6. Medidas de assimetria e curtose
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- Estela Castelhano Lopes
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1 6 Medidas de assietria e curtose 00
2 6 Medidas de assietria Ua variável aleatória cotíua X te distribuição siétrica (syetric) e relação a u valor 0 se f( 0 a) f( 0 + a), para todo a Distribuições siétricas: f() f() Obs M 0 Moda e édia ão ecessariaete são iguais a 0 f() 09 0 f()
3 Distribuições assiétricas: f() f() f() f()
4 Relação etre oda, ediaa e édia Supoos que a distribuição é uiodal e que a édia eiste Distribuição siétrica: oda ediaa édia
5 Relação etre oda, ediaa e édia Distribuição assiétrica à direita ou assiétrica positiva (right skewed ou positive skewed): édia > ediaa > oda Cauda direita (right tail) é ais loga 5
6 Relação etre oda, ediaa e édia Distribuição assiétrica à esquerda ou assiétrica egativa (left skewed ou egative skewed): édia < ediaa < oda Cauda esquerda (left tail) é ais loga Obs Depededo do autor, há troca de esquerda por direita 6
7 U cojuto de dados,,, é siétrico e relação a 0 se para todo j eiste k tal que j 0 - ( k 0 ), j k Desta fora, i Pela sietria, M 0 ( ) 0 Logo, 0 i 0 Eeplo (, 6, 6,, 0, 60, 68, 7, 7, 76) é siétrico e relação a 0 50 Medidas de assietria Quatificação da falta de sietria de,,, Redução (drástica) de observações a u só valor Assue valores reais Medida 0: idicativo de sietria Obs Dados obtidos de ua variável aleatória X siétrica ão ecessariaete são siétricos 7
8 Assietria e cojutos de dados Aproiadaete siétrico Assietria positiva Desidade Desidade Assietria egativa Desidade Desidade
9 6 Medida de assietria de Pearso Utiliza a relação etre oda, ediaa e édia e distribuições uiodais g Mo s Requer o cálculo da oda (Mo) É adiesioal Moetos Dados:,,, Moeto de orde k e relação à orige ou oeto ão cetral (raw ou crude oet): k k i, k 0,,,, sedo que 0 e i Moeto cetral de orde k (cetral oet): k i ( i ) k, k 0,,,, sedo que 0 e 0 9
10 0 Obs ( ) s / Relação etre os oetos: 6 e, e, Se ua variável aleatória X te distribuição siétrica, seus oetos cetrais de orde k ípar, se eistire, são todos ulos: E[(X - µ)] k 0, sedo que µ E(X) Sedo assi, podeos utilizar o o oeto cetral para propor ua edida de assietria Obs E[(X - µ)] 0 ão iplica que a distribuição de X é siétrica
11 6 Assietria (skewess) g / i i ( ( i i ) ) / Propriedades () g é adiesioal e () g é u úero real 6 Medidas de curtose E distribuições uiodais, a curtose (kurtosis) está associada ao afilaeto ou ao achataeto da distribuição Característica do pico da distribuição (degree of peakedess) No caso de ua variável aleatória cotíua uiodal, a curtose diz respeito à fora de f() e toro de sua oda (que pode coicidir co a édia e a ediaa)
12 Distribuições siétricas co édias e variâcias iguais: f() Difereças quato ao afastaeto e relação à édia, as que ão são captadas pela variâcia Este fato sugere utilizaros o o oeto cetral para quatificar estas difereças
13 Distribuições platicúrticas, esocúrticas e leptocúrticas Platicúrtica (platykurtic): caudas curtas ou leves (short ou light ou thi) Leptocúrtica (leptokurtic): caudas logas ou pesadas (log ou heavy ou thick ou fat) Fote Buler, M G (979), Priciples of Statistics, Dover: New York Mesocúrtica (esokurtic): caudas eutras (e curtas e e logas)
14 ) ( ) ( i i i i g Curtose (kurtosis) Propriedades () g é adiesioal e () g > 0 Obs Se X ~ N(µ, σ ), etão E[(X µ) ] / {E[(X µ) ]} E[(X µ) ] / σ Muitas vezes a curtose é epressa coo g e g (ecess) Platicúrtica: g e < 0 Mesocúrtica: g e 0 Leptocúrtica: g e > 0
15 Distribuições siétricas co édias e variâcias iguais: f() Platicúrtica (< 0) Mesocúrtica (0) Leptocúrtica (> 0)
16 Moetos e R Pacote oets > library(oets) Eeplo, 0,,7, -, e são os oetos cetrais até orde de u cojuto de dados co édia,8 > oc c(, 0, 7, -, ) > b 8 > (o0 cetralraw(oc, b)) [] (oetos ão cetrais) Fução rawcetral: coverte oetos ão cetrais e cetrais > o0 c(0, 5,, 8, 70) > (oc rawcetral(o0)) [] (oetos cetrais) 6
17 Moetos e R 0 observações c(88, 6, 8, 59, 97, 50, 65, 09, 6, 979, 6, 99, 9, 7, 8, 75, 877, 08, 05, 8, 87, 05, 060, 999, 56, 559, 066, 76, 5, 77, 5, 05, 00, 5, 769, 8, 0, 97, 08, 78) > boplot(, horizotal TRUE, lab X ) > rug() Moeto ão cetral de orde : > oet(, order, cetral FALSE) [] 9609 Moetos cetrais até orde : Qual o resultado de ea(^)? > (o alloets(, ordera, cetral TRUE)) 7
18 Assietria e curtose e R Pacote oets > skewess() [] Qual o resultado de o[] / o[]^5? > kurtosis() [] 08 Qual o resultado de o[5] / o[]^? > kurtosis() - [] 008 > hist(, ai "", lab "", freq FALSE, ylab "Desidade ) > rug() > lies(desity(), col "blue") Desidade
19 Dados faltates (issig data) e R Observações idispoíveis por algu otivo E R: NA (ot available) 0 (?) observações c(88, NA, 8, 59, 97, 50, 65, 09, 6, 979, 6, 99, 9, 7, 8, 75, NA, 08, 05, 8, 87, 05, 060, 999, 56, 559, 066, 76, 5, NA, 5, 05, 00, 5, 769, 8, 0, 97, 08, 78) > suary() > which(isa()) [] 7 0 > ea() [] NA > kurtosis() [] NA > ea(, ar TRUE) [] 5568 > kurtosis(, ar TRUE) [] 897 Substituição dos faltates pela édia: > isa() ea(, ar TRUE) 9
6. Medidas de assimetria e curtose
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