Introdução à Probabilidade e à Estatística I

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1 Itrodução à Probabilidade e à Estatística I Resolução Lista 1 Professor: Pedro Moretti & Chag Chia 1. (a) Podemos iserir dados o software R e costruir um histograma com 5 itervalos: Frequecy (b) Uma medida de posição é a média e uma medida de dispersão é a variâcia V ar() s 2. No software R, o comado é o seguite (também pode ser feito o Excel ou outro pacote estatístico): > mea() [1]

2 > var() [1] (a) Quado cada observação é multiplicada por 2, temos o seguite para as medidas (assume-se que é a matriz de dados origial e Y a matriz multiplicada por 2, ou seja, Y i 2 i ): Média: i1 i Ȳ i1 2 i 2 Variâcia: s 2 i1 ( i ) 2 i1 i 2 2 s 2 Y i1 (Y i Ȳ )2 i1 (2 i) 2 Ȳ 2 Segue que: s 2 Y i1 4 i s 2 Mediaa: med(y ) 2 med() Note que usado os dados do problema 1, a mediaa é a média aritmética etre a observação de úmero 25 e a observação de úmero 26, após a ordeação dos dados em ordem crescete. Logo, qualquer trasformação que ão altere a ordeação e que seja realizada em todas as observações (este caso, a multiplicação por 2) impactará da mesma forma a mediaa. (b) Seguido os passos do item aterior poderíamos provar que (assume-se que é a matriz de dados origial e Y a matriz somada do valor 10, ou seja, Y i i + 10): Média: Ȳ + 10 Variâcia: s 2 Y s2 (variâcia de uma costate é zero) Mediaa: med(y ) med()

3 (c) Agora supoha que Y i ( i ). Assim, temos: Média: Ȳ i1 ( i ) i1 i 0 i1 Y i 2 Ȳ 2 i1 ( i ) 2 Variâcia: s 2 Y i1 (Y i Ȳ )2 s 2 (ovamete, dado que é uma costate, ão afeta a variâcia) Mediaa: med(y ) med() + (d) Agora supoha que Y i ( i ) Média: Ȳ i1 s ( i ) s i1 i s Variâcia: s 2 Y i1 (Y i Ȳ )2 s 0 i1 Y 2 i Ȳ 2 i1 ( i ) 2 ()s 2 s2 s (a) A mediaa é uma medida resistete, pois é pouco afetada por valores extremos, ao passo que a média ão. Por exemplo, se temos os seguites dados observados: 5,7,8,10,12,15. A mediaa med() é 9 e a média é 9,5. Porém, se último valor ao ivés de 15 tora-se 150, teríamos med() 9 e 32. Ou seja, a mediaa é mais adequada quado a distribuição é assimétrica à direita ou à esquerda. (b) Sempre que os dados forem simétricos, teremos med(). Por exemplo, usado o software R: > <- c(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,8,8,9) > media() [1] 5 > mea() [1] 5 > hist(,breaksc(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),mai"") 3

4 Frequecy (c) Podemos usar variáveis ormais com médias iguais e variâcias crescetes. No software R: > <-rorm(1000,mea0,sd1) > Y<-rorm(1000,mea0,sd2) > Z<-rorm(1000,mea0,sd3) > par(mfrowc(3,1)) > hist(,xlimc(-10,10)) > hist(y,xlimc(-10,10)) > hist(z,xlimc(-10,10)) 4

5 Histogram of Frequecy Histogram of Y Frequecy Y Histogram of Z Frequecy Z Ou seja, o histograma tem aparêcia mais dispersa, quato maior a variâcia. 4. (a) Deomiado por a variável aleatória do peso dos fragos, temos que a média aproximada Me() este caso é obtida usado os potos médios (x 1, x 2,..., x 6 ) de cada classe e as respectivas frequêcias ( 1, 2,..., 6 ) com que cada classe de peso ocorre: Me() 1020, (b) A variâcia aproximada é obtida de forma semelhate, usado como se os potos médios (x 1, x 2,..., x 6 ) fossem as observações e cosiderado a média obtida o item (a). i1 V ar() i(x i Me()) 2 691, 36 5

6 (c) O histograma fica o seguite: Frequecy (d) Podemos calcular os quatis/ percetis e achar os limites das quatros categorias da seguite forma (ote que para isso tivemos que acumular os percetuais). No software R, usamos o código: > quatile(,probsc(0.2,0.5,0.8,1)) 20% 50% 80% 100% Logo, o limites de peso () das categorias são os seguites: A: < 990 gramas B: 990 < < 1020 gramas C: 1020 < < 1050 gramas D: > 1050 gramas (e) Sabemos que a média é de 1020,8 gramas e a variâcia é de 691,36, logo o desvio padrão é de 26,29. Assim, o grajeiro decide separar os aimais com peso iferior à (1020,8-2*26,29)968,21 para receberem ração reforçada e os com peso superior à 1060,24 para serem reprodutores. Podemos etão obter os percetuais de fragos 6

7 sujeitos a esses tratametos específicos calculado a área do histograma abaixo de 968,21 e a área acima de 1060,24 e dividido pela área total. Assim, temos que 2,46% dos fragos receberão ração reforçada e 7,9% serão separados para reprodução. 5. (a) Temos que calcular a média aproximada da distribuição, cosiderado os potos médios de cada itervalo, coforme o exercício Me() 22, Sedo assim, como a média aproximada é superior a 22, temos que a campaha surtiu algum efeito. (b) Vamos calcular a variâcia aproximada cosiderado os potos médios: i1 V ar() i(x i Me()) 2 14, 64 Logo, dp() 3.82 e 2dp() 1, 083. Como Med() 22 0, 48, temos que a sqrt() campaha ão surtiu efeito, segudo esta regra. (c) O histograma, cosiderado os potos médios é o seguite. Nota: o software R somete produz gráficos com valores equidistates o eixo x, porém os itervalos das classes ão são equidistates. Cotudo, é possível otar que a primeira classe vai de 18 a 20, a seguda vai de 20 a 22, a terceira de 22 a 26 e assim por diate, termiado em 36. 7

8 Desity Box Plot Número de casas por quarteirão

9 7. 8. (a) Vamos calcular os quatis da distribuição do Ex.1 usado o software R: > quatile(,probsc(0.1,0.4,0.8,0.9)) 10% 40% 80% 90% (b) Usamos o mesmo comado, porém agora com as probabilidades dos quartis: > quatile(,probsc(0.25,0.5,0.75)) 25% 50% 75% (c) O desvio absoluto mediao é igual à mediaa dos desvios absolutos dos dados em relação à mediaa. Usado os dados, temos que med() 31. Logo, a medida é igual à 17. v_i u_i 9

10 Ou seja, os dados claramete ão são simétricos. 9. (a) Chamado de Y a variável que represeta os dados, temos que a média, a mediaa, o desvio padrão e o desvio médio são, respectivamete: Me(Y ) 18, 4 Med(Y ) 14, 8 dp(y ) 13, 066 dm(y ) 8, 76 (b) A média aparada a 10% é obtida elimiado 10% das meores e das maiores observações e calculado a média aritmética dessa distribuição aparada. Como se tratam de 15 observações, vamos elimiar as duas meores e as duas maiores observações, obtedo uma média aparada de 15,66. Já o desvio absoluto mediao é calculado da seguite forma: calculam-se os desvios absolutos de cada observação com relação à mediaa e daí a mediaa desses desvios. Como Med(Y)14,8, temos que o desvio absoluto mediao é 7,4. (c) Pelo gráfico podemos ver que há um valor atípico: > boxplot(y,mai "Box Plot Y",ylab "Y") Box Plot Y Y

11 10. Podemos calcular algumas medidas usado o software R: > #medidas de posiç~ao > > media<-mea(ibv) [1] > mediaa<-media(ibv) [1] > #medidas de dispers~ao > > desvio_padrao<-sd(ibv) [1] > desvio_absoluto_mediao<-mad(ibv, ceter media(ibv),costat1) [1] 6445 (observação: o desvio padrão o R é calculado dividido por -1, ou seja, correspode ao desvio padrão amostral s 2 ) 11