UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Pato Branco ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO. Prova Parcial 1 Matemática Discreta para Computação 2011

Transcrição

1 Campus Pato Braco Prova Parcial Matemática Discreta para Computação 20 Aluo(a): Data: 08/04/20. (,5p) Explicar o Paradoxo de Cator. Use como base o seguite: Teorema de Cator: Para qualquer cojuto A, a cardialidade do cojuto potêcia de A, P(A), é maior do que a cardialidade de A. Se A é o cojuto dos cojutos. Perguta: A cumpre o teorema? 2. (2p) Mostre que as hipóteses Se você me eviar um , eu termio de escrever o programa, Se você ão me eviar um , etão eu vou dormir cedo, Se eu for dormir cedo, etão eu vou acordar revigorado. levam à coclusão: Se eu ão termiar de escrever o programa, vou acordar revigorado. 3. (,5p) Prove por prova direta que Se a soma de dois úmeros iteiros é par, etão a sua difereça também é par 4. (,5p) Obteha uma fórmula simples ( a =??) que gere os termos de uma seqüêcia de iteiros que iicia com a lista: 2, 3, 7, 25, 2, 72, 504, (p) Quais são os termosa 0, a, a2, a3 da seqüêcia { a }, expressa pela fórmula: ( ) a = (2,5p) Prove usado idução matemática que a proposição é verdadeira (apresete todos os passos): ( + )(2 = ), ³

2 Campus Pato Braco Prova Parcial Matemática Discreta para Computação 20 Aluo(a): Data: 08/04/20. (,5p) Explique o Paradoxo de Russell. Use como base o seguite: Defiição de cojuto: é uma coleção bem defiida de objetos, deomiados elemetos ou membros do cojuto. Se M é o cojuto de todos os cojutos que ão se cotém a si próprios como membros. Perguta: M se cotém a si mesmo? 2. (2p) Mostre que as hipóteses Não está fazedo sol esta tarde e está mais frio do que otem, Nós iremos adar somete se fizer sol, Se ós ão formos adar, etão ós vamos velejar, Se ós formos velejar, etão estaremos em casa o fial da tarde. levam à coclusão: Estaremos em casa o fial da tarde. 3. (,5p) Prove por cotradição que Se um úmero somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, etão esse úmero é zero 4. (,5p) Obteha uma fórmula simples ( a =??) que gere os termos de uma seqüêcia de iteiros que iicia com a lista: 2, 3, 7, 25, 2, 72, 504, 4032, (p) Quais são os termos a 0, a, a4, a5da seqüêcia { a } expressa pela fórmula: ( 3) a = (2,5p) Prove usado idução matemática que a proposição é verdadeira (apresete todos os passos): (2+ )(2 3 ) 2 ( 2 ) =, 2 2 2

3 Campus Pato Braco Prova Parcial 2 Matemática Discreta para Computação 20 Nome: Data: 20/05/20. De quatas formas podem ser distribuídas 7 tarefas tipo A e 6 tarefas tipo B para 4 Computadores de modo que cada Computador realize pelo meos uma tarefa tipo A? k 2. Mostre que se e k são iteiros positivos com k, etão k k 2 3. Dê um exemplo de uma fução de ZxZ + (dos iteiros para os iteiros positivos) que seja: a. sobrejetora, mas, ão ijetora. b. Ijetora, mas, ão sobrejetora 4. Quatos úmeros palídromos existem que possuem sete dígitos? 5. Quatos úmeros iteiros ímpares existem o itervalo [00,999] com dígitos distitos? 6. Quatas strigs de 8 bits começam com ou termiam com 000? 7. Qual é o coeficiete de 6 x + x x? x o produto ( )( ) 5 8. Qual é a liha do triâgulo de Pascal que cotém o coeficiete biomial k 0 k 9? 9. Ecotre o úmero míimo de estudates ecessários que garata que cico deles pertecem à mesma turma (ª série, 2ª série, 3ª série, 4ª série) 0. Sejam as fuções f e g de RxR (dos reais para os reais) defiidas por: 2 f ( x) = x + 2x 3 e g ( x) = 3x 4. Ecotre f o g e go f x. A fução g ( x) = e de RxR (dos reais para os reais) tem iversa? Se ão tem, qual restrição permite obter a iversa? 9,

4 Campus Pato Braco Prova Parcial 3 Matemática Discreta para Computação 20 Aluo(a): Data: 28/06/20. (2p) Seja A = { (x, y) x, y são iteiros}. A relação R sobre A esta defiida pela regra: ( a, b) R( c, d) a= b b= d Determiar se R é (justifique sua resposta, ão é aceito apeas um sim ou um ão): (a) Reflexiva (b) Simétrica (c) Trasitiva 2. (2p) Defia relação de equivalêcia. Determie se R sobre A é ou ão uma relação de equivalêcia A = { Z (cojuto dos iteiros) } {( ab) A Aa b} R=, 3. (,5p) Seja A = {, 2, 3, 9, 8} e cosidere a relação B, sobre o cojuto A, como a relação divide : a, b A, ab b= a k, para algum iteiro k (a) Faça o grafo dirigido que represeta a relação (b) Faça o diagrama de Hasse para o grafo obtido o item (a) 4. (2p) A Figura é a plata da residêcia do bilioário Va Diamod, que acaba de ser assassiado. Sherlock Gomes (um cohecido detetive que as horas vagas é um estudioso da Teoria de Grafos) foi chamado para ivestigar o caso. O mordomo alega ter visto o jardieiro etrar a sala da piscia (lugar ode ocorreu o assassiato) e logo em seguida deixar aquela sala pela mesma porta que havia etrado. O jardieiro, cotudo, afirma que ele ão poderia ser a pessoa vista pelo mordomo, pois ele havia etrado a casa, passado por todas as portas uma úica vez e, em seguida, deixado a casa. Sherlock Gomes avaliou a plata da residêcia (coforme figura) e em poucos miutos declarou solucioado o caso. a) Quem poderia ser o suspeito idicado por Sherlock Gomes? b) Faça o Grafo e utilize a teoria dos grafos para ecotrar a solução do problema.

5 5. (,5p) Defia (utilize diagramas para exemplificar): b) Circuito Euleriao c) Circuito Hamiltoiao d) Difereças e/ou semelhaças etre estes circuitos 6. (p) Quatas fuções booleaas diferetes de 4 variáveis existem? Apresete duas destas fuções booleaas.

6 Campus Pato Braco Prova Substitutiva Matemática Discreta para Computação 20 Aluo(a): Data: 05/07/20 I. Combiatória. (p) Quatas soluções iteiras ão egativas existem para a equação: x + x2 + x3 + x4 = 2. (p) Quatas permutações distitas existem das letras da palavra APALACHICOLA que teham os dois Ls jutos? II. Relações. (p) Classifique a relação R a seguir, o cojuto S, como: Reflexiva, Simétrica e Trasitiva. S = { x/ x é um aluo da sua sala } 0 arb a seta a mesma fileira que b 2. (2p) Para cada caso abaixo, apresete um cojuto S e uma relação biária R em S que satisfaçam às codições pedidas (O cojuto S deve ser algum cojuto de úmeros: Naturais, Iteiros, Racioais, etc.) (i) R é reflexiva, trasitiva mas ão é simétrica (ii) R ão é reflexiva em simétrica, mas é trasitiva. 3. (p) Seja R uma relação sobre o cojuto S, ode: R = S = {,2,3,4} {(,, )(,4)(, 2,3, )( 3,, )( 3,3, )( 4,4) } Ecotre os fechos: (a) Reflexivo (b) Simétrico (c) Trasitivo III. Grafos. (p) Desehe o grafo ão-direcioado represetado pela lista de adjacêcias da figura a seguir.

7 2. (2p) Diga se os dois grafos a seguir são ou ão isomorfos. Se forem, apresete a fução que estabelece o isomorfismo etre eles; caso cotrário, explique por quê. 3. (p) Escreva a matriz de adjacêcia do grafo da figura dada: Fórmulas! Permutação sem repetição (, ) = para e r ( r)! Permutação com repetição! Combiação sem repetição (, ) = r! ( r)! ( + r! ) Combiação com repetição ( + r, ) = r! ( )! Pricipio de Pigeohole + m j x y x y j= j Teorema de Biomial + = 0 P r r C r C r ( ) ( ) j

8 Campus Pato Braco Prova de 2da chamada de Matemática Discreta para Computação 20 Aluo: Data: 07/07/20. (,5p) Prove usado idução que para qualquer iteiro positivo : (2+ )(2 3 ) 2 ( 2 -) =, ³ (,0p) Em uma empresa, 0 atividades são distribuídas para sete operadores. De quatas maeiras isto pode ser feito se cada operador for receber pelo meos uma atividade? 3. (,5p) Utilize o teorema de biomial e mostre que: ö ç è0ø æö èø æ ö è-ø æ - æö èø - ( - p) + ç p( - p) ç p ( - p) + ç p = 4. (,5p) Determie m de modo que o 3º e o 8º termos do desevolvimeto de: æ ç è x 3x - 2 x m ö ø teham os coeficietes biomiais iguais, e calcule o produto desses dois termos. 5. (,5p) Para a fução f: R 2 R 2 (reais para os reais), defiida pela equação abaixo, determiar se é Ijetora, Sobrejetora ou Bijetora e ecotre a iversa se possível: f(x, y) = ( y +, x +) 6. (2p) Sejam A = B = C = R (reais) e cosidere as fuções f : A B e g : B C defiidas por f ( a) = 2a+, g ( b) = b / 3, verifique o seguite teorema: - ( ) - go f = f o g - 7. (p) Quatos úmeros precisam ser escolhidos do cojuto {2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 20} a fim de se garatir que pelo meos um par soma 22?