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1 CURSO DISCIPLINA PROFESSOR I) Itrodução ao Limite de uma Fução UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Limite de uma Fução José Elias Dos Satos Filho Você já deve ter tido a eperiêcia de tetar calcular o custo aproimado de um produto Imagie você pergutado a um amigo sobre o custo do quilo do feijão carioquiha os mercados de sua cidade e obtém a seguite resposta: O custo do feijão carioquiha os mercados de ossa cidade, eu ão sei ao certo, mas sei que é de aproimadamete R$5,00 Veja que se você ecessita de 7 quilos de feijão carioquiha, o que teremos é uma estimativa de quato você vai gastar para obter os 7 quilos de feijão, isto é, quato mais próimo de R$5,00 estiver o custo do feijão, o valor a ser pago pelos 7 quilos estará cada vez mais próimo do valor de R$5,00 Observe que se represeta o custo do quilo do feijão carioquiha e P represeta o valor a ser pago pro 7 quilos de feijão, etão P( ) 7 Note que, pela situação problema descrito ateriormete, vemos que se estiver cada vez mais próimo do valor 5 (deotaremos isso da forma 5 ), teremos P ( ) cada vez mais próimo de 5 (deotaremos isso da forma P ( ) 5 ) P( ) 7 Podemos represetar esse fato da seguite forma: P ( ) 5 5 A otação acima os diz que se é um valor suficietemete próimo de 5, etão o valor da fução estará cada vez mais próimo do valor 5 Veja gráfico abaio, bem como a plailha de valores, e costate o ite P ( ) 5 5

2 II) Noção Ituitiva do Limite O que faremos agora é estudar o que acotece com os valores de uma fução f( ) quado o valor de estiver suficietemete próimo de um poto a, ou seja, se dos valores de f( ) f( ) a, qual o comportameto Para ficar mais claro o estudo do ite de uma fução um poto, cosidere a fução, ode ( ) {} Dom f IR, ou seja, f( ) ão esta defiida para Vamos ver o comportameto dos valores de f( ), quado Para isso, observe a tabela abaio com valores de (tato valores < quato >) e os respectivos valores de f( ) f( ) da forma Observamos pela tabela acima que se tede, ou seja, etão os valores de estarão cada vez mais próimos de, isto é, f( ) sempre que Desta forma, diremos que o ites de f( ) f( ) Veja graficamete a ilustração do ite da fução f( ) quado é e deotaremos este fato quado

3 Pelo gráfico da fução, observe que se o valor de estiver suficietemete próimo do valor, o valor de f( ) estará cada vez mais próimo do valor Assim, diremos que o ite de f( ) quado tede a é e deotaremos da forma f( ) De um modo geral, dizemos que o ite da fução f( ), quado tede ao valor a, é igual ao úmero real L se, e somete se, os úmeros reais f( ), para os ifiitos valores de permaecerem próimos de L, sempre que estiver suficietemete próimo de a Notação: III) Limites Laterais f ( ) L a Note que quado estudamos o ite da fução f( ) quado, tivemos que cosiderar valores de meores que quato valores de maiores que, ou seja, valores < e valores > Vamos rever ovamete a tabela que os ajudou a determiar o ite f( ) Na tabela a qual temos com <, otamos que f ( ) f ( ) Aalogamete, a tabela a qual temos com >, também verificamos que f ( ) f ( ) teremos f( ) O ite f( ) quado (<) e o ite Desta forma, se, seja com valores < ou >, é deomiado de ite lateral pela esquerda da fução f( ) f( ) é deomiado de ite lateral pela direita da fução f( ) quado (>)

4 De uma forma geral, se se aproima de a através de valores maiores que a ( a simplesmete pela sua direita, e f ( ) L escrevemos f ( ) L (Esse ite é chamado de ite lateral à direita de a ) a Aalogamete, se se aproima de a através de valores meores que a ( a simplesmete pela sua esquerda, e f ( ) M escrevemos f ( ) M (Esse ite é chamado de ite lateral à esquerda de a ) a ) ou ) ou Teorema: O ite f ( ) L, se, e somete se, os ites laterais f( ) a a e f( ) a eistirem e forem iguais a L Simplificado: f ( ) L f ( ) f ( ) L a a a Note que, para a fução f( ) Observação Importate: f( ) a a temos que Se f ( ) f ( ), etão ão eiste f ( ) a e assim Eemplos ) Calcule o ite g ( ), caso eista, sabedo que g( ) Resolução: Note que, quado, isto é, se aproima de, (seja pela direita com > ou pela esquerda com <) o valor de estará cada vez mais próimo de 4 Aalogamete, quado, isto é, se aproima de, (seja pela direita com > ou pela esquerda com <) o valor de estará cada vez mais próimo de 6 Assim, quado, isto é, se aproima de, o valor de mais próimo de 4 6, ou seja, g( ) g( ), quado estará cada vez Portato, g( ) ( ) 4 6 Dica para Você: Baie o arquivo, Limite g()ggb e veja o gráfico da fução g ( ) g( ) e do ite 4

5 ) Cosidere a fução se, h( ), se, se, cujo gráfico esta represetado abaio Calcule, caso eista, os ites Resolução: h( ) e h( ) a) Note que quado cosideramos, devemos levar em cota o fato de que < ou > Assim, ote que quado (<), a fução é dada por h ( ) Logo, h( ) ( ) Aalogamete, ote que quado Logo, Como ite graficamete (>), a fução é dada por h( ) h( ) ( ) h( ) h( ), etão h ( ) Observe o gráfico da fução e veja este b) Note que quado cosideramos, devemos levar em cota o fato de que < ou > Assim, ote que quado Logo, (<), a fução é dada por h( ) h( ) ( ) Aalogamete, ote que quado Logo, Como, h( ) ( ) 4 h( ) h( ) (>), a fução é dada por h( ), etão o ite h ( ) ão eiste Observe o gráfico da fução e veja que há uma quebra o gráfico da fução para valores próimo de Dica para Você: Baio o Arquivo Limite-h()ggb e veja a aimação gráfica dessa fução 5

6 IV) Propriedades do Limite Supohamos que f ( ) L, g( ) M e k IR I) Limite de uma costate Eemplos: a) a a O ite de uma costate é a própria costate, isto é, 4 b) 8 a k k II) Limite da soma ( ou da difereça ) O ite da soma (ou da difereça) de duas fuções é igual à soma ( ou à difereça ) dos ites dessas fuções, isto é: Eemplos: a) b) f ( ) g( ) f ( ) g( ) L M a a a ( ) ( 5) 5 5 II) Limite do produto Eemplo: O ite do produto de duas fuções é igual ao produto dos ites dessas fuções, isto é: f ( ) g( ) f ( ) g( ) L M a a a III) Limite do quociete O ite do quociete de duas fuções é o quociete dos ites dessas fuções (eceto quado o ite do divisor for igual a zero), isto é: Eemplo: f ( ) f( ) a L, desde que g( ) M 0 a g ( ) g ( ) M a a ( ) 5 ( ) 4 IV) Limite de uma potêcia O ite de uma potêcia eésima de uma fução é igual à potêcia eésima do ite dessa fução, isto é: Eemplo: [ f ( )] f ( ) L a a 6

7 V) Limite de uma raiz O ite da raiz eésima de uma fução é igual à raiz eésima do ite dessa fução, isto é: f ( ) f ( ) L, desde que L eista a a Eemplo: EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Eplique com suas palavras com suas palavras o sigificado da equação f( ) 5 É possível que a equação aterior seja verdadeira, mas que f ()? Eplique ) Eplique o que sigifica dizer que Nesta situação, é possível que f( ) 5 f( ) e f( ) 7 eista? Eplique ) Cosidere uma fução f cujo gráfico esta represetada abaio f acima, obteha: Com base o gráfico da fução a) f b) f c) f d) f e) f g) f h) f i) f j) f

8 4) Utilize o gráfico da fução g ( ) para estimar os ites e os valores da fução ou eplique por que os ites ão eistem a) g( ) b) g( ) c) g( ) d) g( ) e) g( ) f ) g( ) g) g( ) h) g() i) g( ) j) g() 5) Calcule o ite da fução o poto idicado a) b) 4 c) 4 4 d) 4 e) f ) f Determie : 6) Cosidere as fuções e g a) f g b) f g 7) Supoha que f( ) 5 a e g ( ) 0 Determie: c) f( ) a) f ( ) g( ) b) f ( ) g( ) c) f ( ) g( ) d) a a a a f ( ) g ( ) 8) Os gráficos de f e g são dados Use-os para calcular cada ite Caso ão eista o ite, eplique por quê f g ( a) f ( ) g( ) ( b) f ( ) g( ) ( c) f ( ) g( ) 0 f( ) g ( ) ( d) ( e) f ( ) ( f ) f ( ) 8

9 9) Cosidere a fução 4, se f, se 0 4, se 0 a) Calcule o valor da epressão f ( ) f ( ) f (0) f () ; 0 b) Calcule f f f c) Represete graficamete essa fução ; 0) Esboce o gráfico de um eemplo de uma fução f que satisfaça todas as codições dadas em cada caso a) f ( ), f ( ), f () b) g( ), g( ), g( ) 0, 0 0 g( ) 0, f (), f (0) ão está defiida 9

10 I-Limites Ifiitos tabela abaio UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE CURSO DISCIPLINA PROFESSOR Iicialmete, cosidere a fução LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I José Elias Dos Satos Filho Limites Ifiitos e Limites o Ifiito f( ) Vamos ver o que acotece com os valores de Note que, Dom( f ) IR {0} f( ), quado 0 Para isso, observe a f( ) Observe que se estiver suficietemete próimo de zero, ou seja, se 0, etão os valores de cresce idefiidamete, ou seja, Veja o gráfico da fução f( ) f( ) para visualizar o ite Assim, f( ) 0 0 f( ) 0 0

11 Veja agora o gráfico da fução g ( ), ode Dom( g) IR {0} Observe que se 0 idefiidamete, ou seja,, os valores de 0 g ( ) g ( ) Aalogamete, observe que quado 0 de 0 g ( ) g ( ) cresce, os valores decresce idefiidamete, ou seja, Note que ão podemos cocluir que em que g ( ) 0 g ( ) 0 De poto de vista mais iformal, as epressões f( ) e f( ) sigificam que f( ) cresce idefiidamete, sem cota superior quado a pela esquerda ou pela direita, a respectivamete Se ambas são verdadeiras, etão escrevemos f( ) a De forma aáloga, as epressões f( ) e f( ) a decresce idefiidamete, sem cota iferior quado Se ambas são verdadeiras, etão escrevemos f( ) -Dicas Importates para Você I) 0 Cosidere C C 0 a a a sigificam que f( ) a pela esquerda ou pela direita, respectivamete IN e C IR, com C 0 Podemos ter assim, os seguites ites ifiitos C C C C II ) se for PAR ou 0 se for IMPAR Eercícios Resolvidos: ) Calcule os seguites ites, caso eistam: a) 0 b) c) d) Resolução: a) Temos que, Valor Próimo de 0 mas positivo, pois, 0

12 b) Temos que, 0 etão 0 c) Temos que,, etão etão 0 d) Iicialmete ote que se, etão Assim, devemos calcular os seguites ites laterais, coclusão sobre o ite Note que, 0 0 e se e que Portato, como os ites laterais são diferetes, etão -Assítotas Verticais Observe o gráfico da fução f( ) 8 ( 4) e, etão 0 0 ão eiste, ode Dom( f ) IR {, }, ates de tirar alguma Dica para Você: Baie o Arquivo Limite Assítotas Verticaisggb para visualizar o gráfico desta fução o Geogebra

13 Note que eistem duas retas verticais, a saber, a reta e a reta dividem o gráfico da fução em três partes Observe que quado ou o gráfico da fução f( ) 8 ( 4) estará cada vez mais próimo da reta Desta forma, a reta é deomiada assítota vertical da fução f( ) Aalogamete, quado ou o gráfico da fução f( ) 8 ( 4) estará cada vez mais próimo da reta Desta forma, a reta também é deomiada assítota vertical da fução f( ) De uma forma geral, quado temos f( ) ou f( ), etão a fução a a Assítoa Vertical f( ) possui uma assítota vertical que é a reta a -Eercícios Propostos: ) Cosidere o gráfico da fução f( ) represetado abaio a a Assítoa Vertical Com base o gráfico da fução f( ) ao lado obteha: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f ) f ( ) g) as assítotas verticais da fução Justifique cada uma delas ) Calcule os seguites ites, caso eistam: 4 a) b) c) d) 9 0 ) Utilize o software Geogebra para esboçar os gráficos das fuções abaio Que assítotas verticais os gráficos possuem? Por que as assítotas verticais estão localizadas ode estão? 4 ( a) f ( ) ( b) g( ) ( c) h( ) ( d) k( ) se( ) 4

14 II- Limites o Ifiito os valores de Cosidere a fução f( ) f( ), ode Dom( f ) IR {0} Vejamos agora, o que acotece com, quado os valores da variável crescem idefiidamete, ou seja, quado, como também, iremos verificar o que acotece com os valores de f( ), quado os valores da variável decrescem idefiidamete, ou seja, quado Para isso, observe a tabela abaio: Com base a tabela acima, observamos que quado os valores de cresce idefiidamete, ou seja, quado, os valores da fução f( ) estão cada vez mais próimos de zero, isto é, f( ) 0 Aalogamete, quado os valores de decresce idefiidamete, ou seja, quado, os valores da fução f( ) 0 f( ) estão cada vez mais próimos de zero, isto é, De um poto de vista mais iformal, se os valores de uma fução f( ) ficam cada vez mais próimos de um úmero L à medida que cresce sem parar, etão escrevemos: f ( ) L, ou seja, f ( ) L quado Aalogamete, se os valores de uma fução f( ) ficam cada vez mais próimos de um úmero L à medida que decresce sem parar, etão escrevemos: f ( ) L, ou seja, f ( ) L quado Abaio veremos uma ilustração gráfica dos ites o ifiito 5

15 - Dicas Importates para você Se C IR é uma costate qualquer etão: C C C C I) 0 II ) 0 Isso sigifica que Isso sigifica que crece ou decresce crece ou decresce idefiidamete idefiidamete -Eercícios Resolvidos ) Calcule os seguites ites: a) Resolução: 4 b) ) c (a) Temos que, ote que se etão (b) Temos que, (c) Observe que 0 Assim, quado Assim, Abaio você terá uma ilustração do gráfico de cada uma dessas fuções

16 - Dica Importate para Você: Limites de poliômios quado O comportameto de um poliômio qualquer com a 0, coicide com o comportameto fial de seu termo de maior grau Resumido, se 0 P( ) a a a a a, 0 a P( ) a a a a a, com a 0 ( a a a a a ) a e 0 ( a a a a a ) a 0, etão -Eercícios Resolvidos )Calcule os seguites ites, caso eistam ( a) ( b) ( c) ( d) Resolução: (a) Pela dica acima, temos que (5) e que (68) 6 Assim, (b) Temos que, (c) Temos que, (d) Temos que, 7

17 -Assítotas Horizotais Sabemos que fução f( ) 8 ( 4), ode Dom( f ) IR {, }, apreseta duas assítotas verticais, que são as retas e a reta Um dos argumetos para afirmar que a reta é uma assítota vertical da fução é o fato de que f( ), e para afirmarmos que a reta é uma assítota vertical da fução é pelo fato de que Observe o gráfico da fução f( ) 8 ( 4) f( ) e verifique que a reta y 0 ita o gráfico da fução quado, ou quado Essa itação é devido ao fato de que f( ) 0 de que f( ) 0 e Assim, diremos que a reta y 0 é uma assítota horizotal da fução y0 Assítota Horizotal f( ) 8 ( 4) f( ) 0 De uma forma geral, quado temos f ( ) L ou f ( ) etão a fução f( ) possui uma assítota horizotal que é a reta y L yl Assítota Horizotal, pois L, yl Assítota Horizotal 8

18 -Eercícios Resolvidos: ) Cosidere a fução Resolução: f( ) 44 Determiar se a fução possui assítotas horizotais Para verificarmos se a fução possui assítotas horizotais é ecessário calcularmos os ites f( ) e f( ) (I) (II) Assim, 4 4 f( ) 4 4 f( ) Pelos resultados acima, verificamos que a fução f( ) 44 assítota horizotal que é a reta y Veja o gráfico da fução abaio e costate esse fato possui apeas uma Note que a fução e 0 f( ), f( ) 44 também possui assítotas verticais que são as retas Observe que = e =0 são as raízes da equação f( ), f( ) e 0 0 provado que as retas e 0 são as assítotas verticais da fução Deomiador Mostre que f( ) e assim você estará 9

19 - Eercícios Propostos 4) Determie o ite de cada uma das fuções quado (a) e (b) 7 a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f ) f ( ) g) f ( ) ) Para cada uma das fuções do eercício (4), determiar as assítotas horizotais da fução 6) Com base o gráfico da fução fução justificado cada uma delas ( ) g ( ) se abaio, determiar as assítotas horizotais da 7) Esboce o gráfico de uma fução y f ( ) que satisfaça as codições dadas Nehuma fórmula é ecessária, simplesmete idique os eios cartesiaos e trace uma curva apropriada ( a) f (0) 0, f (), f ( ), f ( ) e f ( ) ( b) f (0) 0, f ( ) 0, f ( ) f ( ), f ( ) e f ( ) 8) Utilize o software Geogebra para esboçar os gráficos das fuções abaio Em cada caso, determie o que se pede com base o gráfico da fução se ( a) f ( ) ( b) g( ) ; Calcule, caso eista, f( ) e f( ) 0 se ; Calcule, caso eista, g ( ) 0 () c No mesmo plao cartesiao represete que f ( ) h( ) g( ) e com isso estime o valor do ite (c) Represete graficamete a fução f g e h se Verifique g ( ) 6 ( ), ( ) ( ) ( ) h ( ) 0 A reta =- é uma assítota vertical da fução? Essa fução possui assítota horizotal? Com base o gráfico, é possível afirmar que a fução possui uma reta com icliação positiva que represeta uma assítota da fução de forma icliada? 0

20 CURSO DISCIPLINA PROFESSOR UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Limites Idetermiados José Elias Dos Satos Filho -Itrodução Sabemos que para calcular o ite da fução quado, procedemos da seguite forma: f ( ) 4 f ( ) ( 4) e da fução g ( ) g( ) ( ) 4 0 Isto sigifica que os valores de f( ), bem como os valores de g ( ), estarão suficietemete próimo de 0(zero) sempre que estiver suficietemete próimo de Lembre-se que f ( ) 0 e g( ) 0, pois f ( ) 0 e g( ) 0 sempre que Na verdade, o que teremos é Vejamos agora tetar, de forma direta, calcular o ite da fução, vejamos: Veja que temos uma epressão da forma f ( ) g ( ) 4 0 f( ) 0 g ( ) 0 f ( ) 4 g ( ) quado, o que sigifica que tato o umerador quato o deomiador, são valores suficietemete próimos de 0(zero) e assim ão temos como saber o comportameto da divisão 0 0 Esse ite f( ) 0 g ( ) 0 Observe a tabela abaio e veja o que acotece com os valores de é deomiado de ite idetermiado f( ) g ( ) quado

21 Pela tabela acima, vemos que f( ) 0,5 g ( ) De uma forma mais aalítica, ote que, f ( ) 4 ( )( ) e que g( ) ( )( ) Logo, podemos calcular o ite -Limites Idetermiados 0 0 f( ) g ( ) da seguite forma: f( ) ( ) ( ) ( ) 4 0,5 g ( ) ( 6) ( ) ( 6) 8 Estamos etrado em outra etapa sobre ites, este é cohecido por LIMITES INDETERMINADOS, sempre que tivermos uma idetermiação do tipo:,, -, , 0, Teremos que fazer uso dos ossos cohecimetos algébricos, ode os mais cohecidos são: Fatoração de Poliômios, Divisão de Poliômios e Multiplicação pelo Cojugado Faremos aqui algus eercícios sobre ites idetermiados Ate de iiciarmos faremos duas discussões, uma sobre DIVISÃO ENTRE POLINÔMIOS e outra sobre MULTIPLICAÇÃO OELO CONJUGADO, -EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ) Seja Resolução: Temos que, f ( ) O valor do h0 f ( a h) f ( a) h é: I) f ( a h) ( a h) ( a h) a ah h a h Foi feito o seguite passo aqui: Ode tiha () eu troquei por (a + h), pois estou aalisado f(a + h) II) f ( a) a a Foi feito o seguite passo aqui: Ode tiha () eu troquei por (a), pois estou aalisado f(a) h0 Agora, substituímos os valores de f ( a h) e f( a ), para calcular o ite, observe: f ( a h) f ( a) h0 h h0 a ah h a h a ah h a h a a ha a h0 h ah h h ah h h (a h ) a h0 h h h h0 f ( a h) f ( a) Portato, a h0 h h

22 ) Calcule o ite Resolução: 8 Poderemos usar para sair da idetermiação 0 0 por usar Fatoração de Poliômios Sabemos pelos produtos otáveis que I) a = ( a)( + a) II) a = ( a)( + a + a ), a Divisão etre Poliômios ou Fatoração Neste caso, vamos optar Sabedo que 8, e por (II) temos que 8 ( )( 4) Com relação ao umerador da fração 8, vamos determiar as raízes da equação 0, que ou Como, são Assim, a b c a ( )( ) etão ( )( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 4) ( 4) ) Calcule o ite idetermiado Resolução: Como as raízes da equação 5 4 ( 4)( ) , são os valores 4 ou, etão Desta forma teremos: ( 4) ( ) ( ) 4 ( 4) 4 Portato,

23 MULTIPLICAÇÃO PELO CONJUGADO Supoha que queremos calcular o ite idetermiado 0 Em muitos casos como estes, é de grade importâcia que os livremos do termo que evolve a radiciação e que este caso é ( ) O cojugado do termo ( ) é o termo ( ) Sial oposto ao aterior fração O que fazemos a prática para calcular o ite, é a multiplicar a fração Assim teremos o seguite cálculo: que represeta o valor pela 0 0 A iteção de se fazer isso, é produzir a Difereça de Dois Quadrado, veja: ( ab) ( ab) 0 0 Efetuado as operações devidas iremos obter o resultado do ite, veja a resolução completa abaio: ( ab) ( ab) 0 0 a b ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) a b, 4

24 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ) Determie o valor umérico do ite Resolução: 0 Observe que se trata de um ite idetermiado 0 Usaremos a multiplicação pelo Cojugado de ( ) que é ( ) Observe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Portato, ) Calcule y y y Resolução: Vamos multiplicar a fração y y pelo termo y y y y y y y y y ( y ) ( ) y y y y ( y ) y ( y ), observe os cálculos feitos: Portato, y y y 5

25 -Limites Idetermiados Cosidere a fução f ( ) 4 Logo, f ( ) 4 ( ), que é uma idetermiação, pois quado teremos 4 e resultado da subtração, ou seja, crescem idefiidamete e assim, ão podemos estimar o Para resolver esse tipo de idetermiação, usaremos o fato de que o comportameto de um poliômio qualquer P( ) a a a a a, com a 0 0, coicide com o comportameto fial de seu termo de maior grau seja, ( a a a a a ) a 0 a, ou Assim, vamos calcular o ite f ( ) 4 ( ) da seguite forma: - Eercícios Resolvidos ) Calcule o seguite ite f ( ) 4 ( ) Resolução: Observe que pelo cálculo direto do ite teremos, Idetermiação Vamos usar o fato de que quado o poliômio comportameto de Assim, possui o mesmo -Limites Idetermiados 4 Cosidere a fução e que g ( ) represeta um tipo de idetermiação e assim teremos Note que quado, etão 4 4 que também 6

26 Para calcular o ite 4 4 ( a a a a a ) a 0 Assim, -Eercícios Resolvidos: ) Calcule o ite Resolução: Temos que , caso eista iremos ovamete utilizar o fato de que 0 5 ) Calcule o ite Resolução: Temos que Eercícios Propostos: ) Para cada uma das fuções abaio determie o ite os respectivos valores de a f ( a h) f ( a) f ( ) f ( a) e h0 h a a para a f a b f a c f a ) ( ), ; ) ( ), ; ) ( ), d f a e f a f f a ) ( ), ; ) ( ), ; ) ( ), g f a h f a i f a ) ( ), ) ( ), ; ) ( ), ) Calcule os seguites ites: a) b) c) d) e) f ) ( h) 4 h0 g) h) i) h 8 j) k) m) 4 ) l) 0 6 7

27 ) Calcule os seguites ites o ifiito: a) b) c) 5 4 d) e) g) h) i) j) l m) k) ) 4) Calcule os seguites ites ifiitos: 5 a) b) c) d) (5 4 ) e) f ) 6 g) h) i) 0 4 j) k) l)

28 CURSO DISCIPLINA PROFESSOR UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Fuções Cotíuas José Elias Dos Satos Filho - Itrodução fução Iicialmete cosidere as fuções, se k ( ), se fuções f, g, k e h f( ),, se g ( ),, se h( ) Abaio você poderá observar as semelhaças etre os gráficos das, e a Gráfico da fução Observações sobre o Gráfico Note que f () ão eiste, já que Dom( f ) IR {} Isso faz com que tehamos uma quebra o gráfico da fução o poto, a qual você pode observar Dizemos assim, que a fução f( ) ão é cotíua o poto Observe aida que f ( ) f () Note que agora, que temos g(), já que Dom( g) IR, mas, o etato, aida cotiuamos com uma quebra o gráfico da fução o poto, a qual você pode observar Dizemos assim, que a fução g ( ) ão é cotíua o poto Observe aida que g( ) g()

29 Observe que o gráfico da fução k ( ) possui uma quebra o seu gráfico de forma mais clara, isso é devido ao fato de que k( ) k( ), ou seja, k ( ) ão eiste Dizemos assim que a fução k ( ) ão é cotíua o poto Note aida que a fução k ( ) esta defiida o poto, a saber, k( ) k( ) Obseve que a fução h ( ) ão apreseta quebra o gráfico o poto e assim diremos que a fução h ( ) é cotiua o poto A cotiuidade da fução h( ) poto é devido ao fato de que h() e que h ( ) h( ) h() o, ou seja, - Fuções Cotíuas Com base os gráfico apresetados ateriormete podemos apresetar a defiição de cotiuidade de uma fução um poto Defiição: Dizemos que uma fução f é cotíua em (I) f( a ) eiste (II) f( ) a eiste (III) f ( ) f ( a) a Eemplo : Podemos verificar que a fução f( ) ão esta defiida o poto, ou seja, f () ão eiste Portato a fução cotíua o poto (Veja o gráfico a tabela aterior) a se as seguites codições forem satisfeitas: ão é cotíua o poto, pois a fução f( ) ão é

30 Eemplo : Cosiderado a fução mas k ( ) ão eiste, já que, se k ( ), vemos que k () eiste, ou seja, k(),, se k( ) k( ) é cotíua o poto (Veja o gráfico a tabela aterior) Portato a fução, se k ( ), se ão Eemplo : Cosidere a fução Note que, (I) g() eiste (II) g ( ) eiste No etato, ote que, se g ( ), se g( ) g() tabela aterior) Portato a fução, se g ( ), se ão é cotíua o poto (Veja o gráfico a Eemplo 4: Cosiderado a fução h( ) (I) h() eiste (II) (III) h( ) ( ) eiste h( ) h() teremos: Portato a fução h( ) é cotíua o poto (Veja o gráfico a tabela aterior) Uma fução é cotíua em um itervalo [ ab, ] se e somete se for cotíua em cada poto do itervalo Uma fução cotíua é aquela que é cotíua em cada poto de seu domíio Note que o gráfico da fução h( ) é uma reta que ão possui quebra o gráfico Assim, a fução h( ) é cotíua em todos os potos do domíio da fução Dom( h) IR simplesmete, h( ) - Cotiuidade dos Poliômios Se é uma fução cotíua P( ) a a a a a, com a 0 é um poliômio qualquer, etão P( ) P( c) para todo c IR c c IR 0, ou, ou seja, um poliômio qualquer é cotíuo para todo poto

31 -Propriedades de Fuções Cotíuas Se as fuções f e g são cotíuas em (I) f (II) f g é cotíua em c; g é cotíua em c; (III) fg é cotíua em c; c, etão : (IV) f g é cotíua em c, se gc ( ) 0 -Composta de Fuções Cotíuas c Se f é cotíua -Eercícios Resolvidos c e g é cotíua em f() c, etão a composta g( f ( )) é composta em ) Cosidere uma fução f( ) cujo gráfico está represetado abaio: Com base o gráfico da fução respoda: a) f( ) é cotíua o poto? Justifique b) f( ) é cotíua o poto? Justifique c) Qual é o domíio da fução f( ) e m quais potos de seu domíio a fução é cotíua? Resolução: a) Com base o gráfico da fução temos que: (I) f (), eiste (II) Como f ( ) f ( ), ou seja, f ( ) f (), etão a fução é cotíua em f( ) eiste Graficamete vemos que o gráfico da fução ão possui quebra o poto, ou seja, a fução é cotíua em b) Pelo gráfico da fução teremos: (I) f () (II) f ( ) f ( ), ou seja, f( ) Portato, a fução f( ) ão é cotíua o poto ão eiste 4

32 c) Vemos que a fução f( ) esta defiida o itervalo [ 5,4] e assim, Dom( f ) [ 5,4] Já vimos que a fução ão é cotíua o poto e com base o gráfico, vemos que também eiste uma quebra o gráfico da fução o poto, ou seja, f( ) também ão é cotíua o poto Veja que f ( ) 0 eiste, mas o etato diferete do ite f( ) 0 f( ) Portato, f( ) é cotiua o cojuto C [ 5,4] {,} ão eiste, já que f( ) que é ) Mostre que a fução Resolução: Se a g( ) é cotíua o itervalo [,], etão, usado as Propriedades dos Limites, temos g( ) ( ) a g( a) a a a a Assim, g ( ) é cotíua em Vamos agora verificar se a fução [,], ou seja, e g ( ) g ( ) Para o poto temos que (Veja o gráfico abaio) a se a g( ) Aalogamete, para o poto temos que (veja o gráfico abaio) é cotíua os etremos do itervalo g( ) g( ) Veja que ão faz setido calcular g( ) g() Veja que ão faz setido calcular Portato, g( ) é cotíua o itervalo [,] Veja o Graco da fução abaio 5

33 )Determiar m IR de modo que 5 4, se 4 f( ) seja cotíua em = 4 m, se =4 Resolução: (I) Temos que f (4) 4 (II) Cálculo do ite de f( ): f ( ) ( 5 4) (III) Para que a fução seja cotíua em = 4, devemos ter f ( ) f (4) m m 4 f ( ) f (4) 4 Portato, para que a fução seja cotíua em =4 devemos ter e assim: m 4) Verificar se a fução f( ) 4 é cotíua o poto em = e o poto = Resolução: (I) Temos 4 f () 5 (II) 4 ( ) ( ) ( ) 5 ( ) Logo, f() é cotíua em = Observe que f( ) ão é cotíua em =, pois, ão eiste f () 6

34 -Eercícios Propostos: ) Complete a afirmação: A fução f é cotíua em c se estiver defiida f() c, eistir f( ) ) Cosidere as fuções, se 4 f( ), se 4 a) A fução f( ) é cotíua em 4 b) A fução g ( ) é cotíua em 4 e? Justifique? Justifique c) A fução f ( ) g( ) é cotíua em 4 d) A fução g( f ( )) é cotíua em 4 c 4 0, se 4 g ( ) 6, se 4? Justifique? Justifique e ) Para quais valores de, se houver, a fução f( ) ) Cosidere a fução h ( ) cujo gráfico esta represetado abaio: é descotíua? Com base o gráfico de h ( ) respoda: a) Qual o domíio da fução? b) A fução é cotíua o poto 0? E o poto? Justifique c) Em quais potos a fução é cotíua? 5) Ecotre um valor para a costate k, se possível, que faça a fução ficar cotíua em toda parte 7, se 9 k, se, se a) f ( ) b) g( ) c) h( ) k, se k, se k, se 7

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