou N M a y[ ] = b x[ ] = = { N } y[] = M a y[ ]+ b x[ ] a = = Exemplos: Cadereta de poupaça y[] = y[ ]+ry[ ]+x[] = (+r)y[ ]+x[] Filtro média móvel y[] = M x[]+ M x[ ]+...+ x[ M + ] M Prof. Tito Luís Maia Satos 55/ 57

70 Equações à difereças Equações à difereças com coeficietes costates Correspodem à equação diferecial para sistemas em tempo discreto. São apresetadas a forma ou N M a y[ ] = b x[ ] = = { N } y[] = M a y[ ]+ b x[ ] a = = Exemplos: Cadereta de poupaça y[] = y[ ]+ry[ ]+x[] = (+r)y[ ]+x[] Filtro média móvel y[] = M x[]+ M x[ ]+...+ x[ M + ] M Prof. Tito Luís Maia Satos 55/ 57

71 Equações à difereças Equações à difereças com coeficietes costates Correspodem à equação diferecial para sistemas em tempo discreto. São apresetadas a forma ou N M a y[ ] = b x[ ] = = { N } y[] = M a y[ ]+ b x[ ] a = = Exemplos: Cadereta de poupaça y[] = y[ ]+ry[ ]+x[] = (+r)y[ ]+x[] Filtro média móvel y[] = M x[]+ M x[ ]+...+ x[ M + ] M Prof. Tito Luís Maia Satos 55/ 57

72 Sumário Itrodução Revisão 3 Itrodução ao somatótio de covolução 4 Somatório de covolução 5 Propriedades de sistemas lieares ivariates o tempo 6 Equações à difereças 7 Cometários Fiais Prof. Tito Luís Maia Satos 56/ 57

73 Cometários Fiais Nesta aula apresetou-se o somatório de covolução; Vimos algumas propriedades de sistemas lieares o cotexto do somatório de covolução; Apresetou-se a oção de equações a difereças. Na próxima aula discutiremos sobre: Série de fourier. Prof. Tito Luís Maia Satos 57/ 57

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