Stela Adami Vayego DEST/UFPR

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1 Resumo 3 Resumo dos dados uméricos por meio de úmeros. Medidas de Tedêcia Cetral A tedêcia cetral da distribuição de freqüêcias de uma variável em um cojuto de dados é caracterizada pelo valor típico dessa variável. Essa é uma maeira de resumir a iformação cotida os dados pois escolheremos um valor para represetar todos os outros... Média Aritmética Simples ( X ) A média aritmética ou simplesmete média é sem dúvida a medida de posição mais utilizada. O símbolo (mi) é usado para deotar a média de uma população e X (x barra) para deotar a média de uma amostra. Idepedete de se estar trabalhado com uma população ou uma amostra a média de um cojuto qualquer de dados é defiida como sedo a soma de todos os valores observados dividida pelo úmero total de observações. Notação: ode x i é o i-ésimo valor observado da variável em estudo; é o úmero total de observações da amostra; N é o úmero total de observações da população. X = x i Obs: Raramete se calcula uma vez que a maioria das vezes apeas os dados da amostra são cohecidos. Desde modo desejado cohecer o valor de calcula-se o valor de X e o usa como uma aproximação ou estimativa de. Exemplo : Sejam os pesos (em Kg) de 0 recém-ascidos: O peso médio é de 3 Kg. Importate: Nem sempre a média é o valor da variável que ocorre com maior freqüêcia e ão é ecessariamete o poto cetral da distribuição (poto que divide as observações exatamete a metade). A média pode ser tomada como o cetro de gravidade isto é o poto de qualquer distribuição em toro do qual se equilibram as discrepâcias (resíduos afastameto ou desvios) positivas e egativas. Vatages e desvatages da média. É uma medida de tedêcia cetral que por uiformizar os valores de um cojuto de dados ão represeta bem os cojutos que revelam tedêcias extremas.. Não ecessariamete tem existêcia real isto é em sempre é um valor que faça parte do cojuto de dados para bem represetá-lo embora perteça obrigatoriamete ao itervalo etre o maior e o meor valor. 3. É facilmete calculada. 4. Serve para compararmos cojutos semelhates... Mediaa (Md ou ~ X ) A mediaa de um cojuto de dados ordeados é o termo do cojuto que o divide em duas partes iguais isto é divide o cojuto em dois subcojutos com o mesmo úmero de elemetos tais que a cada um deles pertecem todos os elemetos meores ou todos os elemetos maiores que a mediaa. - é ímpar. Med = valor da variável que ocupa a posição +.

2 - é par. + Med = média etre os valores da variável que ocupam as posições e. Exemplo : Sejam os pesos (em Kg) de 0 recém-ascidos: O peso mediao é de 35 Kg. Nota: Não é iflueciada por valores extremos (é uma medida robusta) Vatages e Desvatages da Mediaa ) Não depede de todos os valores do cojuto de dados podedo mesmo ão se alterar com a modificação. Observe por exemplo que os cojutos C e D abaixo possuem o mesmo valor mediao (Md = 6) embora sejam bem diferetes. Cojuto C : e. Cojuto D : e 68. ) Não é iflueciada por valores extremos (grades) do cojuto de dados. O valor mediao (38) dos cojutos E e F abaixo ão foi iflueciado pelos valores grades (95 e 0) do cojuto F o que ão acotece com a média. Cojuto E : e 5. Cojuto F : e 0. 3) Quado há valores repetidos a iterpretação do valor mediao ão é tão simples. Admitido como resultado da aplicação de um teste a um cojuto de aluos as seguites otas: o valor mediao seria a ota 5 e o etato só existem otas meores e 4 maiores do que 5. Esta desvatagem uida ao fato da iadequacidade da sua expressão para o maejo matemático faz com que em aálises estatísticas a mediaa seja meos utilizada do que a média..3. Moda (Mo ou X ) Moda de um cojuto de observações é defiida como sedo o valor que ocorre com maior freqüêcia. De acordo com o comportameto das observações pode-se ter: Cojuto amodal: ão existe moda pois todos os valores do cojuto ocorrem com a mesma freqüêcia. Por exemplo o cojuto e 5 todos os elemetos têm a mesma freqüêcia (). Cojuto modal (ou uimodal): existe uma úica moda. Por exemplo a moda do cojuto e 6 é Mo = 4. Cojuto bimodal: existem duas modas. Por exemplo o cojuto e 5 é bimodal pois possui duas modas Mo = 5 e Mo = 0. Cojuto multimodal: existem mais de duas modas. Por exemplo o cojuto e 0 é multimodal pois possui três modas Mo = Mo = 5 e Mo = 8.. Exemplo 3: Sejam os pesos (em Kg) de 0 recém-ascidos: A moda é o peso de 3 Kg. (uimodal) Vatages e Desvatages da Moda ) Não depede de todos os valores da série em de sua ordeação podedo mesmo ão se alterar com a modificação de algus deles. Como exemplo observe as séries A e B. Série A: Série B: As séries A e B possuem a mesma moda (Mo ) embora sejam bem diferetes. ) Não é iflueciada por valores extremos (grades) da série. Observe por exemplo que a moda (Mo = ) da série abaixo ão foi iflueciada pelos valores grades ( e 00) da série: Série: e 00.

3 3) Sempre tem existêcia real ou seja sempre é represetada por um elemeto do cojuto de dados excetuado o caso de classes de freqüêcias quado trabalhamos com subcojutos (dados agrupados) e ão com cada elemeto isoladamete. Veja por exemplo que a moda da série abaixo é Mo = 5 e 5 é um elemeto da série. Série: e 0.. A forma da distribuição de freqüêcias e as medidas de tedêcia cetral A distribuição de freqüêcia da população é um coceito muito importate. Na realidade raramete se cohece a forma exata da distribuição da população que se deseja estudar. Em geral se tem apeas uma amostra da população e a partir do histograma (ou polígoo de freqüêcia) dessa amostra é que se obtém alguma idéia sobre a forma da distribuição de freqüêcia da população. Figura - Distribuição de freqüêcias simétrica assimétrica positiva e assimétrica egativa. As medidas de assimetria procuram caracterizar como e quato a distribuição de freqüêcias se afasta da codição de simetria. Veja a Figura. Importate: Quado realizamos um estudo descrtivo é muito improvável que a distribuição de freqüêcias seja totalmete simétrica. Na prática diremos que a distribuição de freqüêcias é simétrica caso o seja de um modo aproximado. Por outro lado aida observado cuidadosamete o gráfico podemos ão ver claramete de que lado estão as frequêcias mais altas. Defie-se etão toda uma família de estatísticas que ajudam a iterpretar a assimetria deomiadas ídices de assimetria... Mometo cetral de terceira ordem Deomia-se mometo cetral de terceira ordem a quatidade: m 3 = x i x 3 0 a distribuição é assimétrica positiva (à direita). 0 a distribuição é assimétrica egativa (à esquerda). =0 a distrbuição é simétrica.

4 .. Ídice de assimetria de Pearso I A = x Mo s ou I A =3 x Med s Deste modo s =0 a distribuição é simétrica. 0 a distribuição é assimétrica positiva (à direita). 0 a distribuição é assimétrica egativa(à esquerda). 3) Medidas de Variabilidade (Dispersão). As medidas estatísticas resposáveis pela mesuração do tamaho da variação (ou dispersão) dos valores de um cojuto de dados em relação ao seu valor médio são as medidas de dispersão ou de variabilidade ode se destacam a amplitude e o desvio médio que são usada casualmete; a variâcia o desvio padrão e o coeficiete de variação que são utilizadas com maior freqüêcia. Em pricípio um cojuto de dados é mais disperso (ou meos homogêeo) que outro se ele possui a maior medida de dispersão. Quado uma efermeira mede a temperatura de um paciete ela sabe que a temperatura ormal é C ou seja que a média de uma população de temperaturas medidas em idivíduos cliicamete sadios é C. Se a temperatura de uma pessoa é 37 0 C a efermeira ão poderá cocluir o etato que a pessoa esteja doete pois sabe por experiêcia que as temperaturas de idivíduos sadios variam e que 37 0 C pode facilmete ser ecotrada sem qualquer sitoma de doeça. Se o etato a temperatura é C ela sabe que se a medida estiver correta o paciete está doete. Sua coclusão supõe cohecimeto sobre a variabilidade da temperatura ormal. 3.. Variabilidade Exemplo 4: Quatidade de peixes pescados por dia (em toeladas) durate 5 dias. Cojuto A Cojuto B Cojuto C Cojuto D Cojuto E Χ A Χ B Χ C Χ D Χ E 3.. Amplitude de Variação ou Itervalo Total de Variação ( I t ) I t = x max - x mi ode x max: maior valor observado; x mi: meor valor observado Variâcia S = [ ( x i X) ] - ode x i é o i-ésimo valor observado da variável em estudo a amostra; Χ é a média da amostra; é o tamaho da amostra.

5 3.4. Desvio Padrão [ ] ( ) S = x i X - ode x i é o i-ésimo valor observado da variável em estudo a amostra; Χ é a média da amostra; é o tamaho da amostra. Exemplo 5: Os agetes de fiscalização de certo muicípio realizam periodicamete uma vistoria os bares e restaurates para apurar possíveis irregularidades a veda de seus produtos. A seguir são apresetados dados de uma vistoria sobre os pesos (em gramas) de uma amostra de 0 bifes costates de um cardápio de um restaurate como bife de 00 gramas Como podemos otar em todos os bifes de 00 gramas pesam realmete 00 gramas. Esta variação é atural e é devida ao processo de produção dos bifes. No etato esses bifes deveriam pesar cerca de 00 gramas e com pouca variação em toro desse valor. Calcularemos a média e o desvio-padrão Coeficiete de Variação de Pearso(CV) ode S é o desvio padrão da amostra; Χ é a média da amostra. CV = S X 00 a) Comparação da homogeeidade de uma mesma variável etre grupos diferetes. Exemplo 6: Cosiderado uma distribuição de pesos (em g) de recém-ascidos com uma variação de 00 g a 4800 g um peso médio de 3500 g e um desvio padrão de 500 g; e uma distribuição de pesos (em Kg) de adultos com uma variação de 40 Kg a 90 Kg g um peso médio de 60 Kg e um desvio padrão de 05 Kg ão se pode cocluir usado o desvio padrão que as distribuições têm a mesma variabilidade isto é que o peso de recém-ascidos e adultos variam com a mesma itesidade. É fácil perceber que uma variação de 500 g têm sigificado bem diferetes as duas distribuições. A variação relativa para o peso de recém-ascidos é igual a 49% adultos 083% e para o peso de 00. Assim a variação o peso de recém-ascidos é mais de 3 vezes maior que a variação o peso de adultos. Em outras palavras difereças de 500 gramas são relativamete mais importates o grupo de recém-ascidos do que o grupo de adultos. b) Comparação da homogeeidade etre variáveis diferetes em um mesmo grupo. Exemplo 7: Imagie que para um grupo de idivíduos a temperatura média foi C com um desvio padrão de 07 0 C e o úmero médio de batidas de pulso foi 78 com um desvio padrão igual a 9. A 07 variação relativa para a temperatura será igual a 07% 00 e para a pulsação 5% Assim a variação a freqüêcia da pulsação é mais de 5 vezes maior que a variação a 78 temperatura.