DFS Série Discreta de Fourier DFT Transformada Discreta de Fourier Convolução Circular

Transcrição

1 Sistemas de Processameto Digital Egeharia de Sistemas e Iformática Ficha 4 /6 4.º Ao/.º Semestre DFS Série Discreta de Fourier DFT Trasformada Discreta de Fourier Covolução Circular Série Discreta de Fourier (DFS) X DFS x x W com Equação de Aálise: = = = = Equação de Sítese: = = x IDFS X X W W = e π j Exercício Implemete em MatLab as duas fuções DFS e IDFS a forma mais eficiete através da utilização de uma multiplicação matriz-vector. fuctio [X] = dfs(x) % Computes Discrete Fourier Series Coefficiets % % [X] = dfs(x) % X = DFS coeff. array over <= <= - % x = Oe period of periodic sigal over <= <= - % = legth(x); = :-; % row vector for = :-; % row vecor for W = exp(-j**pi/); % W factor = '*; % creates a by matrix of values W = W.^ ; % DFS matrix X = x * W; % row vector for DFS coefficiets fuctio [x] = idfs(x) % Computes Iverse Discrete Fourier Series % % [x] = idfs(x) % x = Oe period of periodic sigal over <= <= - % X = DFS coeff. array over <= <= - % = legth(x); = :-; % row vector for = :-; % row vecor for W = exp(-j**pi/); % W factor = '*; % creates a by matrix of values W = W.^ (-); % IDFS matrix x = (X * W)/; % row vector for IDFS values Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso

2 Exercício Determie a DFS da seguite sequêcia periódica: x( ) = {..., 333,,,,,,,,,,,,...} a) Por cálculo aalítico Cosiderado = 4 obtém-se Etão: b) Por cálculo computacioal (usado a fução implemetada ateriormete). Exercício 3 Uma sequêcia periódica duma oda quadrada é dada por:, m m + L x = com m =, ±, ±,..., m + L ( m+ ) ode é o período fudametal e L/ é o duty cycle. Para L= e = temos a seguite sequêcia: Três periodos de x(). x() L = ; = ; x = [oes(,l), zeros(,-l)]; x = [x x x]; = -::*-; stem(,x); xlabel(''); ylabel('x()') title('três periodos de x()') axis([-,*-,-.,.]) Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso

3 a) Determie a expressão para X ( ) em termos de L e. com b) Trace o módulo X ( ) para L= e =, L= e =4, L= e =6, L=7 e =6. Comete os resultados. % Exercício 3.b) L = [ 7]; = [ 4 6 6]; for r=:4 x = [oes(,l(r)), zeros(,(r)-l(r))]; X = dfs(x); magx = abs([x((r)/+:(r)) X(:(r)/+)]); = [-(r)/:(r)/]; subplot(4,,r); stem(,magx); axis([-(r)/,(r)/,-.,l(r)+.]) xlabel(''); ylabel('x()'); title(spritf('dfs para L=%i e =%i',l(r),(r))) ed Relação da DFS com a DTFT (Discrete Time Fourier Trasform) jω =. jω Cosiderado que a DTFT é dada por: X ( e ) se Comparado a DFS temos X = X ( e jω ) = ω = x e π. O itervalo de amostragem é w =. π Exercício 4 do exercício. Seja a sequêcia x( ) = {..., 333,,,,,,,,,,,,...} j a) Determie a sua DTFT X ( e ω ) j b) Amostre X ( e ω ) em = = e verifique se é igual a X ( ) π w, 3,,, do exercício. coforme esperado! Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso 3

4 Trasformada Discreta de Fourier (DFT) X = DFT x = x W com e Trasformada directa: = x = IDFT X = X W com Trasformada iversa: Se x = x = x mod = etão a DFS e a DFT são idêticas. W = e π j Crie em MatLab as duas fuções DFT e IDFT através da alteração dos omes da DFS e IDFS. fuctio [X] = dft(x) e fuctio [x] = idft(x) Crie em MatLab a fução mod da seguite forma: fuctio m = mod(, ) m = rem(, ); m = + ; m = rem(, ); Exercício Cosidere a sequêcia a) Determie e trace e x ( ) x =. 8, e a propriedade de simetria circular (foldig): x ( ) x, = =. x,. Compare os dois siais. % Exercício.a) = :; x = *(.8).^ ; x(mod(-,)+); subplot(,,); stem(,x); title('sequecia Origial ') xlabel(''); ylabel('x()'); axis([-.,.,-,]) subplot(,,); stem(,y); title('sequecia simetrica Circular') xlabel(''); ylabel('x(- mod )'); axis([-.,.,-,]) Sequecia Origial x() Sequecia simetrica Circular x(- mod ) Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso 4

5 b) Verifique a propriedade de simetria circular e da respectiva trasformada: X, = DFT x( ) X (( )) = = X, ota: o MatLab, a simetria circular obtém-se fazedo x x( mod(,) ) = +. % Exercício.b) X = dft(x,); Y = dft(y,); subplot(,,); stem(,real(x)); axis([-.,.,-,]) title('real{dft[x()]}'); xlabel(''); subplot(,,); stem(,imag(x)); axis([-.,.,-,]) title('imag{dft[x()]}'); xlabel(''); subplot(,,3); stem(,real(y)); axis([-.,.,-,]) title('real{dft[x((-))]}'); xlabel(''); subplot(,,4); stem(,imag(y)); axis([-.,.,-,]) title('imag{dft[x((-))]}'); xlabel(''); 4 3 RealDFT[x()] ImagDFT[x()] - RealDFT[x((-))] - ImagDFT[x((-))] Exercício 6 Desevolva uma fução em MatLab que decompoha uma sequêcia de potos as suas compoetes circulares Par e Ímpar, defiidas da seguite forma: + ( ) e x x ( ) x ( ) xpar x x ímpar fuctio [xec, xoc] = circevod(x) % sigal decompositio ito circular-eve ad circular-odd parts % % [xec, xoc] = circevod(x) % if ay(imag(x) ~= ) error('x is ot a real sequece') ed = legth(x); = :(-); xec =.*(x + x(mod(-,)+)); xoc =.*(x - x(mod(-,)+)); Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso

6 Exercício 7 Cosidere ovamete a sequêcia x( ) = (. 8),. a) Decompoha e trace as compoetes par e ímpar de x( ). Circular-eve compoet xec() Circular-odd compoet xoc() b) Verifique as seguites propriedades da simetria circular: par = = ( ) e X ímpar = Im X = Im X X Re X Re X % Exercício 7.b) X = dft(x,); Xec = dft(xec,); Xoc = dft(xoc,); subplot(,,); stem(,real(x)); axis([-.,.,-,]) title('real{dft[x()]}'); xlabel(''); subplot(,,); stem(,imag(x)); axis([-.,.,-,]) title('imag{dft[x()]}'); xlabel(''); subplot(,,3); stem(,real(xec)); axis([-.,.,-,]) title('dft[xec()]'); xlabel(''); subplot(,,4); stem(,imag(xoc)); axis([-.,.,-,]) title('dft[xoc()]'); xlabel(''); 4 3 RealDFT[x()] DFT[xec()] ImagDFT[x()] - DFT[xoc()] - - Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso 6

7 Exercício 8 Cosidere ovamete a sequêcia x =. 8,. fuctio cirshftt(x,m,) % Circular shift of m samples wrt size i sequece x: (time domai) % % [y] = cirshftt(x,m,) % output sequece cotaiig the circular shift % x = iput sequece of legth <= % m = sample shift % = size of circular buffer % Method: y() = x((-m) mod ) if legth(x) > % Chec for legth of x error(' must be >= the legth of x') ed x = [x zeros(,-legth(x))]; = [::-]; = mod(-m,); x(+); x + que represeta um deslocameto circular em direcção à esquerda. a) Represete ( 4) x() Origial Extesão periodica - Deslocameto Periodico - Deslocameto circular b) Represete ( 3) - - x que represeta um deslocameto circular em direcção à direita, ode se assume que a sequêcia tem um comprimeto de potos (por adição de zeros). Sequêcia origial Sequêcia com deslocameto circular, = x() x((-3) mod ) Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso 7

8 c) Represete ( 6) x que represeta um deslocameto circular em direcção à direita. Sequêcia origial Sequêcia com deslocameto circular, = x() x((-6) mod ) Covolução Circular Defiição: x x = x m x m, m= Propriedades da covolução circular: Covolução o tempo: DFT x x = X ( ).X ( ) Multiplicação o tempo: DFT x ( ).x = X ( ) X ( ) Relação com a covolução liear: x x = x x se a x ( ) e x acrescetados zeros de forma a terem = + - potos. forem Exercício 9 Cosidere as sequêcias x ( ) = {,, } e x ( ) {,,, } = 34. a) Calcule a covolução circular de 4 potos x 4 x. Abordagem o tempo: Para = : Para = : Para = : Para = 3: Abordagem a frequêcia: DFT de x (): DFT de x (): Multiplicação: Após a IDFT: coforme era esperado! Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso 8

9 b) Utilize o MatLab para calcular a covolução circular. fuctio circovt(x,x,) % -poit circular covolutio betwee x ad x: (time-domai) % % [y] = circovt(x,x,) % output sequece cotaiig the circular covolutio % x = iput sequece of legth <= % x = iput sequece of legth <= % = size of circular buffer % Method: y() = sum (x(m)*x((-m) mod )) if legth(x) > error(' must be >= the legth of x') ed if legth(x) > error(' must be >= the legth of x') ed x=[x zeros(,-legth(x))]; x=[x zeros(,-legth(x))]; m = :-; x = x(mod(-m,)+); H = zeros(,); for = :: H(,:) = cirshftt(x,-,); ed x*h'; % Chec for legth of x % Chec for legth of x Aplicado a fução circovt: >> x = [,,]; x = [,,3,4]; >> circovt(x,x,4) 9 4 c) Estude o efeito de a covolução circular ( 4): i) x x >> circovt(x,x,) ii) x 6 x >> circovt(x,x,6) Cometário: Comparado com a covolução liear, >> cov(x,x) observa-se que, ao aumetar o valor de a covolução circular, se obtêm os potos suplemetares da covolução liear, tedo ambas resultado idêtico quado = +. Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso 9

10 Exercício Cosidere as sequêcias x ( ) = {,,, } e x ( ) {,,, } a) Determie a covolução liear x x. =. >> x = [,,,]; x = [,-,-,]; >> cov(x,x) b) Determie a covolução circular de modo a que seja igual ao resultado aterior. Calcula-se a covolução circular fazedo = = 7: >> circovt(x,x,7) obtedo-se o mesmo resultado da alíea a). Exercício Cosidere as mesmas sequêcias x ( ) e x do exercício. a) Calcule a covolução circular para = 6,, 4 e 3. Para = 6: Para = : Para = 4: b) Verifique as relações de erro, para cada, relativamete à covolução liear. 3 =, o erro é dado pela difereça etre a covolução circular e a liear, cosiderado os primeiros potos. Sedo a covolução liear x ( ) {,,-,-,,, } Para = 6: Para = : Para = 4: Covolução por Blocos Procedimeto a executar para calcular a covolução com blocos de potos dos siais x( ) com P potos e h( ) com M potos (com P > M): - Criar a sequêcia ˆx ( ) a partir de x( ), acrescetado M- zeros o iício e - zeros o fial: ˆx ( ) {,,,...,,x( ),,,,..., } ; M - Cosiderado L = -M+, etão o bloco úmero, x ( ) com x = ˆx( m ), L m L+ e. Cada bloco é costituído por potos de ˆx ( ) dos quais M- potos são sobrepostos com o bloco aterior. - O úmero total de blocos é dado por P+ M K = + L, ode [.] sigifica trucar., é dado por Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso

11 - A cada bloco é aplicada a covolução circular y = x h. - Fialmete, elimiam-se os M- primeiros valores de cada y ( ) e jutam-se para formar y( ) Exercício Cosidere as mesmas sequêcias x = +, 9 e h( ) = {,, }. a) Calcule y( ) = x h( ) pelo método de overlap-save, cosiderado P = 6. Como M = 3 é ecessário sobrepor cada bloco com o aterior em duas amostras. Se x( ) for uma sequêcia de potos, serão ecessários (M-) = zeros o iício. Como = 6, serão ecessárias as 3 seguites secções: Calculado a covolução circular de h( ) com cada um dos blocos: O vector y( ) obtém-se elimiado as primeiras amostras de cada bloco y depois uma úica sequêcia. A covolução liear calculada directamete é. b) Implemete o MatLab o método de overlap-save. fuctio [y] = ovrlpsav(x,h,) % Overlap-Save method of bloc covolutio % % [y] = ovrlpsav(x,h,) % output sequece % x = iput sequece % h = impulse respose % = bloc legth %, jutado-os Lex = legth(x); M = legth(h); M = M-; L = -M; h = [h zeros(,-m)]; x = [zeros(,m), x, zeros(,-)]; % preapped (M-) zeros K = floor((lex+m-)/(l)); % # of blocs Y = zeros(k+,); % covolutio with succesive blocs for =:K x = x(*l+:*l+); Y(+,:) = circovt(x,h,); ed Y = Y(:,M:)'; % discard the first (M-) samples (Y(:))'; % assemble output Sistemas de Processameto Digital Mauel Baptista & Eresto Afoso