Estatística Descritiva. 3. Estatísticas Medidas de posição Medidas de dispersão

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1 Estatística Descritiva 3. Estatísticas 3.1. Medidas de posição 3.. Medidas de dispersão 1

2 Exemplo 1: Compare as 4 colheitadeiras quato às porcetages de quebra de semetes de milho. Tabela 1. Porcetagem de quebra em quatro amostras de semetes de milho de espigas colhidas por A quatro colheitadeiras Colheitadeira Amostra A B C D Média Mediaa Colheitadeira B C D Logo, as medidas de posição ão iformam sobre a variabilidade dos dados e são isuficietes para sitetizar as iformações de um cojuto de dados

3 Estatística Descritiva 3.. Medidas de dispersão São estatísticas descritivas que visam forecer o grau de variabilidade (ou heterogeeidade) das observações em relação a um valor cetral (geralmete a média aritmética) Permitem estabelecer comparações etre feômeos de mesma atureza ou de atureza distita. a) Amplitude total b) Amplitude iterquartílica c) Variâcia d) Desvio padrão e) Coeficiete de variação 3

4 a) Amplitude total () É a difereça etre o maior e o meor valor observado = x () x (1) Exemplo 1: X 1 = {1,69; 1,64; 1,6 ; 1,69; 1,81; 1,61; 1,58; 1,64} Ordeado os valores: {1,58; 1,61; 1,6; 1,64; 1,64; 1,69; 1,69; 1,81} = 1,81 1,58 = 0,3 X = {1,58; 1,61; 1,6; 1,64; 1,64; 1,69; 1,69; 3,61 } = 3,61 1,58 =,03 Problemas: Apeas leva em cosideração os valores extremos dos cojuto de dados. É altamete iflueciado por valores discrepates. 4

5 b) Amplitude iterquartílica (AIq) A amplitude iterquartílica (AIq) de um cojuto de dados é a difereça etre o terceiro e o primeiro quartil AIq = Q 3 Q 1 Características: A formula é similar a amplitude total; É meos iflueciada pelos extremos, sedo mais eficiete; e Apreseta um pequeo viés. OBS: Quato mais diferetes as distâcias etre os quartis, mais assimétrica é a distribuição. 5

6 ENTRETANTO, As medidas ateriores apresetadas ão cosideram TODOS valores amostrais o seu cálculo e por isso elas podem ser cosideradas deficietes Ideia para resolver isso: Desvio Desvio (d i ) de uma observação (x i ) em relação a uma costate k d i = x i k No lugar da costate k, uma medida de posição seria melhor. Logo, Desvio Desvio (e i ) de uma observação (x i ) em relação a média aritmética ( x ) e i = x i x 6

7 Exemplo: Calcule os desvios das observações relativas à colheitadeira A, em relação à média e calcule a soma dos desvios em relação à média Colheitadeira Amostra A B C D Média Mediaa Problema: i1 e i e i 0 i1 (Demostração!) Em virtude de o iteresse residir a magitude dos desvios em relação a média e ão em saber se eles são positivos ou egativos, podemos cosiderar a soma dos valores absolutos dos desvios em relação à média : i1 x i x Assim, pode ser defiida uma estatística de medida de variabilidade cosiderado esta ideia. 7

8 Desvio Médio É a média dos valores absolutos dos desvios em relação à média Dm X e i i1 i1 x i x Problema: Em razão dos valores absolutos, esta medida coduz a sérias dificuldades teóricas em problemas de iferêcia estatística e é, por isso, raramete usada. Outra forma para cotorar o problema da soma dos desvios, em relação a média, ser igual a zero é usar a soma de quadrados dos desvios (SQ): SQ i1 ( x i x) 8

9 c) Variâcia (populacioal: e amostral: s ) N tamaho populacioal tamaho amostral É a média dos quadrados dos desvios em relação a média aritmética Qual é a sua uidade de medida? Resposta: É um valor em uidade quadrada s i1 ( x i 1 x) OBS: Melhor estimador (dividir por -1) Exemplo 1 Calcule a variâcia das observações relativas a cada colheitadeira: No software R: A=c(5,4,5,6) B=c(4,6,6,4) C=c(10,5,0,5) D=c(0,3,7,10) var(a); var(b); var(c); var(d) Colheitadeira Amostra A B C D Média Mediaa

10 Exemplo Dados ão agrupados Calcule a variâcia da produção de borracha seca por sagria, por serigueira (g), a área A: 10, 10, 10,3 10,6 10,8 11,0 11,6 11,8 0,3 0,3 1,9,0,,4,8 3,3 14,0 14,9 15, 15,3 15,3 15,4 15,8 16,0 4, 4,5 4,6 4,9 5,1 5,5 6,0 6,3 16,9 17,7 18,1 18,3 18,4 18,7 19,6 19,8 1,4 1,6 1,6 1,8 1,8 13,0 13,1 13, Ficou fácil calcular? s i1 ( x i x) 1 i1 x i i1 1 x i Fórmula alterativa (Usar sempre que possível!) A calculadora pode te ajudar!!! 10

11 Exemplo: Dados agrupados em tabelas de frequêcia Tabela: Número de isetos por colmo (x i ) f i s (3) 0... (5) (3(0)... 5(30)) Total 100 s 0,4949(u.m.) s x i f i ( 1 x i f i ) x 1 f 1... x f ( x 1 1 f 1... x f ) Ode k é o úmero de classes e k i1 f i 11

12 Exemplo: Dados agrupados em tabelas de frequêcia em classes Tabela: Altura aluos da Turma A i X m i f i s (15) 4... (17) (15(4)... 17(3)) s 0,0051cm 40 Utiliza-se o poto médio da j-ésima classe j = 1,...,k s m 1 f 1... m j f j ( m 1 1 f 1... m j f j ) 1

13 d) Desvio padrão (populacioal: e amostral: s) É a raiz quadrada da variâcia s s Vatagem : A iterpretação é mais fácil, pois possui a mesma uidade dos dados origiais. No software R: A=c(5,4,5,6) B=c(4,6,6,4) C=c(10,5,0,5) D=c(0,3,7,10) sd(a); sd(b); sd(c); sd(d) Tarefa 1 Calcular os desvios padrão das observações relativas às colheitadeiras A, B, C e D e iterprete os resultados. 13

14 Melhor represetação dos dados (medida de posição + medida de dispersão) Como o s é uma medida que idica quato, em média, os elemetos de um cojuto de dados se afastam da média deles, é razoável utilizarmos itervalos do tipo: para represetar os dados, com k > 0. [ x ks; x ks] Nos trabalhos cietíficos é acoselhável a descrição dos dados a forma: x s ou x(s). O pesquisador pode avaliar se eles são amplos (pouco precisos), ou ão (precisos), para o feômeo real em estudo. 14

15 Problema 1 Calcule a média e o desvio padrão das seguites variáveis: a) Peso de adultos (X), em kg X = { } x 65kg sx 1, 90kg b) Peso de aparelhos (Y), em kg Y = { } y 475kg sy 1, 90kg Note que a variabilidade é expressa com a ifluêcia da ordem de gradeza da variável. 15

16 Problema Os dois cojutos de dados referem-se ao comprimeto do corpo (X), dado em mm, e peso (Y) de fêmeas, dados em g, de Peaeus paulesis (Crustacea, Decapoda, Peaidae) Camarão sete-barbas, obtidos as despescas dos viveiros do CCA/UFSC. a) Comprimeto do corpo (X): X = {7, 6, 6, 5, 5, 5, 5, 3, 3, 30, 30, 33, 33, 33, 35, 35, 35, 36} x 9,1667mm sx 4, 6305mm b) Peso do corpo (Y): Y = {0,14; 0,16; 0,14; 0,1; 0,1; 0,1; 0,11; 0,09; 0,07; 0,18; 0,3; 0,8; 0,8; 0,3; 0,31; 0,33; 0,36; 0,33} y 0,050g sy 0, 0984g Não faz setido a comparação etre desvios padrões obtidos a partir de valores com uidades diferetes. 16

17 e) Coeficiete de variação (CV) É uma medida relativa percetual da variabilidade dos dados em toro da média. É utilizado para a comparação de dispersões (variabilidade) quado as médias são muito desiguais; OU as uidades de medida são diferetes. É dada por: CV X s x X 100 Características: Expressa a variabilidade dos dados tirado a ifluêcia da ordem de gradeza da variável (medida de dispersão relativa); O CV é adimesioal; Quato meor o CV, mais homogêeo é cojuto de dados. O CV é utilizado em estudos de diâmica de populações vegetais ou aimais; e estatística experimetal. 17

18 Na experimetação o CV idica a precisão do experimeto (ou seja, a capacidade de o realizarmos ovamete, sob as mesmas codições, e produzir resultados semelhates). Em esaios agrícolas de campo, para culturas auais como soja, milho e feijão e variável redimeto de grãos, temos a seguite orietação para o CV: CV 10% baixo 10% < CV 0% médio 0% < CV 30% alto CV > 30% muito alto Experimetos ode os fatores podem ser cotrolados, por exemplo, experimetos coduzidos em casas de vegetação, um valor de CV acima de 10% idicaria problemas de cotrole. Cuidado com essa iterpretação! Os valores aceitáveis a experimetação do CV depedem do tipo de pesquisa e da variável em estudo, sedo assim, ão existe uma orietação geral, deve-se fazer uma busca bibliográfica em pesquisas similares. 18

19 Problema 1 Calcule a média e o desvio padrão das seguites variáveis: a) Peso de adultos (X), em kg X = { } x 65kg sx 1, 90kg b) Peso de aparelhos (Y), em kg Y = { } y 475kg sy 1, 90kg CV CV X X sx 100 x 19,85% 1, CV CV Y Y sy y 100,7% 1, Coclusão: A variabilidade a variável X é maior do que a variável Y. 19

20 Problema Os dois cojutos de dados referem-se ao comprimeto do corpo (X), dado em mm, e peso (Y) de fêmeas, dados em g, de Peaeus paulesis (Crustacea, Decapoda, Peaidae) Camarão sete-barbas, obtidos as despescas dos viveiros do CCA/UFSC. a) Comprimeto do corpo (X): X = {7, 6, 6, 5, 5, 5, 5, 3, 3, 30, 30, 33, 33, 33, 35, 35, 35, 36} x 9,1667mm sx 4, 6305mm b) Peso do corpo (Y): Y = {0,14; 0,16; 0,14; 0,1; 0,1; 0,1; 0,11; 0,09; 0,07; 0,18; 0,3; 0,8; 0,8; 0,3; 0,31; 0,33; 0,36; 0,33} y 0,050g sy 0, 0984g CV X 4,6305 9, ,88% CV Y 0, ,050 48,00% Coclusão: A variabilidade a variável peso (Y) é maior do que a variável comprimeto (X). 0

21 Logo, quado o objetivo for comparar dispersões: Os dados vêm expressos a mesma uidade de medida e as médias são iguais ou muito próximas. Compara-se os valores do desvio padrão, ão se obtedo iformação adicioal com o uso do coeficiete de variação. Os dados podem se apresetar expressos as mesmas uidades de medida, mas as médias aritméticas são sigificativamete diferetes. Pode-se utilizar desvio padrão, porém com coeficiete de variação obtém-se uma comparação mais reveladora. Os dados podem se apresetar expressos em uidades de medidas diferetes. É totalmete iviável o uso do desvio padrão, sedo pleamete justificável o coeficiete de variação. 1

22 Outlier

23 Lembra-se da importâcia de se idetificar as observações discrepates (ou outliers) um cojuto de dados? Propriedades das variáveis com distribuição Gaussiaa: a) 68,3% dos dados estão compreedidos etre: ( 1; + 1). b) 95,4% dos dados estão compreedidos etre: ( ; + ). c) 99,7% dos dados estão compreedidos etre: ( 3; + 3). Defiição: Numa distribuição aproximadamete ormal, algum(s) valor(es): maior(es) que x 3s x 3s meor(es) que,, ou são cosiderados valores discrepates ou outliers. OBS: Para qualquer distribuição dos dados existe a regra baseada a desigualdade do matemático Chebyshev. (Não usaremos aqui!) 3

24 Exercício Para os dados de Peso do corpo do camarão sete-barbas (Y), em g, verifique se existe outliers. Y = {0,14; 0,16; 0,14; 0,1; 0,1; 0,1; 0,11; 0,09; 0,07; 0,51; 0,18; 0,50; 0,3; 0,8; 0,8; 0,3; 0,31; 0,33; 0,36; 0,33} Y No software R: Y<- c(0.14, 0.16, 0.14, 0.1, 0.1, 0.1, 0.11, 0.09, 0.07, 0.51, 0.18, 0.50, 0.3, 0.8, 0.8, 0.3, 0.31, 0.33, 0.36, 0.33) ybarra<- mea(y); ybarra s<- sd(y); s LI = ybarra - 3*s; LI LS = ybarra + 3*s; LS Idex plot(y, pch=19, ylim=c(-0.3, 0.65)) ablie(h=li, lty=, col="red"); ablie(h=ls, lty=, col="red") ablie(h=ybarra, lty=) 4

25 Gráfico de caixa (ou Boxplot, ou box-ad-whisker plot ou plote maria-chiquiha) Proposto por Tukey, é um método alterativo para uma melhor represetação dos dados. Forece iformações sobre: locação, dispersão, assimetria e observações discrepates. 5

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27 Olhado o gráfico de caixa, a distribuição dos dados pode ser: Simétrica: 5% 5% 5% 5% A liha que represeta a mediaa estará localizada mais ou meos o cetro do retâgulo e as duas lihas que partem das extremidades do retâgulo terão aproximadamete os mesmos comprimetos. 7

28 Assimétrica: à direita: liha da mediaa mais próxima de Q 1 do que de Q 3. à esquerda: liha da mediaa mais próxima de Q 3 do que Q 1. 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% 5% Q 1 Q Q 3 Q 1 Q Q 3 8

29 Costrução do gráfico de caixa 1) Obteha os valores: Q 1, Q, Q 3 ) Calcular a amplitude iterquartílica (AIq) e a média amostral ( x ); 3) Verificar se há valores discrepates, isto é, dados: meores do que LI = Q 1 1,5 AIq ou maiores do que LS = Q 3 + 1,5 AIq, 4) Calcular os limite iferior (i) e superior (ii) dos dados sem cosiderar os valores discrepates; 5) Costruir o gráfico de caixa seguido o esquema: LI AIq LS Outliers * + * * OBS: + é a média (i) Q1 Md=Q Q3 (ii) X 9

30 Exercício: Costrua um gráfico de caixa para cada Turma e compare as otas de estatística dos aluos da UFSCar. Quais coclusões você pode tirar?1 Turma A: Turma B: No software R: Turma<- c(rep("a", 10), rep("b", 10)) Notas<- c(5, 6, 6, 8,, 7, 7, 7, 5, 4, 1, 7, 7, 7, 5, 4,, 8, 3, 10) dados<- data.frame(turma, Notas) Quais os LI e LS? LI = Q 1 1,5 AIq LS = Q 3 + 1,5 AIq A<- subset(dados, dados$turma=="a") B<- subset(dados, dados$turma=="b") summary(a$notas); summary(b$notas) Mi. 1st Qu. Media Mea 3rd Qu. Max Mi. 1st Qu. Media Mea 3rd Qu. Max # Boxplot em um úico gráfico boxplot(notas ~ Turma, col="lightgray", horizotal=true) 30

31 Iterpretação Resolução OBS: Turma A 1 Turma B Turma A Turma B 1 Metade da potuação da Turma A está etre 5 e 7. Já para a Turma B, está etre 3,5 a 7. A Turma B apresetou maior variabilidade etre as otas. A Turma A apresetou a maior média. A distribuição dos dados da Turma A apreseta ser mais simétrica que o da Turma B. Se a ota míima é 6 para que o aluo seja aprovado, pode se observar que, metade dos aluos (50%) de ambas as Turmas A e B estão abaixo da média. 31

32 Tarefa Foram tomadas duas amostras de tamahos iguais a 5 observações, de crescimeto de pseudobulbo, em cm, da espécie de orquídea Laelia purpurata, sob duas codições de lumiosidade (com luz direta e com luz idireta). Tabela Dados de crescimeto de pseudobulbo de Laelia purpurata, Floriaópolis, SC. 1,6 1,6 1,9 1,9,1,1,1,1,1 Luz direta Luz idireta,4,5,5,7 3,4 3,4 3,7 3,9 4, 4,8 6,3 6,5 7, 8,8 9,4 9,5 1,4 1,9,8 3,1 3,5 3,5 3,6 3,9 4,3 4,5 4,6 4,8 6,3 6,5 6,7 6,7 6,8 6,9 8,1 8,6 10,4 1,7 16,3 16,8 16,9 O exercício deve ser feito à mão! a) Costrua uma tabela de frequêcias (com 5 classes) para cada codição de lumiosidade. b) Baseado as tabelas de frequêcias, em um mesmo gráfico, costrua um boxplot para cada situação. c) Existe dados discrepates? Justifique. d) Comparado os resultados das codições de lumiosidade, quais coclusões podemos tirar? e) Obteha a variâcia e o desvio padrão das amostras e comete sobre os valores. 3

33 Estatísticas descritivas da distribuição a) Coeficiete de curtose b) Coeficiete de assimetria c) Mometos 33

34 Coeficiete de Curtose É a medida do achatameto da distribuição. Mesocúrtica: quado apreseta uma medida de curtose igual à da distribuição ormal. Platicúrtica: quado apreseta uma medida de curtose meor que a da distribuição ormal. Leptocúrtica: quado apreseta uma medida de curtose maior que a da distribuição ormal. 34