δ de L. Analogamente, sendo

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1 Teoremas fudametais sobre sucessões Teorema das sucessões equadradas Sejam u, v e w sucessões tais que, a partir de certa ordem p, u w v lim u = lim v = L (fiito ou ão), a sucessão w também tem limite, que é igual a L Se Demostração: Se lim u = termos da sucessão L, para todo o úmero positivo δ existe uma ordem r a partir da qual os u pertecem à vizihaça δ de L Aalogamete, sedo lim v = L existe uma ordem s a partir da qual os termos da sucessão v pertecem à vizihaça δ de L Etão, a partir de uma ordem q, que é a maior das ordes p, r e s, os termos de w também pertecem à vizihaça δ de L, pelo que lim w = L Note-se que esta demostração é válida quer L seja fiito ou ão No etato, se lim = +, coclui-se imediatamete que lim = + a partir da desigualdade u u w Aalogamete, se limv =, coclui-se imediatamete que lim w = w a partir da desigualdade w v Exemplo: Mediate um equadrameto adequada, determie-se o limite da sucessão k Como, para cada atural k, se tem <, resulta que e assim! 0 < u < = k 2 <! Pelo teorema das sucessões equadradas tem-se etão que lim = 0! u =

2 2 Teorema das sucessões moótoas Toda a sucessão moótoa e limitada tem limite fiito Toda a sucessão moótoa ilimitada tem limite ifiito, sedo o limite + se ela é crescete e - se ela é decrescete Demostração: Comecemos por aalisar o caso em que uma sucessão u é crescete e limitada por um úmero L Se u é formada apeas por úmeros positivos, a sucessão formada pelas partes iteiras dos termos da sucessão ão pode crescer idefiidamete, estabilizado-se a partir de certa ordem (porque todos os termos da sucessão são meores do que L) Quato à parte ão iteira, todos os algarismos se vão estabilizado (primeiro o das décimas, depois o das cetésimas, e assim sucessivamete), já que ão podem exceder 9 O úmero formado pela parte iteira estabilizada e pelos algarismos estabilizados é o limite da sucessão Para sucessões decrescetes e limitadas a demostração é perfeitamete aáloga Os restates casos reduzem-se facilmete a estes casos, observado que os termos das sucessões moótoas são, a partir de certa ordem, todos positivos, todos egativos ou todos ulos Se u é crescete e ão limitada, dado qualquer úmero positivo k existe um termo da sucessão, digamosu, tal que j u j > k e, como a sucessão é crescete, todos os termos da sucessão são, a partir da ordem j, maiores do que k Etão, a sucessão tem limite + A demostração é aáloga o caso de uma sucessão decrescete e ão limitada Exemplo: Como aplicação do teorema das sucessões moótoas demostre-se que as sucessões u = + e v =++ 2! + +! são covergetes e têm o mesmo limite

3 3 A sucessão u = + A covergêcia (existêcia de limite fiito) da sucessão de termo geral u = +, decorre do teorema das sucessões moótoas Trata-se, com efeito, de uma sucessão moótoa (crescete) e limitada (o cojuto dos seus termos está cotido o itervalo [ 2, 3] ) sedo, portato, covergete Para verificar que a sucessão é moótoa crescete, ateda-se a que, pela fórmula do biómio de Newto, + =+ + ( ) 2 2! ( )( 2) + 3 3! ( ( )) + + ( )! ( ) e assim + =++ 2! + 2 3! + + 2! ( ) Tomem-se úmeros aturais e m tais que < m Tem-se + m m =++ m 2 m 3! + + m 2 m m! + + m 2 m m m m! decorredo etão facilmete que + < + m Para verificar que a sucessão é limitada: Coclui-se imediatamete de ( ) que, para todo o úmero atural maior que se tem + 2 m

4 4 Atededo a que, para >, coclui-se que ! + +! ( ) Como, para todo o úmero atural, se tem! 2 (como se vê facilmete por idução), de ( ) resulta que = = = 3 e assim o cojuto dos termos da sucessão está cotido o itervalo [ 2, 3] Coclui-se assim que a sucessão de termo geral u = + é covergete e que o seu limite é um úmero maior que dois e meor ou igual a três Mais geralmete, prova-se que se a é uma sucessão de úmeros reais que tede para + ou, etão a lim + = lim + a 2 A sucessão v =++ 2! + +! Do estudo feito o úmero aterior, facilmete se coclui que a sucessão v =++ 2! + +! é uma sucessão moótoa crescete e limitada, logo covergete, tal que u v (por( )) e, cosequetemete, limu limv Mas, para todo o atural p maior ou igual a 2, tem-se

5 5 u = ! 2 + +! p p! =++ 2! Passado ao limite (em ) obtém-se, para todo o p as codições ateriores, limu ++ 2! + + p! = v p e assim limu limv Etão e = lim + = lim ++ 2! + K + =++! 2! + +! + =! 0 O úmero e, base dos logaritmos eperiaos, pode ser defiido de vários modos É usualmete itroduzido como limite da sucessão de termo geral u = + ou como soma da série, isto é, como limite da sucessão v =++ 2! + +!, 0! sedo posteriormete usado em diferetes cotextos Do ateriormete exposto decorre apeas que o úmero e está compreedido etre 2 e 3 Depois de se ter justificado a covergêcia das sucessões u = + e v =++ 2! + +! que defiem e, é legítimo utilizá-las para obter aproximações deste úmero A tabela seguite evidecia que a covergêcia da sucessão de termo geral ++ 2! + + é mais rápida do que a da sucessão de termo geral + Com! efeito, com a sucessão de termo geral ++ 2! + + já se obtém, com = 6, um!

6 6 valor aproximado de e com três casas decimais exactas, equato que com a sucessão + ão se obtém qulquer casa decimal exacta ! + +! 2,000 2,0 2 2,250 2,5 3 2,370 2,66 4 2,44 2, ,488 2, ,522 2, ,546 2, ,566 2, ,58 2, ,594 2, A covergêcia da sucessão de termo geral + é muito leta Para = 0000 obtem-se um valor aproximado de e, 2, , com apeas 4 casas decimais exactas Não se deduza das cosiderações ateriores que a calculadora é um istrumeto fiável para a determiação do limite de uma sucessão, depois de garatida a sua existêcia A utilização de uma calculadora de precisão fiita tem algumas limitações que importa ter presetes Embora do poto de vista matemático uma sucessão tome valores tão próximos do seu limite quato se queira, desde que se tome um termo de ordem suficietemete elevada, do poto de vista da calculadora isto em sempre é observável, ão correspodedo, a partir de certa altura, o resultado da calculadora ao termo da sucessão

7 7 Por exemplo, ao tetar calcular, com a TI 83, o úmero e através do limite da sucessão de termo geral +, e tomado valores para iguais ou superiores a 0 4, obtem-se o valor que se afasta do valor do limite O que acotece resulta da precisão fiita com que a máquia represeta os úmeros Com efeito, se é muito grade, o valor de + deixa de ser rigorosamete represetado pelos 4 dígitos que a TI 83 usa para represetar os úmeros Se for maior do que 0 4 a máquia passa mesmo a obter um valor umérico de + como sedo, pelo que + =