3.1 - Medidas de Posição Medidas de Dispersão Quantis Empiricos Box-plots Graficos de simetria 3.

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Kátia Bastos Chagas
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1 3 - MEDIDAS RESUMO Medidas de Posição Medidas de Dispersão Quantis Empiricos Box-plots Graficos de simetria Transformações 1/17

2 3.1 - Medidas de Posição Muitas vezes queremos resumir todo o conjunto de dados em um ou alguns valores que sejam representativos da serie toda. Quando usamos um único valor temos uma redução drástica dos dados Usualmente, utiliza-se uma das seguintes medidas de posição central: média, mediana, moda 2/17

3 Média aritmética: Soma das observações dividida pela soma delas; Moda: Realização mais frequente do conjunto de valores observados; Mediana: É a realização que ocupa a posição central da série de observações, quando estão ordenadas em ordem crescente. 3/17

4 Exemplo 3.1: Obtenha a média, moda e mediana da variável z (número de filhos): Número de filhos (z i ) Frequencia (n i ) Porcentagem 100f i Média = 0(4)+1(5)+2(7)+3(3)+5(1) 20 = = 1, 65 Mediana = posição ordenada entre 10 e 11 = 2 Moda = aparece maior número de vezes = 2 4/17

5 FORMALIZANDO OS CONCEITOS (MÉDIA) Sejam x 1,, x n, n valores (distintos ou não) de X. Calculamos: x = x x n n = 1 n x i n i=1 Se tivermos n observações da variável X, das quais n 1 são iguais a x 1, n 2 são iguais a x 2,, n k são iguais a x k, então: x = n 1x 1 + n 2 x n k x k n Se f i = n i /n representa a frequancia relativa: = 1 k n i x i n i=1 k x = f i x i i=1 5/17

6 MEDIANA Considere agora as observações ordenadas em ordem crescente. Vamos denotar a menor observação por x (1), a segunda por x (2), e assim por diante, tal que : x (1) x (2) x (n 1) x (n) EX: x 1 = 3, x 2 = 2, x 3 = 6, x 4 = 1, x 5 = 1, então x (1) = 2, x (2) = 1, x (3) = 3, x (4) = 3, x (5) = 6 As observações ordenadas são chamadas de estatísticas de ordem. A mediana de X pode ser definida como: Se n é impar: md(x) = x ((n+1)/2) Se n é par: md(x) = x (n/2) + x (n/2+1) 2 6/17

7 Exemplo 3.2: A determinação das medidas de posição para uma variável quantitativa contínua, através de sua distribuição de frequencias, exige aproximações, pois perdemos a informação dos valores das observações. Uma aproximação razoável é supor que todos os valores dentro de uma classe tenham seus valores iguais ao ponto médio desta classe. Este procedimento nos deixa na mesma situação do caso discreto. Exemplo: Salários classe de salários Ponto médio (s i ) Frequencia (n i ) Porcentagem 100f i 4, 00 8, 00 6, , 78 8, 00 12, 00 10, , 33 12, 00 16, 00 14, , 22 16, 00 20, 00 18, , 89 20, 00 24, 00 22, , 78 mo(s) 10, 00 md(s) 10, 00 s 10x6,00+12x10,00+8x14,00+5x18,00+1x22,00 36 = 11, 22 7/17

8 Como podemos calcular os valores exatos da média, moda e mediana? Podemos calcular medidas resumo para variáveis qualitativas? Média: Não Moda: Sim Mediana: Apenas para variáveis qualitativas ordinais (e não para as nominais) 8/17

9 Como podemos calcular os valores exatos da média, moda e mediana? Podemos calcular medidas resumo para variáveis qualitativas? Média: Não Moda: Sim Mediana: Apenas para variáveis qualitativas ordinais (e não para as nominais) 8/17

10 3.2 - Medidas de Dispersão Uma única medida para representar toda a distribuição não nos dá nenhuma informação sobre a variabilidade da amostra. Por exemplo, suponha que cinco grupos de alunos submeteram-se a um teste e obtiveram as seguintes notas: GRUPO A (X): 3,4,5,6,7 GRUPO B (Y): 1,3,5,7,9 GRUPO C (Z): 5,5,5,5,5 GRUPO D (W): 3,5,5,7 GRUPO E (V): 3,5,5,6,6 Note que x = ȳ = z = w = v = 5, 0. Isso nada informa sobre as diferentes variabilidades. 9/17

11 Podemos considerar a dispersão dos dados em torno de sua média. Os desvios são: GRUPO A (X): -2,-1,0,1,2 GRUPO B (Y): -4,-2,0,2,4 GRUPO C (Z): 0,0,0,0,0 GRUPO D (W): -2,0,0,2 GRUPO E (V): -2,0,0,1,1 Note esses desvios, para os exemplos acima, todos somam ZERO. A soma portanto não é uma boa estatística. Podemos considerar: 5i=1 X i x = = 6 5i=1 (X i x) 2 = = 10 10/17

12 Esses totais não são adequados quando comparamos conjuntos de dados com tamanhos diferentes. Sendo assim, é mais conveniente tirar a média: Desvio médio: dm(x) = Variância: var(x) = n i=1 X i x n n i=1 (X i x) 2 No exemplo, temos: GRUPO D: dm(x) = 1, 2 e var(x) = 2, 0 GRUPO A: dm(w ) = 1, 0 e var(w ) = 2, 0 O grupo D é mais homogêneo que o A segundo o critério DM, e igualmente homogêneo segundo o critério VAR. n 11/17

13 Uma maneira computacionalmente mais eficiente de calcular a variância é ni=1 x 2 i var(x) = x 2 n E no caso de observações repetidas: var(x) = k i=1 f i x 2 i x 2 12/17

14 DESVIO PADRÃO É definido como a raiz quadrada da variância - está definido na mesma escala dos dados. dp(x) = var(x) As medidas de dispersão dm e dp indicam em média qual será o erro (desvio) cometido ao tentar substituir cada observação pela medida resumo do conjunto de dados (a média). 13/17

15 EXEMPLO 3.3: Calcule as medidas de dispersão para a variável Z (número de filhos). EXEMPLO 3.4: Calcule as medidas de dispersão para a variável S (salário). Tanto a variância como o desvio médio são medidas de dispersão calculadas em relação à média. Poderíamos calcular uma medida em relação à mediana (Problema 41). 14/17

16 3.3 - Quantis Empíricos A média e as medidas de dispersão podem não ser suficientes para representar um conjunto de dados, pois: são muito afetados por valores extremos; não nos dão informação sobre a simetria ou assimetria da distribuição dos dados. para contornar esses fatos, outras medidas podem ser consideradas. 15/17

17 Definimos o quantil de ordem p ou p-quantil, denotado por q(p), onde 0 < p < 1, tal que 100p% sejam menores que q(p) q(0, 25) = q 1 : 1 o quartil = 25 o percentil q(0, 50) = q 2 : Mediana = 2 o quartil = 50 o percentil q(0, 75) = q 3 : 3 o quartil = 75 o percentil q(0, 40): 4 o Decil q(0, 95): 95 o percentil 16/17

18 Exemplo 3.5: Obtenha a mediana e, q 1 e q 3 no conjunto de dados: 15,5,3,8,10,2,7,11,12 Exemplo 3.5 (continuaçao): Agora adicione o valor 67: 15,5,3,8,10,2,7,11,12,67 Dizemos que a mediana é uma medida resistente ou robusta, pois não é muito afetada por valores extremos. 17/17

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