Até que tamanho podemos brincar de esconde-esconde?

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1 Até que tamaho podemos bricar de escode-escode? Carlos Shie Sejam K e L dois subcojutos covexos e compactos de R. Supoha que K sempre cosiga se escoder atrás de L. Em termos mais precisos, para todo vetor uitário u R, a projeção ( )- dimesioal L u de L a direção u, ou seja, o espaço u, cotém a projeção aáloga K u. O que podemos afirmar sobre os volumes -dimesioais de K e L? Talvez seja uma surpresa que vol (K) possa ser maior do que vol (L), como mostra o exemplo a seguir: o círculo tem projeção de comprimeto igual à altura do triâgulo equilátero, e a razão etre suas áreas é π 3 4,36. Na verdade, para duas dimesões, pode-se provar que area(k) 3 2 area(l). Você cosegue ecotrar um caso de igualdade? E demostrar a desigualdade? Veremos aqui que o sólido K ão pode ser muito maior do que L, porém, em um resultado provado em...20! Prelimiares sobre sólidos covexos e compactos Primeiro, lembremos que se v é um vetor costate ão-ulo e x um vetor variável, etão a equação v x = c, sedo c uma costate real, represeta um hiperplao de dimesões. Dado um compacto covexo K, defiimos a sua fução suporte h K : R R como h K (v) = max x K x v que é o último hiperplao ormal a v que itercepta K. Pesado dessa forma, é fácil ver que se K e L são dois compactos covexos etão h K = h L K = L (imagie que os hiperplaos tateam os sólidos, e aí determiamos suas bordas). Note que x v h K (v) para x K. Defiimos os potos de K que satisfazem a igualdade como K u. Agora, vamos fazer operações com os compactos. Primeiro, se fizermos uma traslação K+x em K, obtemos h K+x (v) = h K (v)+x v Se fizemos uma homotetia αk de K (α R), temos também h αk (v) = αh K (v) Podemos esteder isso para a soma de Mikowski de dois compactos covexos K e L: sedo K+L = {k +l : k K e l L}, h K+L (v) = h K (v)+h L (v), o que dá uma cara de fução liear. Vamos provar algus teoremas agora.

2 . Teoremas de Helly e Lutwak Começamos com o clássico teorema de Helly: Teorema (Teorema de Helly). Seja F uma família de compactos covexos em R. Se quaisquer + cojutos de F têm um poto em comum, etão todos os elemetos de F têm um poto em comum. Demostração: Começamos com um resultado bem simples de Rado. Cosidere + 2 potos p,p 2,...,p +2 R. Etão existem reais x,x 2,...,x +2, ão todos ulos, tais que +2 p i x i = 0 e +2 x i = 0 (ote que a primeira equação temos o vetor ulo e a seguda, o escalar zero.) Eles existem pois o sistema acima tem + equações e + 2 variáveis. Seja I o cojuto dos x i s positivos e J o cojuto dos x j s egativos ou ulos. Cosidere o poto P = x i x i I S P i = x j x j J S P j, sedo S = x x i I i = x x j J j. Note que P é uma combiação liear positiva dos P i s com ídices de I e também é combiação liear positiva dos P j s com ídices em J. Etão, todo cojuto de +2 de R pode ser particioado em dois cojutos cujos fechos covexos têm iterseção ão vazia. Vamos usar esse resultado para provar o teorema de Helly para cojutos fiitos (para cojutos ifiitos, usecompacidade). Sejam = F. Provaremosoresultadoporiduçãosobrem. Param = +2, sejam X,X 2,...,X +2 e seja P i a iterseção de todos os cojutos tirado X i. Agora, aplique o resultado para os potos P i, i +2, ou seja, particioe o cojuto dos P i s em dois cojutos A e A 2 tais que os fechos covexos de A e A 2 teham um poto P em comum. Afirmamos que P está em todos os +2 sólidos. Cosidere um sólido X j qualquer. O úico poto P i que pode ão estar em X j é P j. Se (sem perda de geeralidade) P j A, etão A 2 X j, e sedo X j covexo, ele cotém o fecho covexo de A 2 e portato cotém P. Logo P está em todo X j, e a base acabou. Agora supoha que m > +2 e que o resultado é verdadeiro para m sólidos. Etão a base mostra que quaisquer d+2 sólidos têm um poto em comum. Troque dois deles pela iterseção, e obteha m sólidos dos quais quaisquer d+ têm um poto em comum, e o resultado segue pela hipótese de idução aplicada aos m sólidos. Vamos usar o teorema de Helly para provar um teorema que vai ser decisivo, pois os idica um critério para saber quado um sólido está cotido em outro. Primeiro, defiimos um -simplexo como o fecho covexo de um cojuto de + potos de R em posição geral (ou seja, um -simplexo é uma geeralização de triâgulos e tetraedros). Teorema 2 (Teorema da iclusão de Lutwak). Sejam K e L compactos covexos. Supoha que, para todo -simplexo que cotém L, existe um vetor de traslação v tal que K +v. Etão existe um vetor v R tal que K +v L. Demostração: A ideia é razoavelmete atural: primeiro provamos o teorema para L sedo um politopo (sólidos defiidos como a iterseção de semiespaços) e depois costruímos uma sequêcia de politopos tededo a L. Efim, começamos com um politopo L com faces F,F 2,...,F m. Seja u i o vetor ormal a F i, apotado para fora de L. Supoha, sem perda de geeralidade, que os vetores u i são liearmete idepedetes (caso cotrário, perturbe os vetores um pouquiho). Para cada face F i, seja H i o hiperplao determiado por F i e H + i o semiespaço fechado por H i que cotém L. Seja T i o cojuto dos vetores v tais que K +v H + i. Como H+ i é fechado e K é compacto, o cojuto T i é fechado e ão-vazio. Como os u i são liearmete idepedetes, qualquer escolha de + vetores faz com que a iterseção dos H i s correspodetes coteha um simplexo que cotém L ou é ilimitada e cotém qualquer coisa. No primeiro caso, a hipótese do teorema implica que existe v tal que K +v ; o segudo caso, é claro que existe um vetor v tal que K +v está a iterseção. De qualquer forma, existe v a iterseção dos + cojutos T i correspodetes. Agora podemos usar o teorema de Helly e otar que existe um v que está a iterseção de todos os T i s. Logo K +v H + i para i m. Mas sedo L = m H+ i, K +v L. 2

3 Para acabar, cosidere L qualquer e seja {P i } i 0 uma sequêcia decrescete (P i+ P i ) de politopos cujo limite é L, com faces liearmete idepedetes. Se é um simplexo cotedo P i, etão L P i, etão existe w tal que K + w. Como o teorema vale para P i, existe um vetor v i tal que K +v i P i. Como P i é descrescete, {v i } i 0 é limitada e cotém uma subsequêcia covergete. Seja v o limite. Etão como P i L, K +v L. 2 Escodedo atrás de simplexos Com o último teorema em mãos, parece razoável adotar a seguite liha de ataque: primeiro trabalhamos com L sedo um simplexo e depois tetamos usar o teorema para resolver o caso geral. Na verdade, começamos com um simplexo particular. Defia Ξ como o simplexo cujos vértices são 0 e e i, i, sedo e i o vetor uitário o i-ésimo eixo (Ξ é o catiho ( do R ). Os vetores ormais uitários exteriores das faces são e, e 2,..., e,v, sedo v = ( Agora defia D como o fecho covexo de Ξ e P =,,...,,,..., w i = (,,...,,0,,...,,) o vetor cujas etradas são todas, exceto a i-ésima, que é zero, podemos defiir D como a iterseção dos semiespaços ( ) ( ) D = {x e i x 0} {x w i x } ). ). Alterativamete, sedo Qual a relação etre D e Ξ? Lembre que Ξ ei é a projeção a direção e i, ou seja, é a face ormal a e i. Cosidere o prisma C i = Ξ ei +E i, sedo E i o segmeto que liga 0 a e i. Note que C i cotém Ξ. C i também pode ser expresso como iterseção de semiespaços: C i = {x e j x 0} {x e i x } {x w i x } j= Das defiições de C i e D, temos que Agora vamos ao resultado: D = Teorema 3. Seja K um compacto covexo tal que toda projeção Ξ u cotém uma traslação da projeção correspodete K u. Etão existe um vetor x R tal que C i K +x D Ξ. Demostração: Não há muito o que fazer a ão ser ecostar K o cato, ou seja, traslade K de modo que todo hiperplao coordeado e i toque K. Sedo mais preciso, faça com que h K ( e i ) = 0. Vamos os referir a essa traslação como K idistitamete. Seja y K, com coordeadas (y,y 2,...,y ). Claramete temos y i 0. Sabemos que cada projeção Ξ u cotém uma traslação de K u. Em particular, existe um vetor x = (0,x 2,...,x ) e tal que K e +x Ξ e. Para i >, temos Logo h Ke ( e i )+x ( e i ) = h Ke +x( e i ) h Ξ ( e i ) = 0 0 h Ke ( e i )+x ( e i ) = h K ( e i )+x ( e i ) = 0 x i = x i 0 Agora, temos x y 0, pois todas as etradas de x e y são ão egativas. Portato, sedo y e a projeção de y sobre o hiperplao coordeado e, h Ke (y e ) = h Ke (y) h Ke (y)+x y = h Ke +x(y) h Ξe (y) = Ξ e (y e ) 3

4 Além disso, h Ke ( e i ) = 0 = h Ξe ( e i ) para i >. Logo K e está em todos os semiespaços de e que defiem o simplexo ( )-dimesioal Ξ e. Ou seja, K e Ξ e. É claro que esse argumeto vale para todas as dimesões, logo K ei Ξ ei, i. Por causa disso, a largura de K em qualquer dimesão é meor ou igual a e, sedo K ei Ξ ei, K C i também. Deste modo, K C i = D. Para termiar, basta otar que P pertece ao hiperplao x i =, de modo que P É claro que os outros vértices de D também pertecem a Ξ, logo D Ξ. Ξ. Esse caso particular, a verdade, é praticamete o que os dá mais trabalho. Vamos geeralizar para simplexos quaisquer: Teorema 4. Sejam K e L compactos covexos e ψ: R R uma trasformação liear ivertível. Etão L u cotém uma traslação de K u para todo vetor uitário u se, e somete se, (ψl) u cotém uma traslação de (ψk) u para todo u. Demostração: Dado S R e um vetor ão ulo v, seja L S (u) o cojuto de retas em R paralelas a u que cortam S. A projeção L u cotém uma traslação de K u para cada vetor uitário u se, e somete se, para cada u existe v u tal que L K+vu (u) L L (u). Mas L K+vu (u) = L K (u)+v u e ψl K (u) = L ψk (ψu). Assim, a última codição ocorre se, e somete se, L K (u)+v u L L (u), o que ocorre, por sua vez, se e somete se, L ψk (ψu)+ψv u L ψl (ψu) para todo u uitário. Aí é só ormalizar ψu para ũ, e sedo ṽ = ψv u, temos L ψk (ũ)+ṽ L ψl (ũ) para todo ũ uitário, que é o mesmo que dizer que (ψl)ũ cotém uma traslação de (ψk)ũ para todo ũ uitário. Com isso, ão é difícil esteder o simplexo particular para um geral. 3 O teorema pricipal Agora sim, podemos provar o teorema pricipal. Teorema 5. Sejam K e L compactos covexos tais que toda projeção L u cotém uma traslação da projeção correspodete K u. Etão existe um vetor x R tal que K +x L. Demostração: Seja T um simplexo que cotém L. Temos que T u cotém uma traslação de K u. Sejam Ξ e D os sólidos defiidos a seção aterior e ψ uma trasformação afim ivertível tal que ψt = Ξ. Pelo teorema 4, toda projeção (ψt) u = Ξ u cotém uma traslação de (ψk) u de ψk. Etão, pelo teorema 3, existe x R tal que ψk +x D Ξ Como ψ é afim e ivertível, o simplexo T = T cotém uma traslação de K. Além disso, T circuscreve L se, e somete se, T circuscreve L. Etão todo simplexo circuscrito T cotém uma traslação de K. Pelo teorema da iclusão de Lutwak, L cotém uma traslação de K. E com isso, provamos que 4

5 Corolário. Sejam K e L compactos covexos tais que toda projeção L u cotém uma traslação da projeção correspodete K u. Etão ( ) vol(k) vol(l). Demostração: Seja x tal que, de acordo com o teorema aterior, K +x L. Etão (( ) ) ( ) vol(k) = vol(k +x) vol L = vol(l). 4 Uma costate uiversal ( Como ) e quado vai para o ifiito, é possível achar uma costate uiversal c para a qual compactos covexos K e L as codições do teorema aterior satisfazem Estudos ateriores de Ball mostram que vol(k) c vol(l) vol(k),696 vol(l). Para > 6, o teorema os dá valores melhores. Para = 6 a costate é, ,865 e para = 7 é ( 7 6) 7 2,942. Etão provamos que Corolário 2. Sejam K e L compactos covexos tais que toda projeção L u cotém uma traslação da projeção correspodete K u. Etão vol(k) 2,942 vol(l). 5 Mais algus resultados e problemas em aberto As ideias acima podem ser geeralizadas para projeções em dimesões meores. De fato, se pesarmos em projeções em espaços de dimesão d, basta trocar por d, e aí a razão etre volumes vai para e d. Mas várias pergutas cotiuam sem resposta. ( ) A costate 2,942 parece ser aida muito grade, e de fato, cojectura-se que podemos trocar por. Para = 2 dimesões já se sabe que a melhor costate é 3 2, mas ada se sabe para dimesões maiores. Se você se iteressou, taí algo para se trabalhar! 6 Bibliografia. C. Che, T. Khovaova, D. Klai. Volume bouds for shadow coverig. Dispoível em 2. D. Klai, G.-C. Rota. Itroductio to Geometric Probability. 5

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