5. Medidas de dispersão

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1 5 Medidas de dispersão 00

2 Chamadas de medidas de variabilidade (dispersio ou variability) Quatificação das difereças etre os valores,,, Dispersão e cocetração (ou precisão) são coceitos opostos Redução (drástica) de observações a um só valor

3 5 Amplitude (rage) Medida de variabilidade etre os etremos Dados ordeados: () () () A () - () MAX mi Propriedades () A 0 () A 0 se, e somete se, 5 Amplitude iterquartil (iterquartile rage) d q Q 3 Q d q é mais resistete do que A Eercícios () Apresete a curva de sesibilidade (CS) de A () Qual a forma da CS de d q? 3

4 Valor atípico (outlier) Valor etremo, espúrio, aberrate, estraho, discrepate, Observação afastada do restate dos dados Critérios: i < Q 3d q ou i > Q 3 + 3d q : valor atípico severo Q 3d q < i < Q,5d q ou Q 3 +,5d q < i < Q 3 + 3d q : valor atípico moderado Q 3d q : barreira etera iferior Q + 3d q : barreira etera superior Q,5d q : barreira itera iferior Q +,5d q : barreira itera superior 4

5 Gráfico de caia (bo plot) Gráfico caia-de-bigodes (bo-ad-whisker plot) Valor adacete iferior: meor valor o couto de dados que ão é etremo (pode ser igual a () ) Valor adacete superior: maior valor o couto de dados que ão é etremo pode ser igual a () 5

6 Gráfico de caia c(5, 9, 7, 6, 38, 3,, 8, 3, 05, 6, 4, 7, 7, 9, 07,, 3, 4, 3, 8, 7, 3, 7, 0,,, 6, 3,, 5, 3,, 8,, 0, 5, 5, 6, 6, 4,, 5,, 0, 3, 6, 9, 3, 4, 3, 9, 48) > boplot() > boplot(, pch 0) Obs Na costrução do gráfico de caias, quato maior for, melhor 6

7 Gráfico de caia > boplot(, pch "*", horizotal TRUE, lab "Espessura (mm)") > b boplot(, plot FALSE) > ames(b) b$stats: valor adacete iferior, Q, Q, Q 3 e valor adacete superior * * b$: úmero de observações b$out: observações etremas [,] [,] 05 > b$stats [,] 4 [3,] 7 [4,] [5,] Espessura (mm) > class(b$stats) [] "matri" 7

8 Gráfico de caia > boplot(, pch "*", horizotal TRUE, lab "Espessura (mm)") > idetify(b$out, rep(, legth(b$out)), match(b$out, )) 5 53 * * 3 4 Espessura (mm) 8

9 Gráfico de caia * ** * ** * Eercício Descreva coutos de dados correspodetes a cada um dos gráficos 9

10 Gráfico de caia O que é possível observar em um gráfico de caia? * ** * * * Medida de posição (M Q ) Medida de dispersão (d q Q 3 Q ) Simetria Valores etremos 0

11 53 Desvio médio ou desvio absoluto médio (mea absolute deviatio) dm i i Obs () A mediaa (M) pode ser usada o lugar da média () Não é uma medida resistete 54 Desvio absoluto mediao (media absolute deviatio) M mediaa(,,, ) MAD mediaa( M, M,, M ) Obs MAD é uma medida resistete

12 55 Variâcia (variace) s i ( ), i Obs () Uidade de s é a uidade de () Não é uma medida resistete (3) Importate em Iferêcia Estatística ( ) Eercício Prove que 56 Desvio padrão (stadard deviatio) i i i i s s i / ( ) i Obs () Uidade de s é a mesma uidade de () Não é uma medida resistete

13 Propriedades da variâcia P Se y i a + i, i,,, a um úmero real, etão s y s P Se y i b i, i,,, b um úmero real, etão s y b s Obs s y b s P3 Se y i a + b i, i,,, a e b úmeros reais, etão s y b s P4 Se as observações compõem g grupos (g ), cada um com observações e g, etão ( ) s i g ( i ( ) ) s + (variação total em relação à g ( ) média) Obs Variação total variação itragrupos + variação etre grupos Total variatio withi groups variatio + betwee groups variatio 3

14 4 Propriedades da variâcia g g g g m m g,,,, ( ),,,, g s m m

15 Eemplo dados a lâmia 6 c(5, 9, 7, 6, 38, 3,, 8, 3, 05, 6, 4, 7, 7, 9, 07,, 3, 4, 3, 8, 7, 3, 7, 0,,, 6, 3,, 5, 3,, 8,, 0, 5, 5, 6, 6, 4,, 5,, 0, 3, 6, 9, 3, 4, 3, 9, 48) > var() [] Eercício Cosulte a auda da fução mad (? mad) > sd() [] 0733 > b mea() > (dm mea(abs( - b))) [] > M media() > (MAD media(abs( - M))) [] 04 5

16 Eemplo dados a lâmia 6 > despad sd() > stripchart(, method "stack", pch 0, lab "Espessura (mm)", at 0) > boplot(, pch "*", horizotal TRUE, at, add TRUE) > arrows(b - despad, 5, b + despad, 5, code 3, agle 90) > poits(b, 5, pch 9) * * 3 4 Espessura (mm) 6

17 57 Coeficiete de variação (coefficiet of variatio) () O desvio padrão (s) está viculado à média Dificuldade em comparar desvios padrão se as médias são muito diferetes () A, d q, dm, MAD, s e s são medidas de dispersão absolutas Depedem da uidade de medida de Comparações evolvedo duas ou mais variáveis diferetes ou medidas em diferetes escalas (m e cm, p e) ão são possíveis () e () apotam a coveiêcia de medidas relativas s CV, se 0 Pode ser dado em % Propriedades () CV é adimesioal () Não é uma medida resistete (3) É istável se média 0 (4) 0 CV < ½ 7

18 58 Amplitude studetizada (Studetized rage) A s A s ( ) s () MAX s mi Pode ser dada em % Obs Dividir pelo desvio padrão sigifica studetizar (ou padroizar) uma medida Propriedades () Não é uma medida resistete () A s ( ) Obs Uma medida de dispersão relativa resistete: d q / M Eemplo dados a lâmia 6 > (cv sd() / mea()) [] > (As (ma() - mi()) / sd()) [] Obs A fução rage forece o vetor (mi, MAX) 8