Resposta de Sistemas de 2 a Ordem à Excitação Periódica Não Harmônica

Transcrição

1 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 1 18 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 1 INTRODUÇÃO Muitas vezes, a excitação é uma fução periódica, porém ão harmôica. Por exemplo, um mecaismo biela-maivela, largamete utilizado em motores de combustão itera e em compressores alterativos, desevolve torques que são periódicos (cosiderado costate a velocidade de rotação da árvore de maivelas), porém ão harmôicos, coforme ilustra a fig. 1: Fig. 1 Qualquer fução periódica f(t) que satisfaça às chamadas Codições de Dirichlet: ter um úmero fiito de descotiuidades em um período, ter um úmero fiito de máximos e míimos em um período, ter a itegral τ f ( t) dt fiita (τ é o período da fução), 0 pode ser expadida em uma série trigoométrica ifiita de seos e cosseos, cuja soma dos termos reproduz a fução. Tal série deomia-se Série de Fourier. Os termos em seos e cosseos têm freqüêcias múltiplas da freqüêcia fudametal. Evidetemete, a prática, teremos que abadoar algus termos, retedo apeas os mais importates. Com isso, cometeremos um erro que será tato meor quato maior for a quatidade de termos retidos. A fig. ilustra uma fução periódica ão harmôica e a sua expasão em séries de Fourier. Podemos observar que, quato maior a quatidade de termos retidos, mais próxima da fução origial estará a expasão em série de Fourier.

2 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica Fig. Assim, dada uma excitação periódica ão harmôica, podemos desevolvê-la em série de Fourier e, para sistemas lieares, aplicar o Pricípio da Superposição dos Efeitos, ou seja, podemos cosiderar cada um dos termos em seos e cosseos da série como sedo uma excitação harmôica isolada e, de acordo com o estudado até agora, calcular a resposta idividual a cada uma dessas excitações isoladas. Fialmete, aplicado o citado Pricípio, podemos somar as respostas idividuais para obter a resposta total. DESENVOLVIMENTO DA EXCITAÇÃO EM SÉRIE DE FOURIER Cosideremos uma excitação periódica ão harmôica, f(t), a qual pode represetar uma força, um torque ou um deslocameto da base. A fig. 3 ilustra f(t), ode são mostrados 3 períodos τ: Fig. 3 Se f(t) satisfaz as codições de Dirichlet, etão ela pode ser expadida a série de Fourier

3 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 3 A (1) f(t) 0 + (A cos t B se t) ω + ω 1 ode o termo A 0 / é o termo médio da fução periódica f(t). A freqüêcia ω é deomiada freqüêcia fudametal ou 1 a harmôica, ω é a a harmôica, 3ω é a 3 a harmôica, etc. Na série descrita pela eq. (1), A e B são os coeficietes de Fourier, dados por () τ / A f(t) cosωtdt 0, 1,,... τ τ/ (3) τ / B f(t) seωtdt 1,,... τ τ/ Existem certos casos em que a série de Fourier pode ser simplificada. Assim, o caso de f(t) ser uma fução ímpar, isto é, uma fução em que (4) f(t) -f(-t) podemos mostrar que (5) A 0 0, 1,,... 4 (6) B τ / f(t) seωtdt τ 0 1,,... reduzido-se, assim, a eq. (1) à série de seos (7) f(t) B 1 seωt Um segudo caso que simplifica a série de Fourier é aquele em que f(t) é uma fução par, defiida como (8) f(t) f(-t) Nesse caso, podemos demostrar que (9) 4 τ / A f(t) cosωtdt τ 0 0, 1,,... (10) B 0 1,,... reduzido-se, assim, a eq. (1) à série de cosseos A0 (11) + f(t) A 1 cosωt Portato, a eq. (7) estabelece que uma fução periódica ímpar ão pode coter compoetes harmôicos pares (cosseos), equato que a eq. (11) mostra que uma fução periódica par ão pode coter compoetes harmôicos ímpares (seos).

4 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 4 A expasão de fuções periódicas em série de Fourier é feita aplicado-se as fórmulas acima e é, em geral, um procedimeto trabalhoso, pois é muito comum termos que usar itegração por partes. O exemplo seguite ilustra uma situação bastate simples. Exemplo ilustrativo A pressão o iterior de um cilidro varia periodicamete, coforme o gráfico da fig. 4. Expadir a fução periódica p(t) em série de Fourier. Solução: Fig. 4

5 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica p (t) 5 + se πt + se3πt + se5πt +... [Kpa] π 3π 5π Na fig. 5 está represetada, em liha iterrompida, a expasão acima. Notemos que a fução origial somete será fielmete atigida quado a quatidade de termos retidos for ifiita. Fig. 5 A Tabela 1, o fial desta apostila, apreseta os desevolvimetos em série de Fourier de algumas fuções periódicas importates. 3 RESPOSTA À EXCITAÇÃO PERIÓDICA Coforme já foi cometado, o caso de um sistema liear podemos calcular a resposta idividual a cada termo da série e, após, somar essas respostas idividuais para obter a resposta total. Assim, com base o que já foi estudado ateriormete, dada a -ésima compoete da excitação (1) f c (t) A cosωt ode o ídice c sigifica a eé-sima compoete em cosseo, a resposta correspodete é dada por A (13) xc (t) (FA) cos(ωt + φ ) k ode (FA) é o fator de amplificação correspodete, dado por (14) (FA) [1 (ν) 1 ] + (ςν) e φ é o âgulo de fase correspodete, dado por ςν (15) φ arctg[ ] 1 (ν) Aalogamete, dada a -ésima compoete da excitação (16) f s (t) B seωt

6 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 6 ode o ídice s sigifica a -ésima compoete em seo, a resposta correspodete é dada por B (17) xc (t) (FA) se(ωt + φ ) k Notemos que o fator de amplificação e o âgulo de fase correspodetes são os mesmos já dados pelas eqs. (14) e (15). Quato à compoete média da excitação, A 0 /, a resposta à mesma é simplesmete a compoete estática da resposta, ou seja, A 0. k Assim, a resposta total será obtida aplicado o Pricípio da Superposição, ou seja: A0 1 (18) x(t) + [A (FA) cos(ωt + φ ) + B (FA) se(ωt + φ )] k k 1 É importate observar agora que, se uma das harmôicas se aproxima da freqüêcia atural do sistema, existirá risco de ressoâcia essa harmôica. Exemplo ilustrativo A fig. 6 mostra um pistão com massa 3,68 kg que se desloca detro de um cilidro de diâmetro 40 mm. A mola possui rigidez 84 N/m. O lado esquerdo do cilidro está aberto à atmosfera e o lado direito é submetido a uma pressão p(t), que varia periodicamete, coforme exemplo ilustrativo aterior. Determiar a resposta do pistão. Solução: Fig. 6

7 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 7 1,147x40 6,67x13,3 0,455x8 x(t) 0, se πt se3πt se5πt x84 3x84 5x84 ou, em mm: x(t) 110, ,5seπt 103,45se3πt,56se5πt +... Notemos que a terceira harmôica provoca uma amplitude relativamete grade. Isso se deve ao fato de que a mesma (3ω 3π 9,45 rad/s) está mais próxima da freqüêcia agular atural (ω 8,785 rad/s) do que as demais harmôicas. 4 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Em muitos casos, é praticamete impossível cohecer a fução de excitação f(t) sob forma aalítica, como os casos da Tab. 1. É mais comum que a excitação periódica seja dada sob forma de gráficos ou tabelas, como o caso de testes de motores de combustão itera em diamômetros, coforme ilustra a fig. 1. Nesses casos, é mais coveiete obter a expasão em série de Fourier através de uma técica de itegração umérica. Cosideremos a fig. 7, ode é mostrado um período τ de uma fução periódica y(t), a qual ão é cohecida aaliticamete. Etretato, é possível obter y(t) para uma certa quatidade de potos, seja através de uma tabela ou da leitura dos dados de um gráfico.

8 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 8 Fig. 7 O período τ pode ser dividido em N partes iguais, tal que (19) τ N t sedo a freqüêcia fudametal dada por (0) ω π/τ Substituido as eqs. (19) e (0) as eqs. () e (3), podemos trabalhar com somatórios o lugar de itegrais: N π N ti πt i (1) A y(ti )cos t y(ti )cos 0, 1,,... τ τ N i 1 i 1 τ () N π N ti πt i B y(ti )se t y(ti )se 1,,... τ τ N τ i 1 i 1 ode i deota o i-ésimo itervalo e y(t i ) é o valor da fução o i-ésimo itervalo. Obviamete, quato maior o úmero N de itervalos usados, maior a precisão obtida. Uma vez determiados os coeficietes de Fourier, usamos a série da eq. (1) ormalmete. A seguir, um exemplo que esclarecerá o método. Exemplo ilustrativo O torque de saída de um motor de combustão itera de 6 cilidros, ciclo Otto, de 4 tempos, é dado pela tabela e gráfico mostrados a fig. 8. Desevolver T(t) em série de Fourier. Fig. 8

9 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 9 Solução: No caso, temos N 4 potos. Do gráfico, tiramos τ 0,018 s, logo, ω π/0, ,1 rad/s. Problemas desse tipo têm suas soluções facilitadas com o uso de uma plailha como a que aparece a seguir, a qual é de fácil implemetação em uma liguagem de computador, tal como BASIC, FORTRAN, PASCAL, etc., ou em uma plailha eletrôica, como o EXCEL. i t i [s] T i [N.m] 1 3 A B A B A B 1 0, ,03 0, ,73 3 0, ,13 4 0, ,00 5 0, ,76 6 0, , ,53 8 0, , Σ ,0 98,08 13,96-86,08 65,56 65,6 Da tabela acima, tiramos os valores dos coeficietes de Fourier, usado as eqs. (1) e (): A /1 110 A 1-691,0/1-4,7 B 1 98,08/1 77,34 A 13,96/1 11,08 B -86,08/1-71,84 A 3 65,56/1,13 B 3 65,56/1,13 Logo, substituido a eq. (1), chegamos fialmete a T(t) 605 4,7cos349,10t + 77,34se349,10t ,08 cos698,14t 71,84se698,14t + +,13 cos1047,1t +,13se1047,1t

10 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 10 5 ESPECTRO DISCRETO DE FOURIER O espectro discreto de Fourier é um gráfico, o domíio da freqüêcia, que mostra o grau de participação das várias harmôicas a excitação f(t) e a resposta x(t). Tal gráfico também é cohecido como espectro de freqüêcias. Quado f(t) é periódica, o seu espectro de freqüêcias cosiste de compoetes harmôicas com freqüêcias discretas, ou seja, ω, ω, 3ω, etc. Assim, o espectro de Fourier tem as abcissas as freqüêcias discretas ω, ω, 3ω, etc., e as ordeadas os valores das amplitudes de cada harmôica, dadas por (3) D A + B Para o exemplo aterior, teremos os seguites valores para as amplitudes do torque: D 0 A N.m D A + B ( 4,7) + 77,34 37,3 N.m D A + B 11,08 + ( 71,84) 7,69 N.m D A + B,13 +,13 31,30 N.m com os quais podemos traçar o espectro de Fourier das amplitudes: Amplitudes Espectro Discreto de Fourier Harmôicas Examiado o gráfico ao lado vemos que, esse caso, a cotribuição de cada harmôica vai dimiuido sigificativamete à medida que aumeta a ordem da harmôica, sedo importates apeas as duas primeiras harmôicas.

11 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 11 Tab. 1 EXERCÍCIOS

12 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 1 1 Desevolver em série de Fourier a excitação periódica da figura. A fução é ímpar com período τ 0,04 s, logo B B τ 4 τ π [ cos 50 πt] 4 0, 0, π Solução 0000 Podemos ver que B 0 para par e B π Portato, o desevolvimeto em série de Fourier fica π π ω 50π rad/s. Também A 0 e τ 0, f(t) se ωtdt 5000 se 50πtdt π 0, 0 0 (cos π 1 ) π para ímpar 0, 0 0 (1 cos π) 50π se 50πtdt f(t) 0000 π 1,3, se 50πt Determiar os coeficietes de Fourier para a excitação periódica da figura 000 π 000 π Resp.: A N A se B (1 cos ) π π

13 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 13 3 A variação da pressão ao logo do tempo em uma liha hidráulica é dada pela tabela seguite, observado-se uma periodicidade a cada 0,4 s: t [s] p [Pa] 0 0 0,0 10,4 0,04 5,7 0,06 8,6 0,08 31,5 0,10 46,8 0,1 57, 0,14 46,8 0,16 31,5 0,18 8,6 0,0 5,7 0, 10,4 0,4 0 Desevolver p(t) em série de Fourier até a 3 a harmôica e traçar o seu espectro de Fourier. Resp.: p(t) 8,6 1,01cos6,18t 7,6cos78,54t 4 Desevolver um programa de computador (em BASIC ou Excel), geérico, que calcule umericamete os coeficietes de Fourier e trace o espectro de amplitudes. 5 Uma plaia limadora vertical de massa 00 kg está motada sobre isoladores de borracha que defletiram mm quado da motagem. A plaia tem uma velocidade máxima de 5 rpm. Determiar a resposta permaete da plaia para a excitação da figura, dada em N, a qual a seguda harmôica origia-se do mecaismo de recuo rápido da máquia. Resp.: x(t) 0,4 cos ωt + 0,119 cos ωt [mm]

14 Resposta de Sistemas de a Ordem à Excitação Periódica Não Harmôica 14 6 Uma máquia alterativa trabalha com rotação costate de 86 rpm, gerado uma força desbalaceadora, em N, que pode ser represetada aaliticamete por f(t) se 9t - 3 se 18t - se 7t Dispõe-se de tipos de isoladores, A e B, os quais defletem, respectivamete, e 0 mm quado a máquia é colocada sobre eles. Cosiderado ulo o amortecimeto, determiar a força trasmitida por cada um deles à fudação. Qual deve ser escolhido? Solução Como ão existe amortecimeto, a força trasmitida à fudação é dada por f f tr tr ω f f1 f f3 f0 + se ωt + se ωt + se 3ωt 1 ν 1 (ν) 1 (3ν) tr + g δ 9,81 (a) Isolador A: 70,04 rad / s 9 70,04 ν 3 est x10 ω ,185 ω g δ Nesse caso, a força trasmitida será: 3 se 9t + se 18 t + 1 (x0,185 ) 1 (3x0,185 ) f tr 9,81 ω... 0, ,33 se 9t 3,1 se 18 t,35 se 7t (b) Isolador B:,15 rad / s 9,15 ν 3 est 0x10 ω , 4064 Nesse caso, a força trasmitida será: 3 se 9t + se 18 t + 1 (x0, 4064) 1 (3x0, 4064) f tr ω 0, ,96 se 9t 8,84 se 18 t + 4,11 se 7t se 7t se 7t Portato, devemos escolher o isolador A, que trasmite meor força à fudação. 7 O oscilador liear da figura é excitado pela oda quadrada de amplitude f 0 e período ajustável τ. Para que valores de τ podemos esperar ocorrêcia de ressoâcia? Resp.: τ π m k, 1,,...